2022-2023學年七年級數(shù)學上冊從重點到壓軸專題3.1 一元一次方程中的綜合（專項講練）（人教版）（解析版）

文檔來源網(wǎng)絡(luò)僅供參考侵權(quán)刪除專題3.1一元一次方程中的綜合【典例1】定義：如果兩個一元一次方程的解之和為1，我們就稱這兩個方程為“美好方程”．例如：方程2x-1=3和x+1=0為“美好方程”．（1）請判斷方程4x-(x+5)=1與方程-2y-y=3是否互為“美好方程”；（2）若關(guān)于x的方程x2+m=0與方程3x-2=x+4是“美好方程”，求（3）若關(guān)于x方程12022x-1=0與12022x+1=3x+k是“美好方程”，求關(guān)于【思路點撥】（1）分別解出兩個方程，再根據(jù)“美好方程”的定義，即可求解；（2）分別解出兩個方程，再根據(jù)“美好方程”的定義，即可求解；（3）先求出12022x-1=0的解為x=2022，根據(jù)“美好方程”的定義，可得方程12022x+1=3x+k的解為：x=-2021，然后把12022【解題過程】解：（1）是，理由如下：由4x-(x+5)=1解得x=2；由-2y-y=3解得：y=-1．∵-1+2=1∴方程4x-(x+5)=1與方程-2y-y=3是“美好方程”．（2）解：由3x-2=x+4解得x=3；由x2+m=0解得∵方程3x-2=x+4與方程x2+m=0是“∴-2m+3=1，解得m=1．（3）解：由12022x-1=0解得∵方程12022x-1=0與方程12022x+1=3x+k∴方程12022x+1=3x+k的解為：又12022(y+2)+1=3y+k+6∴y+2=-2021，解得：y=-2023．1．（2022·浙江·七年級單元測試）滿足方程x+23+x-4A．0個 B．1個 C．2個 D．3個【思路點撥】分類討論：x≥43，x≤-23【解題過程】當x≥43時，原方程為：x+23當x≤-23時，原方程為：-x-23當-23<x<43時，原方程為：x+23+43-x=2，得故選：C.2．（2022·河北·邢臺市開元中學七年級階段練習）方程x3+x15+xA．20212023 B．20232021 C．20231011【思路點撥】由13=121-13【解題過程】解：∵13=121-∴12n-1方程變形得：1即12去分母得：20222023解得：x=故選C．3．（2022·全國·七年級課時練習）若關(guān)于x的一元一次方程3x-5m2-x-m3=19的解，比關(guān)于x的一元一次方程﹣2（3x﹣4m）＝1﹣5（x﹣mA．2 B．1 C．0 D．﹣1【思路點撥】分別求出方程3x-5m2-x-m3=19的解為x=114+13m7【解題過程】解：3x-5m去分母得：33x-5m去括號得：9x-15m-2x+2m=114，移項得：9x-2x=114+15m-2m，合并得：7x=114+13m，系數(shù)化為1得：x=114+13m-2去括號得：-6x+8m=1-5x+5m，移項得：-6x+5x=1+5m-8m，合并得：-x=1-3m，系數(shù)化為1得：x=3m-1；∵關(guān)于x的一元一次方程3x-5m2-x-m3=19的解，比關(guān)于x∴114+13m7∴114+13m=21m+98，解得m=2，故選A．4．（2022·全國·七年級課時練習）已知關(guān)于x的方程x-38-ax3=x2A．-11 B．-26 C．-28 D．-30【思路點撥】先解方程可得x=703+2a（a≠-32），根據(jù)方程的解是負整數(shù)可得【解題過程】解：解關(guān)于x的方程x-得x=703+2a（a∵關(guān)于x的方程x-38-ax∴703+2a∴2a+3=-1或2a+3=-5或2a+3=-7或2a+3=-35即滿足條件的所有整數(shù)a為-2、-4、-5、-19，∴滿足條件的所有整數(shù)a的值的和為-2+（-4）+（-5）+（-19）＝-30，故答案為：D．5．（2022·全國·七年級課時練習）若關(guān)于x的方程2kx+m3=x-nk6+2，無論k為任何數(shù)時，它的解總是【思路點撥】先將x=1代入原方程得，根據(jù)無論k為任何數(shù)時(4+n)k=13-2m恒成立，可得k的系數(shù)為0，由此即可求出答案．