函數(shù)及其表示 課件

第一節(jié)函數(shù)及其表示三年9考高考指數(shù):★★★1.了解構(gòu)成函數(shù)的要素，會(huì)求一些簡(jiǎn)單函數(shù)的定義域和值域,了解映射的概念；2.在實(shí)際情境中，會(huì)根據(jù)不同的需要選擇恰當(dāng)?shù)姆椒ū硎竞瘮?shù)；3.了解簡(jiǎn)單的分段函數(shù)，并能簡(jiǎn)單的應(yīng)用.

1.函數(shù)的概念、定義域及其表示(特別是分段函數(shù))是近幾年高考命題的熱點(diǎn).2.常和對(duì)數(shù)、指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)等相結(jié)合考查，有時(shí)也會(huì)命制新定義問(wèn)題.3.題型主要以選擇、填空題為主，屬中低檔題.

1.函數(shù)與映射的概念函數(shù)映射定義

建立在兩個(gè)非空_____A到B上的一種確定的對(duì)應(yīng)關(guān)系f，其要求：集合A中的_____一個(gè)數(shù)x，在集合B中都有__________的數(shù)____和它對(duì)應(yīng)

建立在兩個(gè)非空_____A到B上的一種確定的對(duì)應(yīng)關(guān)系f，其要求:集合A中的_____一個(gè)元素x，在集合B中都有_________的______與之對(duì)應(yīng)

數(shù)集任意唯一確f(x)定集合任意唯一確定元素y記法y=f(x),x∈Af:A→B

【即時(shí)應(yīng)用】(1)判斷下列對(duì)應(yīng)關(guān)系f是否是從A到B的函數(shù).(請(qǐng)?jiān)诶ㄌ?hào)中填“是”或“否”)①A=R，B={x|x＞0},f:x→|x|;()②A=R，B=R，f:x→x2;()③A=Z,B=R，f:

；()④A=Z，B=Z，f:x→x2-3.()(2)設(shè)A={0,1,2,4}，B={,0,1,2,6,8}，判斷下列對(duì)應(yīng)關(guān)系是否是A到B的映射.(請(qǐng)?jiān)诶ㄌ?hào)中填“是”或“否”)①f:x→x3-1()②f:x→(x-1)2()③f:x→2x-1()

④f:x→2x()【解析】(1)①否，因?yàn)锳中的元素0在B中沒(méi)有對(duì)應(yīng)元素;③否，因?yàn)锳中的元素為負(fù)數(shù)時(shí)在B中沒(méi)有對(duì)應(yīng)元素;②④是，滿足函數(shù)的定義，是從A到B的函數(shù).

(2)①不是，當(dāng)A中的x=0，2，4時(shí)在B中沒(méi)有對(duì)應(yīng)元素；②不是，當(dāng)A中的x=4時(shí)在B中沒(méi)有對(duì)應(yīng)元素；③是，滿足映射的定義，是從A到B的映射；④不是，當(dāng)A中的x=2時(shí)在B中沒(méi)有對(duì)應(yīng)元素.答案：(1)①否②是③否④是(2)①否②否③是④否

2.函數(shù)的構(gòu)成要素函數(shù)由_______、_____、_________三個(gè)要素構(gòu)成，對(duì)函數(shù)y=f(x),x∈A，其中，(1)定義域:自變量x的__________.(2)值域：函數(shù)值的集合___________.定義域值域?qū)?yīng)關(guān)系取值范圍A{f(x)|x∈A}【即時(shí)應(yīng)用】(1)判斷下列各組函數(shù)中，是否是同一函數(shù).(請(qǐng)?jiān)诶ㄌ?hào)中填“是”或“否”)①f(x)=x與g(x)=()②f(x)=|x|與g(x)=()③f(x)=x|x|與g(x)=()④f(x)=與g(t)=t+1(t≠1)()(2)函數(shù)y=x2-2x的定義域?yàn)閧0,1,2,3}，那么其值域?yàn)開(kāi)___.(3)設(shè)集合A=,集合B={y|y=x2,x∈R},則A∩B=_______.【解析】(1)①否，函數(shù)f(x)與g(x)的定義域不同；②否，函數(shù)f(x)與g(x)的對(duì)應(yīng)關(guān)系不同；③否，函數(shù)f(x)與g(x)的定義域不同；④是，函數(shù)f(x)==x+1(x≠1)與g(t)=t+1(t≠1)是同一函數(shù).(2)當(dāng)x取0,1,2,3時(shí)，對(duì)應(yīng)的函數(shù)y的值依次為0,-1,0,3,所以其值域?yàn)閧-1,0,3}.(3)已知A={x|x-2≥0}={x|x≥2},B={y|y≥0},∴A∩B={x|x≥2}.答案:(1)①否②否③否④是(2){-1,0,3}(3){x|x≥2}3.函數(shù)的表示方法表示函數(shù)的常用方法有：_______，_______和_______.解析法列表法圖象法【即時(shí)應(yīng)用】

