2023年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)(藝考)第02講 排列與組合 高頻考點(diǎn)(解析版)_第1頁
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文檔來源網(wǎng)絡(luò)僅供參考侵權(quán)刪除第02講排列與組合(精講)目錄第一部分:知識(shí)點(diǎn)精準(zhǔn)記憶第二部分:典型例題剖析題型一:排列問題題型二:組合問題題型三:排列組合綜合問題角度1:相鄰與相間問題角度2:分組與分配問題①不等分問題②整體均分問題③部分均分問題題型四:相同元素分配問題第一部分:知識(shí)點(diǎn)精準(zhǔn)記憶第一部分:知識(shí)點(diǎn)精準(zhǔn)記憶知識(shí)點(diǎn)一:排列與組合的概念名稱定義排列從個(gè)不同元素中取出()個(gè)元素按照一定的順序排成一列,叫做從個(gè)元素中取出個(gè)元素的一個(gè)排列組合作為一組,叫做從個(gè)元素中取出個(gè)元素的一個(gè)組合知識(shí)點(diǎn)二:排列數(shù)與組合數(shù)(1)排列數(shù):從個(gè)不同元素中取出取出()個(gè)元素的所有不同排列的個(gè)數(shù),叫做從個(gè)元素中取出個(gè)元素的一個(gè)排列數(shù),用符號(hào)表示(2)組合數(shù):從個(gè)不同元素中取出()個(gè)元素的所有不同組合的個(gè)數(shù),叫做從個(gè)元素中取出個(gè)元素的一個(gè)組合數(shù),用符號(hào)表示知識(shí)點(diǎn)三:排列數(shù)、組合數(shù)的公式及性質(zhì)(1)(2)(3)(4);第二部分:典型例題剖析第二部分:典型例題剖析題型一:排列問題典型例題例題1.(2022·云南省楚雄第一中學(xué)高二階段練習(xí))從3,5,7,11這四個(gè)質(zhì)數(shù)中,每次取出兩個(gè)不同的數(shù)分別為,共可得到的不同值的個(gè)數(shù)是(

)A.6 B.8 C.12 D.16【答案】C【詳解】由于,所以從3,5,7,11中取出兩個(gè)不同的數(shù)分別賦值給和共有種,并且計(jì)算結(jié)果不會(huì)重復(fù),所以得到不同的值有12個(gè).故選:C.例題2.(2022·浙江·青田縣船寮綜合高級(jí)中學(xué)高三期中)某職校計(jì)算機(jī)專業(yè)開設(shè)兩類不同選修課,其中專業(yè)類選修課有6門不同課程,公共基礎(chǔ)類選修課有5門不同課程.若從兩類選修課中各選一門學(xué)習(xí),則不同的選修方案有(

)A.種 B.種 C.種 D.種【答案】B【詳解】依題意,專業(yè)類選修課有6門不同課程,公共基礎(chǔ)類選修課有5門不同課程,從兩類選修課中各選一門學(xué)習(xí),根據(jù)分步計(jì)數(shù)原理,不同的選修方案有種.故選:B例題3.(2022·全國·高二課時(shí)練習(xí))某大學(xué)的兩名教授帶領(lǐng)四名學(xué)生外出實(shí)習(xí),實(shí)習(xí)前在學(xué)院門口合影留念.若站成兩排合影,兩名教授站在前排,四名學(xué)生站在后排,則不同的排法種數(shù)為______(用數(shù)字作答).【答案】48【詳解】第一步:先排兩名教授,不同的排法有(種).第二步:排四名學(xué)生,不同的排法有(種).故由分步乘法計(jì)數(shù)原理,可得不同的排法共有(種).故答案為:48例題4.(2022·全國·高三專題練習(xí))第24屆冬季奧運(yùn)會(huì)于2022年2月4日在北京市和河北省張家口市舉行.現(xiàn)要安排5名志愿者去四個(gè)場(chǎng)館參加活動(dòng),每名志愿者只能去一個(gè)場(chǎng)館.且每個(gè)場(chǎng)館只能安排一名志愿者,則不同的分配方法有___________個(gè).(空格處填寫數(shù)字)【答案】120【詳解】解:從5名志愿者中選4人排列個(gè).故答案為:120同類題型歸類練1.(2022·福建省福州華僑中學(xué)高二期末)甲乙丙丁4名同學(xué)站成一排拍照,若甲不站在兩端,不同排列方式有(