【解題過程】解：將x=1代入2kx+m3∴2k+m3∴(4+n)k=13-2m，由題意可知：無論k為任何數(shù)時(4+n)k=13-2m恒成立，∴n+4=0，∴n=-4，m=13∴m+n=5故答案為：56．（2022·浙江·七年級專題練習）對于三個互不相等的有理數(shù)a，b，c，我們規(guī)定符號max{a,b,c}表示a，b，c三個數(shù)中較大的數(shù)，例如max{2,3,4}=4.按照這個規(guī)定則方程max{x,-x,0}=3x-2【思路點撥】分x<0時，x>0時和x=0時三種情況討論，列出方程求解即可．【解題過程】解：當x<0時，max{x,-x,0}=-x即3x-2=-x，解得x=1當x>0時，max{x,-x,0}=x即3x-2=x，解得x=1，當x=0時，max{x,-x,0}=0即3x-2=0，解得x=2綜上所述，x=1，故答案為：x=1．7．（2022·河北保定·七年級期末）已知關(guān)于x的一元一次方程x2020+a=2020x的解為x=2020，那么關(guān)于y的一元一次方程1-y【思路點撥】方程x2020+a=2020x整理得：x2020方程1-y2020=2020(1-y)+a整理得：1-y2020-2020(1-y)=a，令得到關(guān)于y的一元一次方程可解得答案.【解題過程】根據(jù)題意得：方程x2020+a=2020x該方程的解是：x=2020方程1-y2020=2020(1-y)+a令1-y=n則原方程可以整理得：n則n=-2020，即1-y=-2020解得：y=2021故答案是：20218．（2022·全國·七年級課時練習）解關(guān)于x的一元一次方程x1×3【思路點撥】先裂項相消，再根據(jù)一元一次方程的解法求解．【解題過程】解：x1x1x110102021x=4042．9．（2022·上?！て吣昙墝ｎ}練習）解關(guān)于x的方程：（k+1）（k﹣1）x﹣2（k+1）（k+2）＝0．【思路點撥】將k看作已知數(shù)，按一元一次方程的解法步驟求解即可．【解題過程】解：移項，（k+1）（k﹣1）x＝2（k+1）（k+2），當k+1≠0，且k﹣1≠0，即當k≠±1時，系數(shù)化為1，得x＝2k+1k+2化簡，得x＝2k+4k-1當k=1時，方程無解．當k=-1時，方程有無數(shù)解．10．（2022·全國·七年級課時練習）解方程：|x-【思路點撥】利用絕對值的性質(zhì)，將方程轉(zhuǎn)化為x﹣3x+1＝4或x﹣3x+1＝﹣4，再分情況討論：當3x+1＞0時可得到|3x+1|=3x+1；當3x+1＜【解題過程】解：原方程式化為x-3x+1＝當3x+1＞0時，即x＞﹣13由x-x-∴x＝﹣52與x＞﹣13由x-x﹣∴x＝32當3x+1＜0時，即x＜﹣13由x-x+3x+1＝∴x＝34與x＜﹣1由x-x+3x+1＝﹣∴x＝﹣54故原方程的解是x＝32或x＝﹣511．（2022·全國·七年級課時練習）如果方程3x-42-7=2x+13-1的解與方程4x-(3a+1)=6x+2a-1【思路點撥】先解關(guān)于x的方程得出x=10，將其代入方程4x-（3a+1）=6x+2a-1求得a的值，繼而代入計算可得．【解題過程】3x-439x-12-42=4x+2-65x=-4+12+42x=10將x=10代入方程4x-(3a+1)=6x+2a-140-（3a+1）=60+2a-1，解得a=-4．即a2-a+1=（-4）2-（-4）+1=21．12．（2022·江蘇·七年級單元測試）嘉淇在解關(guān)于x的一元一次方程3x-12+＝3時，發(fā)現(xiàn)正整數(shù)(1)嘉淇猜是2，請解一元一次方程3x-12(2)若老師告訴嘉淇這個方程的解是正整數(shù)，則被污染的正整數(shù)是多少？【思路點撥】（1）由題意得方程3x-12（2）設(shè)被污染的正整數(shù)為m，得方程3x-12+m=3，求解得【解題過程】（1）解：3x-12去分母，得3x-1+4=6；移項，合并同類項，得3x=3；系數(shù)化為1，得x=1．