2022年廣東省廣州市廣東第二師范學(xué)院番禺附中高考沖刺押題(最后一卷)數(shù)學(xué)試卷含解析_第1頁
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文檔簡介

2021-2022高考數(shù)學(xué)模擬試卷考生須知:1.全卷分選擇題和非選擇題兩部分,全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂;非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應(yīng)位置上。2.請用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準考證號。3.保持卡面清潔,不要折疊,不要弄破、弄皺,在草稿紙、試題卷上答題無效。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1.過點的直線與曲線交于兩點,若,則直線的斜率為()A. B.C.或 D.或2.拋物線的焦點為,則經(jīng)過點與點且與拋物線的準線相切的圓的個數(shù)有()A.1個 B.2個 C.0個 D.無數(shù)個3.中國古代數(shù)學(xué)著作《孫子算經(jīng)》中有這樣一道算術(shù)題:“今有物不知其數(shù),三三數(shù)之余二,五五數(shù)之余三,問物幾何?”人們把此類題目稱為“中國剩余定理”,若正整數(shù)除以正整數(shù)后的余數(shù)為,則記為,例如.現(xiàn)將該問題以程序框圖的算法給出,執(zhí)行該程序框圖,則輸出的等于().A. B. C. D.4.設(shè)集合,則()A. B.C. D.5.下列函數(shù)中,既是奇函數(shù),又在上是增函數(shù)的是().A. B.C. D.6.設(shè)a,b∈(0,1)∪(1,+∞),則"a=b"是"logA.充分不必要條件 B.必要不充分條件 C.充要條件 D.既不充分也不必要條件7.已知集合,則()A. B. C. D.8.已知集合,若,則實數(shù)的取值范圍為()A. B. C. D.9.已知的面積是,,,則()A.5 B.或1 C.5或1 D.10.集合的子集的個數(shù)是()A.2 B.3 C.4 D.811.在關(guān)于的不等式中,“”是“恒成立”的()A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件12.天干地支,簡稱為干支,源自中國遠古時代對天象的觀測.“甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸”稱為十天干,“子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥”稱為十二地支.干支紀年法是天干和地支依次按固定的順序相互配合組成,以此往復(fù),60年為一個輪回.現(xiàn)從農(nóng)歷2000年至2019年共20個年份中任取2個年份,則這2個年份的天干或地支相同的概率為()A. B. C. D.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.過圓的圓心且與直線垂直的直線方程為__________.14.連續(xù)2次拋擲一顆質(zhì)地均勻的骰子(六個面上分別標有數(shù)字1,2,3,4,5,6的正方體),觀察向上的點數(shù),則事件“點數(shù)之積是3的倍數(shù)”的概率為____.15.若函數(shù),則的值為______.16.將函數(shù)的圖象向右平移個單位長度后得到函數(shù)的圖象,則函數(shù)的最大值為______.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)如圖,三棱柱中,側(cè)面是菱形,其對角線的交點為,且.(1)求證:平面;(2)設(shè),若直線與平面所成的角為,求二面角的正弦值.18.(12分)某精密儀器生產(chǎn)車間每天生產(chǎn)個零件,質(zhì)檢員小張每天都會隨機地從中抽取50個零件進行檢查是否合格,若較多零件不合格,則需對其余所有零件進行檢查.根據(jù)多年的生產(chǎn)數(shù)據(jù)和經(jīng)驗,這些零件的長度服從正態(tài)分布(單位:微米),且相互獨立.若零件的長度滿足,則認為該零件是合格的,否則該零件不合格.(1)假設(shè)某一天小張抽查出不合格的零件數(shù)為,求及的數(shù)學(xué)期望;(2)小張某天恰好從50個零件中檢查出2個不合格的零件,若以此頻率作為當天生產(chǎn)零件的不合格率.已知檢查一個零件的成本為10元,而每個不合格零件流入市場帶來的損失為260元.假設(shè)充分大,為了使損失盡量小,小張是否需要檢查其余所有零件,試說明理由.附:若隨機變量服從正態(tài)分布,則.19.(12分)如圖,四棱錐中,底面ABCD為菱形,平面ABCD,BD交AC于點E,F(xiàn)是線段PC中點,G為線段EC中點.Ⅰ求證:平面PBD;Ⅱ求證:.20.(12分)如圖為某大江的一段支流,岸線與近似滿足∥,寬度為.圓為江中的一個半徑為的小島,小鎮(zhèn)位于岸線上,且滿足岸線,.現(xiàn)計劃建造一條自小鎮(zhèn)經(jīng)小島至對岸的水上通道(圖中粗線部分折線段,在右側(cè)),為保護小島,段設(shè)計成與圓相切.設(shè).(1)試將通道的長表示成的函數(shù),并指出定義域;(2)若建造通道的費用是每公里100萬元,則建造此通道最少需要多少萬元?21.(12分)唐詩是中國文學(xué)的瑰寶.為了研究計算機上唐詩分類工作中檢索關(guān)鍵字的選取,某研究人員將唐詩分成7大類別,并從《全唐詩》48900多篇唐詩中隨機抽取了500篇,統(tǒng)計了每個類別及各類別包含“花”、“山”、“簾”字的篇數(shù),得到下表:愛情婚姻詠史懷古邊塞戰(zhàn)爭山水田園交游送別羈旅思鄉(xiāng)其他總計篇數(shù)100645599917318500含“山”字的篇數(shù)5148216948304271含“簾”字的篇數(shù)2120073538含“花”字的篇數(shù)606141732283160(1)根據(jù)上表判斷,若從《全唐詩》含“山”字的唐詩中隨機抽取一篇,則它屬于哪個類別的可能性最大,屬于哪個類別的可能性最小,并分別估計該唐詩屬于這兩個類別的概率;(2)已知檢索關(guān)鍵字的選取規(guī)則為:①若有超過95%的把握判斷“某字”與“某類別”有關(guān)系,則“某字”為“某類別”的關(guān)鍵字;②若“某字”被選為“某類別”關(guān)鍵字,則由其對應(yīng)列聯(lián)表得到的的觀測值越大,排名就越靠前;設(shè)“山”“簾”“花”和“愛情婚姻”對應(yīng)的觀測值分別為,,.已知,,請完成下面列聯(lián)表,并從上述三個字中選出“愛情婚姻”類別的關(guān)鍵字并排名.屬于“愛情婚姻”類不屬于“愛情婚姻”類總計含“花”字的篇數(shù)不含“花”的篇數(shù)總計附:,其中.0.050.0250.0103.8415.0246.63522.(10分)2019年是五四運動100周年.五四運動以來的100年,是中國青年一代又一代接續(xù)奮斗、凱歌前行的100年,是中口青年用青春之我創(chuàng)造青春之中國、青春之民族的100年.為繼承和發(fā)揚五四精神在青年節(jié)到來之際,學(xué)校組織“五四運動100周年”知識競賽,競賽的一個環(huán)節(jié)由10道題目組成,其中6道A類題、4道B類題,參賽者需從10道題目中隨機抽取3道作答,現(xiàn)有甲同學(xué)參加該環(huán)節(jié)的比賽.(1)求甲同學(xué)至少抽到2道B類題的概率;(2)若甲同學(xué)答對每道A類題的概率都是,答對每道B類題的概率都是,且各題答對與否相互獨立.現(xiàn)已知甲同學(xué)恰好抽中2道A類題和1道B類題,用X表示甲同學(xué)答對題目的個數(shù),求隨機變量X的分布列和數(shù)學(xué)期望.

