2023年山東省高中數(shù)學(xué)夏令營(yíng)數(shù)學(xué)競(jìng)賽(及答案)

山東省2023屆高中數(shù)學(xué)夏令營(yíng)數(shù)學(xué)競(jìng)賽〔及答案〕一.填空題(此題共5道小題,每題8分,總分值40分)1.函數(shù)的最大值是________________;(王澤陽(yáng)供題)解:,其等號(hào)僅當(dāng)即時(shí)成立,所以,f(x)最大=.2.如果自然數(shù)a的各位數(shù)字之和等于5,那么稱(chēng)a為“桔祥數(shù)〞,將所有桔祥數(shù)從小到大排成一列a1,a2,…,an.假設(shè)an=2023.那么n=_______________.(王繼忠供題)解:設(shè)為桔祥數(shù),那么x1+x2+…+xm=5,由x1≥1和x2,…,xm≥0得(x1-1)+x2+…+xm=4,所以,為第個(gè)桔祥數(shù).為第個(gè)桔祥數(shù).由此得:一位桔祥數(shù)共1個(gè),二位桔祥數(shù)共個(gè),三位桔祥數(shù)共個(gè),因以1為首位的四位桔祥數(shù)共個(gè),以2為首位的前兩個(gè)四位桔祥數(shù)為:2003和2023.故n=1+5+15+15+2=38.3.f(x)是2023次多項(xiàng)式,當(dāng)n=0,1,…,2023時(shí),.那么f(2023)=______;(王林供題)解:當(dāng)n=0,1,…,2023時(shí),(n+1)f(n)=n,即多項(xiàng)式(x+1)f(x)-x有2023個(gè)根,設(shè)(x+1)f(x)-x=ax(x-1)(x-2)…(x-2023).取x=-1,那么1=2023!a.故,,.4.將圓周上5個(gè)點(diǎn)按如下規(guī)那么染色:先任選一點(diǎn)染成紅色,然后依逆時(shí)針?lè)较?第1步轉(zhuǎn)過(guò)1個(gè)間隔將到達(dá)的那個(gè)點(diǎn)染紅,第2步轉(zhuǎn)過(guò)2個(gè)間隔將到達(dá)的那個(gè)點(diǎn)染紅,第k步轉(zhuǎn)過(guò)k個(gè)間隔將到達(dá)的那個(gè)點(diǎn)染紅.一直進(jìn)行下去,可得到_________個(gè)紅點(diǎn).(龔紅戈供題)解:將5個(gè)點(diǎn)依次編號(hào)0—4,且不妨設(shè)開(kāi)始染紅的是0號(hào)點(diǎn),那么第1步染紅的是1號(hào)點(diǎn),第2步染紅的是3號(hào)點(diǎn),第3步染紅的又是1號(hào)點(diǎn).故共可得3個(gè)紅點(diǎn).ABCDOIEF5.如圖，設(shè),分別為的外心、內(nèi)心，且，＞，的外角平分線交⊙于，,那么_____________.(李耀文供題)ABCDOIEF解:連接并延長(zhǎng)交⊙于,那么為弧的中點(diǎn).連、、、，由，易知、均為正三角形.由內(nèi)心的性質(zhì)得知：,所以、、、四點(diǎn)共圓,且圓心為.再延長(zhǎng)交⊙于,由題設(shè)知、、共線，于是,,又,從而≌,故.二.解答題(此題共5道小題,每題20分,總分值100分)6.證明:對(duì)任給的奇素?cái)?shù)p,總存在無(wú)窮多個(gè)正整數(shù)n使得p|(n2n-1).(陳永高供題)證明:取n=(p-1)k,那么由費(fèi)爾馬小定理知,所以,p|(n2n-1).取k=pr-1(r∈N*),即n=(p-1)(pr-1),就有即p|(n2n-1).RABCDPEGFQ7.如圖，P是矩形ABCD內(nèi)任意一點(diǎn)，延長(zhǎng)BP交AD于E，延長(zhǎng)DP交AB于FRABCDPEGFQ證法1:設(shè)CG交AD于Q,由∠GBA＝∠GDA及∠AGB＝∠CGD知△ABG∽△QDG。延長(zhǎng)DF、CB交于R，由AD∥BR,AD=BC得①又由△CPB∽△QPE及△RPB∽△DPE得②由①,②得,說(shuō)明F,E是△ABG,△QDG的相似對(duì)應(yīng)點(diǎn),故得△FBG∽△EDG.所以,∠FGB=∠EGD,∠FGE=∠BGD=900,即GE⊥GF.ABCDPEGFQαβABCDPEGFQαβ由正弦定理得:,由∠GBF＝∠GDE得△FBG∽△EDG.所以,∠FGB=∠EGD,∠FGE=∠BGD=900,即GE⊥GF.8.對(duì)于恰有120個(gè)元素的集合A.問(wèn)是否存在子集A1,A2,…,A10滿(mǎn)足:(1)|Ai|=36,i=1,2,…,10;(2)A1∪A2∪…∪A10=A;(3)|Ai∩Aj|=8,i≠j.請(qǐng)說(shuō)明理由.(劉裕文供題)解:答案:存在.考慮長(zhǎng)度為10的0,1數(shù)列.其中僅3項(xiàng)為1的恰有個(gè),每個(gè)作為集合A的一個(gè)元素.對(duì)每個(gè)j=1,2,…,10,第j項(xiàng)為1的0,1數(shù)列恰有個(gè),它們是集合Aj的36個(gè)元素.對(duì)每對(duì)i,j∈{1,2,…,10}(i<j),第i項(xiàng)與第j項(xiàng)均為1的0,1數(shù)列恰有個(gè),它們是Ai∩Aj的元素.綜上知,存在滿(mǎn)足條件的10個(gè)子集.9.求最小的正整數(shù)m,n(n≥2),使得n個(gè)邊長(zhǎng)為m的正方形,恰好可以割并成n個(gè)邊長(zhǎng)分別為1,2,…,n的正方形.(鄒明供題)解:依題意n個(gè)邊長(zhǎng)為m的正方形,恰好可以割并成n個(gè)邊長(zhǎng)分別為1,2,…,n的正方形12+22+…+n2=nm2,即6m2=(n+1)(2n+1),那么(n+1)(2n+1)=2n2+3n+1≡0(mod6),由n2≡0,1,3,4(mod6)知n≡±1(mod6).假設(shè)6|n+1,設(shè)n=6k-1(k∈N),得m2=k(12k-1),因(k,12k-1)=1,所以k與12k-1都是完全平方數(shù),但12k-1≡3(mod4)矛盾!假設(shè)6|n-1,設(shè)n=6k+1(k∈N),得m2=(3k+1)(4k+1),因(3k+1,4k+1)=1,所以,3k+1=v2,4k+1=u2,消去k得4v2-3u2=1,v=u=1時(shí),k=0,n=1,但n≥2,故u>1,v>1.由4v2-3u2≡1(mod8)知u,v為奇數(shù),直接計(jì)算得umin=15,vmin=13,k=56,所以,m最小=15×13=195,n最小=337.10.設(shè)實(shí)系數(shù)三次多項(xiàng)