（2）解：設(shè)被污染的正整數(shù)為m，則有3x-12解之得，x=7-2m∵7-2m3是正整數(shù)，且m∴m=2．13．（2021·吉林松原·七年級期末）某同學在解關(guān)于y的方程3y-a4-的1乘以12，從而求得方程的解為y＝10．（1）求a的值；（2）求方程正確的解．【思路點撥】（1）按照該同學去分母的方法得到3(3y-a)-2(5y-7a)=1，把y=10代入方程，再去括號，移項，合并同類項，把系數(shù)化“1”，即可得到答案；（2）把a=1代入原方程，再按照解一元一次方程的步驟解方程即可.【解題過程】解：（1）該同學去分母時方程右邊的1忘記乘12，則原方程變?yōu)?(3y-a)-2(5y-7a)=1，此時方程的解為y=10，代入得3(30-a)-2(50-7a)=1

整理得：11a=11,解得a=1（2）將a=1代入方程3y-a4得3y-1去分母：3(3y-1)-2(5y-7)=12去括號：9y-3-10y+14=12整理得：-y=1解得y=-1即原方程的解為y=-114．（2022·湖北省直轄縣級單位·七年級期末）一題多解是培養(yǎng)發(fā)散思維的重要方法，方程“6(4x-3)+2(3-4x)=3(4x-3)+5”可以有多種不同的解法．(1)觀察上述方程，假設(shè)y=4x-3，則原方程可變形為關(guān)于y的方程：_________，通過先求y的值，從而可得x=_____；(2)利用上述方法解方程：3(x-1)-1【思路點撥】（1）把原方程化為6(4x-3)-2(4x-3)=3(4x-3)+5，再把y=4x-3整體代入求解y，再求解x即可；（2）把原方程整理為：3(x-1)-13(x-1)=2(x-1)-12(x-1+2)，設(shè)x-1=y,則原方程化為：【解題過程】(1)解：設(shè)y=4x-3，則原方程可變形為6y-2y=3y+5,解得：y=5,∴4x-3=5,解得：x=2.故答案為：6y-2y=3y+5,2(2)解：3(x-1)-設(shè)x-1=y,則原方程化為：3y-1去分母得：18y-2y=12y-3(y+2),整理得：y=-6∴x-1=-6解得：x=15．（2022·全國·七年級專題練習）解關(guān)于x的方程x3+x（13+15+因為13+所以方程的解：x＝0．請按這種方法解下列方程：(1)x-13+x-1(2)x-232+x-19【思路點撥】（1）利用乘法的分配律得到（x﹣1）(13+（2）先變形為x-272+x-274+【解題過程】（1）解：∵（x﹣1）(13+∴x﹣1＝0，∴x＝1；（2）解：∵x-232+∴x-232+∴x-232-2+x-194即x-272+x-274∴（x﹣27）(12+1∴x﹣27＝0，∴x＝27．16．（2022·河南·南陽市第九中學校七年級階段練習）仔細觀察下面的解法，請回答為問題．解方程：3x-12解：15x﹣5＝8x+4﹣1，15x﹣8x＝4﹣1+5，7x＝8，x=7(1)上面的解法錯誤有處．(2)若關(guān)于x的方程3x-12=4x+25＋a，按上面的解法和正確的解法得到的解分別為x1，x2，且【思路點撥】（1）找出解方程中錯誤的地方即可；（2）利用錯誤的解法與正確的解法求出x1，x2，根據(jù)題意確定出【解題過程】（1）解：正確解法為：3x-12去分母得，15x﹣5＝8x+4﹣10，移項得，15x﹣8x＝4﹣10+5，合并同類項得，7x＝﹣1，系數(shù)化為1得，x=-1可知上面的解法錯誤有2處；故答案為：2；（2）3x-12=錯誤解法為：15x﹣5＝8x+4+a，移項得：15x﹣8x＝4＋a+5，合并同類項得：7x＝9+a，解得：x=79+a，即x1正確解法為：去分母得：15x﹣5＝8x+4+10a，移項合并得：7x＝9+10a，解得：x=9+10a7，即x2根據(jù)題意得：x2-由9a7為非零整數(shù)，得到|a|最小值為717．（2021·江蘇·蘇州市相城區(qū)陽澄湖中學七年級階段練習）已知，對于任意的有理數(shù)a、b、c、d，我們規(guī)定了一種運算：|a?bc?d|＝ad﹣bc，例如|1?02?