)A.6種 B.12種 C.36種 D.48種【答案】B【詳解】甲站位的排列數(shù)為,其余三位學(xué)生的全排列數(shù)為,所有的排列方式有:.故選:B.2.(2022·全國·高二課時(shí)練習(xí))“總把新桃換舊符”是指在宋代人們用寫“桃符”的方式來祈福避禍,而現(xiàn)代人們通過貼“?!弊?、貼春聯(lián)、掛燈籠等方式來表達(dá)對(duì)新年的美好祝愿,某商家在春節(jié)前開展商品促銷活動(dòng),顧客凡購物金額滿50元,則可以從“?!弊?、春聯(lián)和燈籠這三類禮品中任意免費(fèi)領(lǐng)取一件,若有3名顧客都領(lǐng)取一件禮品,則他們3人領(lǐng)取的禮品種類都不相同的方法種數(shù)是(

)A.3 B.6 C.9 D.27【答案】B【詳解】根據(jù)題意,3名顧客都領(lǐng)取一件禮品,且領(lǐng)取的禮品種類都不相同的方法種數(shù)為.故選:B.3.(2022·全國·高三專題練習(xí))現(xiàn)從6名學(xué)生干部中選出3名同學(xué)分別參加全校資源、生態(tài)和環(huán)保3個(gè)夏令營(yíng)活動(dòng),則不同的選派方案的種數(shù)是(

)A.20 B.90 C.120 D.240【答案】C【詳解】共有種不同的選派方案.故選:C.4.(2022·廣東廣州·高二期末)2022年北京冬奧會(huì)期間,需從5名志愿者中選3人去為速度滑冰?花樣滑冰?冰球三個(gè)競(jìng)賽項(xiàng)目服務(wù),每個(gè)項(xiàng)目必須有志愿者參加且每名志愿者只服務(wù)一個(gè)項(xiàng)目,不同的安排方法種數(shù)為(

)A.10 B.27 C.36 D.60【答案】D【詳解】依題意,從5名志愿者中選3人服務(wù)3個(gè)不同項(xiàng)目,不同的安排方法有(種).故選:D題型二:組合問題典型例題例題1.(2022·甘肅·蘭州市第二十七中學(xué)高二期中)在含有3件次品的50件產(chǎn)品中,任取2件,則恰好取到1件次品的不同方法數(shù)共有(

)A. B. C. D.【答案】A【詳解】在50件產(chǎn)品中含有3件次品,所以有47件不是次品,任取2件,則恰好取到1件次品的不同方法數(shù)共有.故選:A.例題2.(2022·全國·高三專題練習(xí))某小組九名學(xué)生在一次數(shù)學(xué)測(cè)驗(yàn)中的得分(單位:分)如下:83,84,86,86,87,88,90,93,96,這九人成績(jī)的第70百分位數(shù)是.若在該小組隨機(jī)選取兩名學(xué)生,則得分一個(gè)比高,另一個(gè)比低的概率為(

)A. B. C. D.【答案】A【詳解】因?yàn)?,?0百分位數(shù)是從小到大的第七位數(shù),所以第70百分位數(shù)是90,所以在該小組隨機(jī)選取兩名學(xué)生,則得分一個(gè)比90高,另一個(gè)比90低的概率為.故選:A.例題3.(2022·山東聊城·高二期末)第二屆消博會(huì)暨中國國際消費(fèi)品博覽會(huì)于2022年5月在海南舉辦.某展館將5件相同的紀(jì)念品分別贈(zèng)送給前來參觀的3位游客,每人至少1件,則不同的贈(zèng)送方案數(shù)共有(