(1)下列四個(gè)圖象是函數(shù)f(x)=的圖象的是_______.(2)若，則f(x)的解析式為_(kāi)______.【解析】(1)∵∴①正確.(2)方法一：令t=，則x=(t-1)2,t≥1，代入原式有f(t)=(t-1)2+2(t-1)=t2-1,∴f(x)=x2-1(x≥1).方法二：∵x+=(+1)2-1,∴又+1≥1,∴f(x)=x2-1(x≥1).答案：(1)①(2)f(x)=x2-1(x≥1)4.分段函數(shù)若函數(shù)在其定義域的不同子集上，因_________不同而分別用幾個(gè)不同的式子來(lái)表示，這種函數(shù)稱(chēng)為分段函數(shù).對(duì)應(yīng)關(guān)系【即時(shí)應(yīng)用】(1)已知函數(shù)f(x)=則=_______.(2)設(shè)f(x)=若f(x)=3，則x=_______.【解析】∴(2)當(dāng)x≤-1時(shí)，-x+2=3，得x=-1，符合要求；當(dāng)-1＜x＜2時(shí)，x2=3，得x=，只有符合要求；當(dāng)x≥2時(shí)，2x=3,得x=,不符合要求.綜上可知，x=-1或答案：(1)(2)-1或

求簡(jiǎn)單函數(shù)的定義域、值域【方法點(diǎn)睛】1.簡(jiǎn)單函數(shù)定義域的類(lèi)型及求法(1)已知函數(shù)的解析式，則構(gòu)造使解析式有意義的不等式(組)求解.(2)對(duì)實(shí)際問(wèn)題：由實(shí)際意義及使解析式有意義構(gòu)成的不等式(組)求解.(3)對(duì)抽象函數(shù)：①若已知函數(shù)f(x)的定義域?yàn)椋踑,b］，則f(g(x))的定義域由不等式a≤g(x)≤b求出.②若已知函數(shù)f(g(x))的定義域?yàn)椋踑,b］，則f(x)的定義域?yàn)間(x)在x∈［a,b］時(shí)的值域.2.求簡(jiǎn)單函數(shù)值域的方法(1)觀察法；(2)圖象觀察法；(3)單調(diào)性法；(4)分離常數(shù)法；(5)均值不等式法；(6)換元法.【例1】(1)(2012?揭陽(yáng)模擬)函數(shù)f(x)=的定義域?yàn)開(kāi)_______.(2)已知函數(shù)f(2x)的定義域是[-1,1]，求f(x)的定義域；(3)求下列函數(shù)的值域.①y=x2+2x,x∈［0,3］,②y=log3x+logx3-1,③【解題指南】(1)根據(jù)解析式，構(gòu)建使解析式有意義的不等式組求解即可；(2)要明確2x與f(x)中x的含義，從而構(gòu)建不等式求解;(3)根據(jù)解析式的特點(diǎn)，分別選用①圖象觀察法；②均值不等式法；③單調(diào)性法求值域.【規(guī)范解答】(1)要使函數(shù)有意義，需要即x＞2且x≠3,∴函數(shù)的定義域?yàn)閧x|2＜x＜3或x＞3}.答案:{x|2＜x＜3或x＞3}(2)∵f(2x)的定義域?yàn)椋?1，1］，即-1≤x≤1,∴≤2x≤2，故f(x)的定義域?yàn)椋?2］.(3)①y=(x+1)2-1在［0,3］上的圖象如圖所示,816141210246yxo-4-2213456-1-3-2由圖象知：0≤y≤32+2×3=15,所以函數(shù)y=x2+2x，x∈［0,3］的值域?yàn)椋?,15］.②∵y=log3x+，定義域?yàn)?0,1)∪(1,+∞)，當(dāng)0＜x＜1時(shí)，當(dāng)x＞1時(shí)，綜上可知，其值域?yàn)?-∞,-3］∪［1,+∞).③因?yàn)閤2-1≥-1，又y=2x在R上為增函數(shù),∴y=故值域?yàn)椋?+∞).【互動(dòng)探究】若本例(2)中條件不變，求f(log2x)的定義域.【解析】由本例(２)中知f(x)的定義域?yàn)椋?2］,∴函數(shù)y=f(log2x)中，≤log2x≤2,即：故函數(shù)f(log2x)的定義域?yàn)椤痉此?