-2|＝【思路點撥】由新定義得3（2x+1）﹣（﹣4）（x﹣1）＝19，解一元一次方程即可．【解題過程】解：∵|abcd|＝ad﹣bc，|∴3（2x+1）﹣（﹣4）（x﹣1）＝19，∴6x+3+4x﹣4＝19，∴10x＝20，∴x＝2．18．（2022·全國·七年級專題練習）航天創(chuàng)造美好生活，每年4月24日為中國航天日．學習了一元一次方程以后，小悅結(jié)合中國航天日給出一個新定義：若x0是關(guān)于x的一元一次方程的解，y0是關(guān)于y的方程的一個解，且x0，y0滿足x0+y0=424，則關(guān)于y的方程是關(guān)于x的一元一次方程的“航天方程”．例如：一元一次方程4x=5x-400的解是x=400，方程y=24的解是y=24或y=-24，當y=24時，滿足x0+y(1)試判斷關(guān)于y的方程y-1=20是否是關(guān)于x的一元一次方程x+403=2x的“航天方程”(2)若關(guān)于y的方程y-1-3=13是關(guān)于x的一元一次方程x-2x-2a3=2a+1的“航天方程【思路點撥】（1）根據(jù)新定義的概念進行分析計算；（2）分別求得兩個方程的解，然后根據(jù)新定義概念分情況討論求解．【解題過程】解：（1）是，理由如下：x+403=2x，解得：x=403，y-1=20，解得：y=21或y=-19∵403+21=424，∴關(guān)于y的方程y-1=20是關(guān)于x的一元一次方程x+403=2x的“航天方程”（2）x-2x-2a解得：x=4a+3，y-1-3=13解得：y=17或y=-15，∵關(guān)于y的方程y-1-3=13是關(guān)于x的一元一次方程x-2x-2a3=2a+1的①當4a+3+17=424時，解得：a=101；②當4a+3-15=424時，解得：a=109，綜上，a的值為101或109．19．（2022·全國·七年級專題練習）已知關(guān)于x的一元一次方程ax+b＝0（其中a≠0，a、b為常數(shù)），若這個方程的解恰好為x＝a﹣b，則稱這個方程為“恰解方程”，例如：方程2x+4＝0的解為x＝﹣2，恰好為x＝2﹣4，則方程2x+4＝0為“恰解方程”．(1)已知關(guān)于x的一元一次方程3x+k＝0是“恰解方程”，則k的值為；(2)已知關(guān)于x的一元一次方程﹣2x＝mn+n是“恰解方程”，且解為x＝n（n≠0）．求m，n的值；(3)已知關(guān)于x的一元一次方程3x＝mn+n是“恰解方程”．求代數(shù)式3（mn+2m2﹣n）﹣（6m2+mn）+5n的值．【思路點撥】（1）利用“恰解方程”的定義，得出關(guān)于k的一元一次方程，解方程即可得出k的值；（2）解方程﹣2x＝mn+n得出x＝﹣12（mn+n），由﹣2x＝mn+n是“恰解方程”得出x＝﹣2+mn+n，再結(jié)合x＝n，即可求出m，n（3）根據(jù)“恰解方程”的定義得出mn+n＝-92，把3（mn+2m2﹣n）﹣（6m2+mn）+5【解題過程】（1）解：（1）解方程3x+k＝0得：x＝﹣k3∵3x+k＝0是“恰解方程”，∴x＝3﹣k，∴﹣k3＝3﹣k解得：k＝92（2）解：解方程﹣2x＝mn+n得：x＝﹣12（mn+n∵﹣2x＝mn+n是“恰解方程”，∴x＝﹣2+mn+n，∴﹣12（mn+n）＝﹣2+mn+n∴3mn+3n＝4，∵x＝n，∴﹣2+mn+n＝n，∴mn＝2，∴3×2+3n＝4，解得：n＝﹣23把n＝﹣23代入mn＝2得：m×（﹣23）＝解得：m＝﹣3；（3）解：解方程3x＝mn+n得：x＝mn+n3∵方程3x＝mn+n是“恰解方程”，∴x＝3+mn+n，∴mn+n3＝3+mn+n∴mn+n＝-9∴3（mn+2m2﹣n）﹣（6m2+mn）+5n＝3mn+6m2﹣3n﹣6m2﹣mn+5n＝2mn+2n＝2（mn+n）＝2×（-9＝﹣9．20．（2022·福建福州·七年級期末）定義：若關(guān)于x的方程ax+b＝0（a≠0）的解與關(guān)于y的方程cy+d＝0（c≠0）的解滿足|x﹣y|＝m（m為正數(shù)），則稱方程ax+b＝0（a≠0）與方程c