)A.6 B.9 C.12 D.24【答案】A【詳解】因?yàn)榧o(jì)念品的相同的,而游客不同,所以以游客為對(duì)象分類:第一種情況,一位游客得一個(gè)紀(jì)念品,其余兩位游客每人二個(gè)紀(jì)念品,共有種.第二種情況,一位游客得三個(gè)紀(jì)念品,其余兩位游客各一個(gè)紀(jì)念品,共有種.共計(jì)6種贈(zèng)送方案.故選:A.例題4.(2022·上海市嘉定區(qū)安亭高級(jí)中學(xué)高二期中)從2至8的7個(gè)整數(shù)中隨機(jī)取2個(gè)不同的數(shù),共有______種不同的取法.【答案】21【詳解】從2至8的7個(gè)整數(shù)中隨機(jī)取2個(gè)不同的數(shù),不同的取法有.故答案為:21.同類題型歸類練1.(2022·浙江·青田縣船寮綜合高級(jí)中學(xué)高三期中)某職校計(jì)算機(jī)專業(yè)開設(shè)兩類不同選修課,其中專業(yè)類選修課有6門不同課程,公共基礎(chǔ)類選修課有5門不同課程.若從兩類選修課中各選一門學(xué)習(xí),則不同的選修方案有(

)A.種 B.種 C.種 D.種【答案】B【詳解】依題意,專業(yè)類選修課有6門不同課程,公共基礎(chǔ)類選修課有5門不同課程,從兩類選修課中各選一門學(xué)習(xí),根據(jù)分步計(jì)數(shù)原理,不同的選修方案有種.故選:B2.(2022·山東·臨朐縣實(shí)驗(yàn)中學(xué)高三階段練習(xí))某市新冠疫情封閉管理期間,為了更好的保障社區(qū)居民的日常生活,選派名志愿者到甲、乙、丙三個(gè)社區(qū)進(jìn)行服務(wù),每人只能去一個(gè)地方,每地至少派一人,則不同的選派方案共有(

)A.種 B.種 C.種 D.種【答案】A【詳解】首先將名志愿者分成組,再分配到個(gè)社區(qū),可分為種情況,第一類:名志愿者分成,共有(種)選派方案,第二類:名志愿者分成,共有(種)選派方案,第三類:名志愿者分成,共有(種)選派方案,所以共(種)選派方案,故選:A.3.(2022·黑龍江·哈爾濱市劍橋第三高級(jí)中學(xué)有限公司高三階段練習(xí))新課程改革后,普通高校招生方案規(guī)定:每位考生從物理、化學(xué)、生物、地理、政治、歷史六門學(xué)科中隨機(jī)選三門參加考試,某省份規(guī)定物理或歷史至少選一門,那么該省份每位考生的選法共有(

)A.14種 B.15種 C.16種 D.17種【答案】C【詳解】解:由題意得:物理或歷史中選一門:種選法;物理和歷史都選:種選法;物理或歷史至少選一門,那么該省份每位考生的選法共有種選法;故選:C4.(2022·浙江·杭州市長(zhǎng)河高級(jí)中學(xué)高二期中)北京冬奧會(huì)期間,小蘇搶購了3個(gè)冰墩墩和4個(gè)雪容融且造型不一的吉祥物,現(xiàn)抽取3個(gè)吉祥物送給一位朋友,其中至少有冰墩墩雪容融各1個(gè),則不同的送法有________種.(用數(shù)字作答)【答案】30【詳解】若選1個(gè)冰墩墩和2個(gè)雪容融,則有種;若選2個(gè)冰墩墩和1個(gè)雪容融,則有種;綜上可得一共有種;故答案為:題型三:排列組合綜合問題角度1:相鄰與相間問題典型例題例題1.(2022·江西·南昌十中高二階段練習(xí)(理))有互不相同的5盆菊花,其中2盆為白色,2盆為黃色,1盆為紅色,現(xiàn)要擺成一排,要求紅色菊花擺放在正中間,白色菊花不相鄰,黃色菊花也不相鄰,則共有擺放方法(