參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1.A【解析】

利用切割線定理求得,利用勾股定理求得圓心到弦的距離,從而求得,結(jié)合,求得直線的傾斜角為,進而求得的斜率.【詳解】曲線為圓的上半部分,圓心為,半徑為.設(shè)與曲線相切于點,則所以到弦的距離為,,所以,由于,所以直線的傾斜角為,斜率為.故選:A【點睛】本小題主要考查直線和圓的位置關(guān)系,考查數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法,屬于中檔題.2.B【解析】

圓心在的中垂線上,經(jīng)過點,且與相切的圓的圓心到準線的距離與到焦點的距離相等,圓心在拋物線上,直線與拋物線交于2個點,得到2個圓.【詳解】因為點在拋物線上,又焦點,,由拋物線的定義知,過點、且與相切的圓的圓心即為線段的垂直平分線與拋物線的交點,這樣的交點共有2個,故過點、且與相切的圓的不同情況種數(shù)是2種.故選:.【點睛】本題主要考查拋物線的簡單性質(zhì),本題解題的關(guān)鍵是求出圓心的位置,看出圓心必須在拋物線上,且在垂直平分線上.3.C【解析】從21開始,輸出的數(shù)是除以3余2,除以5余3,滿足條件的是23,故選C.4.B【解析】