感悟】1.由解析式求函數(shù)的定義域，其實(shí)質(zhì)就是以函數(shù)解析式有意義為準(zhǔn)則，列出不等式(組)，從而求解.2.f(g(x))的定義域?yàn)椋踑,b］，指的是x的取值范圍是[a,b]而不是g(x)的取值范圍是［a,b］.3.求函數(shù)的值域時(shí)，若能畫(huà)出圖象，則用圖象觀察法求解；若能判斷單調(diào)性則用單調(diào)性法求解；若能滿足用基本不等式的條件，則用基本不等式求解.【變式備選】若函數(shù)f(x)=的定義域?yàn)镽，則a的取值范圍為_(kāi)_______.【解析】因?yàn)楹瘮?shù)f(x)的定義域?yàn)镽，即≥0,對(duì)x∈R恒成立，亦即x2+2ax-a≥0對(duì)x∈R恒成立,∴需Δ=(2a)2-4?(-a)=4a2+4a≤0即可,解得:-1≤a≤0.答案：{a|-1≤a≤0}

分段函數(shù)及其應(yīng)用【方法點(diǎn)睛】確定與應(yīng)用分段函數(shù)的一般步驟首先要確定自變量的值屬于哪個(gè)區(qū)間，其次選定相應(yīng)關(guān)系代入計(jì)算求解，特別要注意分段區(qū)間端點(diǎn)的取舍，當(dāng)自變量的值不確定時(shí)，要分類(lèi)討論.【提醒】分段函數(shù)雖由幾個(gè)部分組成，但它表示的是一個(gè)函數(shù).【例2】(1)(2012?北京模擬)已知函數(shù)f(x)=則f(x)-f(-x)＞-1的解集為()(A)(-∞,-1)∪(1,+∞)(B)［-1,)∪(0,1］(C)(-∞,0)∪(1,+∞)(D)［-1,］∪(0,1)(2)已知函數(shù)y=f(x)的圖象由圖中的兩條射線和拋物線的一部分組成，求函數(shù)的解析式.【解題指南】(1)根據(jù)每一段的解析式分類(lèi)求解，再求其并集.(2)已知圖象形狀，求解析式，可用待定系數(shù)法.【規(guī)范解答】(1)選B.①當(dāng)-1≤x＜0時(shí)，0＜-x≤1，此時(shí)f(x)=-x-1，f(-x)=-(-x)+1=x+1,∴f(x)-f(-x)＞-1化為-2x-2＞-1，得x＜，則-1≤x＜.②當(dāng)0＜x≤1時(shí)，-1≤-x＜0，此時(shí)，f(x)=-x+1，f(-x)=-(-x)-1=x-1,∴f(x)-f(-x)＞-1化為-x+1-(x-1)＞-1,解得x＜，則0＜x≤1.故所求不等式的解集為(2)根據(jù)圖象，設(shè)左側(cè)的射線對(duì)應(yīng)的解析式為y=kx+b(x≤1).∵點(diǎn)(1,1),(0,2)在射線上,∴∴左側(cè)射線對(duì)應(yīng)函數(shù)的解析式為y=-x+2(x≤1);同理,x≥3時(shí)，函數(shù)的解析式為y=x-2(x≥3).再設(shè)拋物線對(duì)應(yīng)的二次函數(shù)解析式為y=a(x-2)2+2(1≤x≤3,a＜0)，∵點(diǎn)(1,1)在拋物線上，∴a+2=1,a=-1,∴1≤x≤3時(shí)，函數(shù)的解析式為y=-x2+4x-2(1≤x≤3),綜上，函數(shù)的解析式為y=【互動(dòng)探究】本例(2)的條件不變，求函數(shù)y=f(x)的值域.【解析】方法一：由函數(shù)y=f(x)的圖象可得y≥1，所以函數(shù)y=f(x)的值域?yàn)閧y|y≥1}.方法二：由函數(shù)y=f(x)的解析式可知,當(dāng)x＜1時(shí)，y∈(1,+∞),當(dāng)1≤x≤3時(shí)，y∈［1,2］;當(dāng)x＞3時(shí)，y∈(1,+∞),∴所求函數(shù)的值域?yàn)椋?,+∞).【反思?感悟】分段函數(shù)的定義域是各段定義域的并集，值域是各段值域的并集，最大(小)值是各段最大(小)值中最大(小)的值.