)A.120種 B.32種 C.24種 D.16種【答案】D【詳解】紅色左邊放一盆白色,一盆黃色,右邊放一盆白色,一盆黃色,先選左邊,白色二選一,黃色二選一,再進(jìn)行排列,故有種選法,再考慮后邊,剩余的白色和黃色進(jìn)行排列即可,有種選法,綜上:一共有擺放方法=16種.故選:D例題2.(2022·遼寧·育明高中一模)一張節(jié)目單上原有8個(gè)節(jié)目,現(xiàn)臨時(shí)再插入,,三個(gè)新節(jié)目,如果保持原來8個(gè)節(jié)目的相對(duì)順序不變,節(jié)目B要排在另外兩個(gè)新節(jié)目之間(也可以不相鄰),則有__________種不同的插入方法.(用數(shù)字作答)【答案】330【詳解】法1:第一步,從11個(gè)位置中選3個(gè)位置,共有種方法;第二步,三個(gè)位置中節(jié)目B位置確定,節(jié)目A,C的順序?yàn)椋煞植接?jì)數(shù)原理可得共有種方法.法2:先插入節(jié)目A,再插入節(jié)目B,最后插入節(jié)目C,共有:種,其中節(jié)目B與兩個(gè)新節(jié)目的位置關(guān)系有3種,由消序法可得總數(shù)為.故答案為:330例題3.(2022·全國·高三專題練習(xí))將編號(hào)為,,,的個(gè)小球放入個(gè)不同的盒子中,每個(gè)盒子不空,若放在同一盒子里的個(gè)小球編號(hào)不相鄰,則共有__________種不同的放法.【答案】18【詳解】解:先把4個(gè)小球分為一組,其中2個(gè)不連號(hào)小球的種類有,,為一組,分組后分配到三個(gè)不同的盒子里,故共有種不同的放法;故答案為:18.同類題型歸類練1.(2022·全國·高三專題練習(xí))某班主任準(zhǔn)備請(qǐng)2016年畢業(yè)生作報(bào)告,要從甲、乙等8人中選4人發(fā)言,要求甲、乙兩人至少一人參加,若甲、乙同時(shí)參加,則他們發(fā)言中間恰好間隔一人,那么不同的發(fā)言順序共有____________(種).(用數(shù)字作答)【答案】1080【詳解】若甲乙同時(shí)參加,有種,若甲乙有一人參與,有種,從而總共的發(fā)言順序有種.2.(2022·貴州·高三階段練習(xí)(理))2名老師和3名學(xué)生站成一排照相,則3名學(xué)生中有且僅有2人相鄰的站法有________種.【答案】72【詳解】第一步:先取兩個(gè)學(xué)生捆綁,則有種;第二步:兩名老師全排列,則有種;第三步:兩名老師有3個(gè)空,將兩組學(xué)生安排在3個(gè)空中的兩個(gè),則有種,則一共有種.故答案為:723.(2022·全國·高二單元測(cè)試)7名同學(xué),在下列情況下,各有多少種不同安排方法?(答案以數(shù)字呈現(xiàn))(1)7人排成一排,甲、乙、丙三人必須在一起.(2)7人排成一排,甲、乙、丙三人兩兩不相鄰.(3)7人排成一排,甲、乙、丙三人按從高到矮,自左向右的順序(不一定相鄰).【答案】(1)720種;(2)1440種;3)840種;【詳解】(1)(2);(3)角度2:分組與分配問題①不等分問題典型例題例題1.(2022·全國·高三專題練習(xí))已知有6本不同的書.分成三堆,一堆1本,一堆2本,一堆3本,有多少種不同的分堆方法?【答案】(2)60從6本書中,先取1本作為一堆,再從剩下的5本中取2本作為一堆,最后3本作為一堆,所以不同的分堆方法的種數(shù)為.例題2.(2022·全國·高三專題練習(xí))有6本不同的書按下列分配方式分配,問共有多少種不同的分配方法?(1)分成1本、2本、3本三組;(2)分給甲、乙、丙三人,其中一個(gè)人1本,一個(gè)人2本,一個(gè)人3本;【答案】(1)60(2)360(1)根據(jù)分步計(jì)算原理可知,共有種方法;(2)由(1)可知:分成1本、2本、3本三組,共有60種方法,再分給甲、乙、丙三人,所以有種方法;例題3.(2022·全國·高三專題練習(xí))6本不同的書,按照以下要求處理,各有幾種分法?