直接進行集合的并集、交集的運算即可.【詳解】解:;∴.故選:B.【點睛】本題主要考查集合描述法、列舉法的定義,以及交集、并集的運算,是基礎(chǔ)題.5.B【解析】

奇函數(shù)滿足定義域關(guān)于原點對稱且,在上即可.【詳解】A:因為定義域為,所以不可能時奇函數(shù),錯誤;B:定義域關(guān)于原點對稱,且滿足奇函數(shù),又,所以在上,正確;C:定義域關(guān)于原點對稱,且滿足奇函數(shù),,在上,因為,所以在上不是增函數(shù),錯誤;D:定義域關(guān)于原點對稱,且,滿足奇函數(shù),在上很明顯存在變號零點,所以在上不是增函數(shù),錯誤;故選:B【點睛】此題考查判斷函數(shù)奇偶性和單調(diào)性,注意奇偶性的前提定義域關(guān)于原點對稱,屬于簡單題目.6.A【解析】

根據(jù)題意得到充分性,驗證a=2,b=1【詳解】a,b∈0,1∪1,+∞,當"a=b當logab=log故選:A.【點睛】本題考查了充分不必要條件,意在考查學(xué)生的計算能力和推斷能力.7.B【解析】

計算,再計算交集得到答案【詳解】,表示偶數(shù),故.故選:.【點睛】本題考查了集合的交集,意在考查學(xué)生的計算能力.8.A【解析】

解一元二次不等式化簡集合的表示,求解函數(shù)的定義域化簡集合的表示,根據(jù)可以得到集合、之間的關(guān)系,結(jié)合數(shù)軸進行求解即可.【詳解】,.因為,所以有,因此有.故選:A【點睛】本題考查了已知集合運算的結(jié)果求參數(shù)取值范圍問題,考查了解一元二次不等式,考查了函數(shù)的定義域,考查了數(shù)學(xué)運算能力.9.B【解析】∵,,∴①若為鈍角,則,由余弦定理得,解得;②若為銳角,則,同理得.故選B.10.D【解析】

先確定集合中元素的個數(shù),再得子集個數(shù).【詳解】由題意,有三個元素,其子集有8個.故選:D.【點睛】本題考查子集的個數(shù)問題,含有個元素的集合其子集有個,其中真子集有個.11.C【解析】

討論當時,是否恒成立;討論當恒成立時,是否成立,即可選出正確答案.【詳解】解:當時,,由開口向上,則恒成立;當恒成立時,若,則不恒成立,不符合題意,若時,要使得恒成立,則,即.所以“”是“恒成立”的充要條件.故選:C.【點睛】本題考查了命題的關(guān)系,考查了不等式恒成立問題.對于探究兩個命題的關(guān)系時,一般分成兩步,若,則推出是的充分條件;若,則推出是的必要條件.12.B【解析】

利用古典概型概率計算方法分析出符合題意的基本事件個數(shù),結(jié)合組合數(shù)的計算即可出求得概率.【詳解】20個年份中天干相同的有10組(每組2個),地支相同的年份有8組(每組2個),從這20個年份中任取2個年份,則這2個年份的天干或地支相同的概率.故選:B.【點睛】本小題主要考查古典概型的計算,考查組合數(shù)的計算,考查學(xué)生分析問題的能力,難度較易.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.【解析】

根據(jù)與已知直線垂直關(guān)系,設(shè)出所求直線方程,將已知圓圓心坐標代入,即可求解.【詳解】圓心為,所求直線與直線垂直,設(shè)為,圓心代入,可得,所以所求的直線方程為.故答案為:.【點睛】本題考查圓的方程、直線方程求法,注意直線垂直關(guān)系的靈活應(yīng)用,屬于基礎(chǔ)題.14.【解析】總事件數(shù)為,目標事件:當?shù)谝活w骰子為1,2,4,6,具體事件有,共8種;當?shù)谝活w骰子為3,6,則第二顆骰子隨便都可以,則有種;所以目標事件共20中,所以。15.【解析】

根據(jù)題意,由函數(shù)的解析式求出的值,進而計算可得答案.【詳解】根據(jù)題意,函數(shù),則,則;故答案為:.【點睛】本題考查分段函數(shù)的性質(zhì)、對數(shù)運算法則的應(yīng)用,考查函數(shù)與方程思想、轉(zhuǎn)化與化歸思想,考查運算求解能力.16.【解析】