【變式備選】1.(2012?吉林模擬)設(shè)函數(shù)f(x)=若f(-2)=f(0),f(-1)=-3，則關(guān)于x的方程f(x)=x的解的個(gè)數(shù)為()(A)1(B)2(C)3(D)4【解析】選B.由已知得解得當(dāng)x≤0時(shí)，由f(x)=x得，x2+2x-2=x，得x=-2或x=1,又x≤0，故x=1舍去,當(dāng)x＞0時(shí)，由f(x)=x得x=2,所以方程f(x)=x有兩個(gè)解.2.甲、乙兩地相距150千米，某貨車(chē)從甲地運(yùn)送貨物到乙地，以每小時(shí)50千米的速度行駛，到達(dá)乙地后將貨物卸下用了1小時(shí)，然后以每小時(shí)60千米的速度返回甲地.從貨車(chē)離開(kāi)甲地起到貨車(chē)返回甲地為止，設(shè)貨車(chē)離開(kāi)甲地的時(shí)間和距離分別為x小時(shí)和y千米，試寫(xiě)出y與x的函數(shù)解析式.【解析】由題意，可知貨車(chē)從甲地前往乙地用了3小時(shí)，而從乙地返回甲地用了2.5小時(shí).當(dāng)貨車(chē)從甲地前往乙地時(shí),由題意，可知y=50x(0≤x≤3);當(dāng)貨車(chē)卸貨時(shí),y=150(3＜x＜4)；當(dāng)貨車(chē)從乙地返回甲地時(shí),由題意，知y=150-60(x-4)(4≤x≤6.5).所以y=

求函數(shù)值【方法點(diǎn)睛】求函數(shù)值的類(lèi)型及解法(1)f(g(x))型：遵循先內(nèi)后外的原則；(2)分段函數(shù)型：根據(jù)自變量值所在區(qū)間對(duì)應(yīng)求值，不確定時(shí)要分類(lèi)討論；(3)已知函數(shù)性質(zhì)型：對(duì)具有奇偶性、周期性、對(duì)稱(chēng)性的函數(shù)求值，要用好其函數(shù)性質(zhì)，將待求值調(diào)節(jié)到已知區(qū)間上求解；(4)抽象函數(shù)型：對(duì)于抽象函數(shù)求函數(shù)值，要用好抽象的函數(shù)關(guān)系，適當(dāng)賦值，從而求得待求函數(shù)值.