(1)一堆1本,一堆2本,一堆3本;(2)甲得1本,乙得2本,丙得3本;【答案】(1)60(2)60(1)先從6本書中任取1本,作為一堆,有種取法,再從余下的5本書中任取2本,作為一堆,有種取法,最后從余下的3本書中取3本作為一堆,有種取法,故共有分法種.(2)由(1)知,分成三堆的方法有種,而每種分組方法僅對(duì)應(yīng)一種分配方法,故甲得1本,乙得2本,丙得3本的分法亦為種.例題4.(2022·重慶市永川北山中學(xué)校高二期中)有6本不同的課外書,分給甲、乙、丙三名同學(xué),求在下列條件下,各有多少種分法.甲得1本,乙得2本,丙得3本;【答案】(1)60分三步完成:甲選1本、乙選2本、丙選剩下的3本,共有種;②整體均分問題典型例題例題1.(2022·全國·高三專題練習(xí))已知有6本不同的書.(1)分成三堆,每堆2本,有多少種不同的分堆方法?【答案】(1)156本書平均分成3堆,所以不同的分堆方法的種數(shù)為.例題2.(2022·全國·高三專題練習(xí))6本不同的書,按照以下要求處理,各有幾種分法?(1)平均分給甲、乙、丙三人;(2)平均分成三堆.【答案】(1)90(2)15(1)3個(gè)人一個(gè)一個(gè)地來取書,甲從6本不同的書中任取出2本的取法有種,乙再從余下的4本書中取2本書,有種取法,丙從余下的2本中取2本書,有種取法,所以一共有種取法.(2)把6本不同的書分成三堆,每堆2本與把6本不同的書分給甲、乙、丙三人,每人2本的區(qū)別在于,后者相當(dāng)于把6本不同的書平均分成三堆后,再把書分給甲、乙、丙三人,因此,設(shè)把6本不同的書,平均分成三堆的方法有x種,那么把6本不同的書分給甲、乙、丙三人每人2本的分法就應(yīng)有種,由(1)知,把6本不同的書分給甲、乙、丙三人,每人2本的方法有種.所以,則.例題3.(2022·全國·高三專題練習(xí))有6本不同的書按下列分配方式分配,問共有多少種不同的分配方法?(1)分成每組都是2本的三組;(2)分給甲、乙、丙三人,每個(gè)人2本.【答案】(1)15(2)90(1)先分成三部分,則為種方法,但是這里面出現(xiàn)了重復(fù).不妨記六本書為A、B、C、D、E、F,若第一步取了AB,第二步取了CD,第三步取了EF,記該種分法為(AB,CD,EF),則種分法中還有(AB,EF,CD)、(CD、AB、EF)、(CD、EF,AB)、(EF,CD,AB)、(EF,AB,CD),共種情況,而且這種情況僅是AB,CD,EF的順序不同,因此,只能作為一種分法,故分配方法有=15(種).(2)在問題(1)的基礎(chǔ)上再分配即可,共有分配方法(種).例題4.(2022·重慶市永川北山中學(xué)校高二期中)有6本不同的課外書,分給甲、乙、丙三名同學(xué),求在下列條件下,各有多少種分法.甲、乙、丙各得2本;【答案】90分兩步完成:先均勻分組,再分給甲、乙、丙三名同學(xué),有種,故共有種.③部分均分問題典型例題例題1.(2022·全國·高三專題練習(xí))按下列要求分配6本不同的書,各有多少種不同的分配方式?分成三份,1份4本,另外兩份每份1本.【答案】15【詳解】無序均勻分組問題,種,故答案為:15例題2.(2022·重慶市永川北山中學(xué)校高二期中)有6本不同的課外書,分給甲、乙、丙三名同學(xué),求在下列條件下,各有多少種分法.(3)一人得4本,另兩人各得1本.【答案】90部分均勻分組問題,先部分均勻分組,再分給甲乙丙三名同學(xué),有種,故共有種.同類題型歸類練1.(2022·黑龍江·賓縣第二中學(xué)高二期末)現(xiàn)有6本不同的書,如果滿足下列要求,分別求分法種數(shù).(1)分成三組,一組3本,一組2本,一組1本;(2)分給三個(gè)人,一人3本,一人2本,一人1本;(3)平均分成三個(gè)組每組兩本.【答案】(1)60;(2)360;(3)15.(1)根據(jù)題意,第一組3本有種分法,第二組2本有種分法,第三組1本有1種分法,所以共有種分法.(2)根據(jù)題意,先將6本書分為1、2、3的三組,有種分法,再將分好的三組分給3人,有種情況,所以共有種分法.(3)根據(jù)題意,將6本書

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