由三角函數(shù)圖象相位變換后表達函數(shù)解析式,再利用三角恒等變換與輔助角公式整理的表達式,進而由三角函數(shù)值域求得最大值.【詳解】將函數(shù)的圖象向右平移個單位長度后得到函數(shù)的圖象,則所以,當函數(shù)最大,最大值為故答案為:【點睛】本題考查表示三角函數(shù)圖象平移后圖象的解析式,還考查了利用三角恒等變換化簡函數(shù)式并求最值,屬于簡單題.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(1)見解析;(2).【解析】

(1)根據(jù)菱形的特征和題中條件得到平面,結(jié)合線面垂直的定義和判定定理即可證明;

2建立空間直角坐標系,利用向量知識求解即可.【詳解】(1)證明:∵四邊形是菱形,,平面平面,又是的中點,,又平面(2)∴直線與平面所成的角等于直線與平面所成的角.平面,∴直線與平面所成的角為,即.因為,則在等腰直角三角形中,所以.在中,由得,以為原點,分別以為軸建立空間直角坐標系.則所以設(shè)平面的一個法向量為,則,可得,取平面的一個法向量為,則,所以二面角的正弦值的大小為.(注:問題(2)可以轉(zhuǎn)化為求二面角的正弦值,求出后,在中,過點作的垂線,垂足為,連接,則就是所求二面角平面角的補角,先求出,再求出,最后在中求出.)【點睛】本題主要考查了線面垂直的判定以及二面角的求解,屬于中檔題.18.(1)見解析(2)需要,見解析【解析】

(1)由零件的長度服從正態(tài)分布且相互獨立,零件的長度滿足即為合格,則每一個零件的長度合格的概率為,滿足二項分布,利用補集的思想求得,再根據(jù)公式求得;(2)由題可得不合格率為,檢查的成本為,求出不檢查時損失的期望,與成本作差,再與0比較大小即可判斷.【詳解】(1),由于滿足二項分布,故.(2)由題意可知不合格率為,若不檢查,損失的期望為;若檢查,成本為,由于,當充分大時,,所以為了使損失盡量小,小張需要檢查其余所有零件.【點睛】本題考查正態(tài)分布的應(yīng)用,考查二項分布的期望,考查補集思想的應(yīng)用,考查分析能力與數(shù)據(jù)處理能力.19.(1)見解析;(2)見解析.【解析】分析:(1)先證明,再證明FG//平面PBD.(2)先證明平面,再證明BD⊥FG.詳解:證明:(1)連結(jié)PE,因為G.、F為EC和PC的中點,,又平面,平面,所以平面(II)因為菱形ABCD,所以,又PA⊥面ABCD,平面,所以,因為平面,平面,且,平面,平面,∴BD⊥FG.點睛:(1)本題主要考查空間位置關(guān)系的證明,意在考查學(xué)生對這些基礎(chǔ)知識的掌握水平和空間想象轉(zhuǎn)化能力.(2)證明空間位置關(guān)系,一般有幾何法和向量法,本題利用幾何法比較方便.20.(1),定義域是.(2)百萬【解析】

(1)以為原點,直線為軸建立如圖所示的直角坐標系,設(shè),利用直線與圓相切得到,再代入這一關(guān)系中,即可得答案;(2)利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最小值,即可得答案;【詳解】以為原點,直線為軸建立如圖所示的直角坐標系.設(shè),則,,.因為,所以直線的方程為,即,因為圓與相切,所以,即,從而得,在直線的方程中,令,得,所以,所以當時,,設(shè)銳角滿足,則,所以關(guān)于的函數(shù)是,定義域是.(2)要使建造此通道費用最少,只要通道的長度即最?。?,得,設(shè)銳角,滿足,得.列表:0減極小值增所以時,,所以建造此通道的最少費用至少為百萬元.【點睛】本題考查三角函數(shù)模型的實際應(yīng)用、利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最小值,考查函數(shù)與方程思想、轉(zhuǎn)化與化歸思想,考查邏輯推理能力、運算求解能力.21.(1)該唐詩屬于“山水田園”類別的可能性最大,屬于“其他”類別的可能性最??;屬于“山水田園”類別的概率約為;屬于“其他”類別的概率約為(2)填表見解析;

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