【例3】已知函數(shù)f(x)是定義在實(shí)數(shù)集R上的不恒為零的偶函數(shù)，且對(duì)任意實(shí)數(shù)x都有xf(x+1)=(1+x)f(x),求的值.【解題指南】求解該題，需知道f(x),f(x+1)滿足的關(guān)系式，將f(x+1)用f(x)表示，然后再給x賦值，先求出，再求的值.【規(guī)范解答】若x≠0，則有取x=則有(∵f(x)是偶函數(shù)，).由此得于是，若x=0，則0×f(0+1)=(1+0)f(0)，有f(0)=0,∴f(f())=f(0)=0.【反思·感悟】對(duì)于這類(lèi)給出函數(shù)所滿足的抽象性質(zhì)，但又不知道函數(shù)解析式的求值問(wèn)題，求解時(shí)應(yīng)根據(jù)該抽象的函數(shù)關(guān)系的結(jié)構(gòu)特征，結(jié)合待求值的特點(diǎn)，給變量賦予特殊值，從而使問(wèn)題具體化、簡(jiǎn)單化，達(dá)到求出函數(shù)值的目的.【變式訓(xùn)練】已知f(x)=則的值等于()(A)-2(B)1(C)2(D)3【解析】選D.∴【變式備選】設(shè)對(duì)任意實(shí)數(shù)x,y均有f(x+y)=2f(y)+x2+2xy-y2+3x-3y,(1)求f(0)；(2)求f(x)的解析式.【解析】(1)令x=y=0,∴f(0)=0.(2)當(dāng)x為任意實(shí)數(shù)，y=0時(shí),f(x)=2f(0)+x2+3x,∴f(x)=x2+3x.【創(chuàng)新探究】與函數(shù)有關(guān)的新定義問(wèn)題【典例】(2011·廣東高考)設(shè)f(x)，g(x)，h(x)是R上的任意實(shí)值函數(shù)，如下定義兩個(gè)函數(shù)(fg)(x)和(f·g)(x)；對(duì)任意x∈R，(fg)(x)=f(g(x))；(f·g)(x)=f(x)g(x).則下列等式恒成立的是()(A)((fg)·h)(x)=((f·h)(g·h))(x)(B)((f·g)h)(x)=((fh)·(gh))(x)(C)((fg)h)(x)=((fh)(gh))(x)(D)((f·g)·h)(x)=((f·h)·(g·h))(x)【解題指南】根據(jù)新的定義逐個(gè)選項(xiàng)驗(yàn)證其真?zhèn)?，從而作出判?【規(guī)范解答】選B.根據(jù)新函數(shù)的定義分析如下表，選項(xiàng)分析結(jié)論A((fg)·h)(x)=(fg)(x)h(x)=f(g(x))h(x);((f·h)(g·h))(x)=(f·h)((g·h)(x))=(f·h)(g(x)h(x))=f(g(x)h(x))h(g(x)h(x));等式不恒成立

B((f·g)h)(x)=(f·g)(h(x))=f(h(x))g(h(x));((fh)·(gh))(x)=(fh)(x)(gh)(x)=f(h(x))g(h(x));等式恒成立C((fg)h)(x)=(fg)(h(x))=f(g(h(x)));((fh)(gh))(x)=(fh)((gh)(x))=(fh)(g(h(x)))=f(h(g(h(x))));等式不恒成立D((f·g)·h)(x)=(f·g)(x)h(x)=f(x)g(x)h(x);((f·h)·(g·h))(x)=(f·h)(x)(g·h)(x)=f(x)h(x)g(x)h(x).

等式不恒成立【閱卷人點(diǎn)撥】通過(guò)對(duì)本題的深入研究，我們可以得到以下創(chuàng)新點(diǎn)撥和備考建議：創(chuàng)新點(diǎn)撥本題有以下創(chuàng)新點(diǎn)：(1)本題為新定義問(wèn)題，命題背景、題目設(shè)置新穎.(2)考查內(nèi)容創(chuàng)新：本題是將新定義的兩個(gè)函數(shù)用于辨別與之有關(guān)的等式是否恒成立問(wèn)題，主要考查對(duì)新定義抽象函數(shù)的理解，需要考生有較強(qiáng)的理解能力