上海愛國(guó)學(xué)校2021-2022學(xué)年高三數(shù)學(xué)理下學(xué)期期末試卷含解析

上海愛國(guó)學(xué)校2021-2022學(xué)年高三數(shù)學(xué)理下學(xué)期期末試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.設(shè)是共面的單位向量，且，則的最大值是（

）

A．

B． C． D．參考答案：D略2.下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是A．命題“若，則”的逆否命題為：“若，則”B．“”是“”的充分不必要條件C．若為假命題，則、均為假命題．D．若命題：“，使得”，則：“，均有”參考答案：C3.下列函數(shù)中，同時(shí)具有性質(zhì)：(1)圖象過(guò)點(diǎn)(0,1)；(2)在區(qū)間(0，＋∞)上是減函數(shù)；(3)是偶函數(shù).這樣的函數(shù)是

(

)

A.y＝x3＋1

B.y＝log2(|x|＋2)

C.y＝()|x|

D.y＝2|x|參考答案：C4.已知集合P={x|1＜x≤2}，Q={x|x2+x﹣2≤0}，那么P∩Q等于(

)A．? B．{1} C．{x|﹣2≤x≤2} D．{x|1＜x≤2}參考答案：A【考點(diǎn)】交集及其運(yùn)算．【專題】計(jì)算題；集合思想；分析法；集合．【分析】根據(jù)題意，Q為方程x2+x﹣6≤0的解集，由一元二次不等式的解法可得Q，由交集的運(yùn)算可得答案．【解答】解：根據(jù)題意，結(jié)合一元二次不等式的解法可得，Q={x∈R|x2+x﹣2≤0}={x|﹣2≤x≤1}，而P={x|1＜x≤2}，又交集的意義，可得P∩Q=?故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題考查集合的交集運(yùn)算，注意本題中P與Q的元素的范圍的不同．5.（2015?威海模擬）已知復(fù)數(shù)z滿足（2﹣i）2?z=1，則z的虛部為（） A． B． C． D．參考答案：D考點(diǎn)： 復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算．專題： 數(shù)系的擴(kuò)充和復(fù)數(shù)．分析： 利用復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則、虛部的定義即可得出．解答： 解：∵（2﹣i）2=3﹣4i，∴==，∴z的虛部為，故選：D．點(diǎn)評(píng)： 本題考查了復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則、虛部的定義，屬于基礎(chǔ)題．6.已知,函數(shù)與函數(shù)的圖象可能是(

)

A

B

C

D參考答案：C由于，故互為倒數(shù)，而，，故的單調(diào)性相同，四個(gè)選項(xiàng)中，單調(diào)性相同的是C選項(xiàng)，故選C.

7.函數(shù)的最小正周期為A．

B．

C． D．參考答案：A8.已知集合A={x∈N*|x2﹣5x﹣6＜0}，集合B={x|3≤x≤6}，則A∩B=（）A．{1，2，3，4，5} B．{3，4，5} C．{3，4，5，6} D．{1，2，3，4，5，6}參考答案：B【考點(diǎn)】交集及其運(yùn)算．【分析】解不等式求出集合A，根據(jù)交集的定義寫出A∩B．【解答】解：集合A={x∈N*|x2﹣5x﹣6＜0}={x∈N*|﹣1＜x＜6}={1，2，3，4，5}，集合B={x|3≤x≤6}，所以A∩B={3，4，5}．故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了解一元二次不等式與交集的基本運(yùn)算問(wèn)題，是基礎(chǔ)題．9.已知是兩條不同直線，是三個(gè)不同平面，則下列正確的是(

)A．若∥∥，則∥

B．若，則∥

C．若∥∥，則∥

D．若，則∥

參考答案：D略10.若存在，，使得成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是(

)A.

B. C.

D.參考答案：D二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.已知等比數(shù)列｛an｝為遞增數(shù)列，且，則數(shù)列｛an｝的通項(xiàng)公式an=______________。參考答案：【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，轉(zhuǎn)化思想和邏輯推理能力，屬于中檔題。12.已知雙曲線的左右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，P為雙曲線右支上的任意一點(diǎn)，若的最小值為，則雙曲線離心率的取值范圍是

。參考答案：試題分析：因?yàn)?，并且，所以，因?yàn)闉殡p曲線左支上的一點(diǎn)，所以所以雙曲線的離心率的范圍考點(diǎn)：雙曲線的性質(zhì)13.在△ABC中，a=4，b=5，c=6，則=．參考答案：1【考點(diǎn)】余弦定理；二倍角的正弦；正弦定理．【分析】利用余弦定理求出cosC，cosA，即可得出結(jié)論．【解答】解：∵△ABC中，a=4，b=5，c=6，∴cosC==，cosA==∴sinC=，sinA=，∴==1．故答案為：1．14.已知函數(shù)是奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，則當(dāng)時(shí)，

▲

。參考答案：略15.命題“?x∈R，使x2﹣ax+1＜0”是真命題，則a的取值范圍是

．參考答案：（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞）【考點(diǎn)】特稱命題．【分析】若命題“?x∈R，使x2﹣ax+1＜0”是真命題，則函數(shù)y=x2﹣ax+1的圖象與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)，故△=a2﹣4＞0，解不等式可得答案．【解答】解：若命題“?x∈R，使x2﹣ax+1＜0”是真命題，則函數(shù)y=x2﹣ax+1的圖象與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)，故△=a2﹣4＞0，解得：a∈（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞），故答案為：（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞）．16.已知函數(shù)則方程恰有兩個(gè)不同的實(shí)根時(shí)，實(shí)數(shù)的取值范圍是_______________.參考答案：[，）略17.定義在R上的偶函數(shù)滿足：①對(duì)任意都有成立；②；③當(dāng)且時(shí)，都有．則：（Ⅰ）；（Ⅱ）若方程在區(qū)間上恰有３個(gè)不同實(shí)根，則實(shí)數(shù)的取值范圍是____．參考答案：三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟18.如圖，矩形中，，．，分別在線段和上，∥，將矩形沿折起．記折起后的矩形為，且平面平面．（1）求證：∥平面；（2）若，求證：；（3）求四面體體積的最大值．

參考答案：（1）證明：因?yàn)樗倪呅?，都是矩形?/p>

所以∥∥，．

所以四邊形是平行四邊形，……………2分

所以∥，

………………3分

因?yàn)槠矫?，所以∥平面?/p>

………………4分（2）證明：連接，設(shè)．因?yàn)槠矫嫫矫?，平面平面且，平面所以平面，……………?分又平面，所以．……6分

又，所以四邊形為正方形，所以．

…………7分

因，所以平面，

………………8分

又，所以．

………………9分

（3）解：設(shè)，則，其中．由（2）得平面，所以四面體的體積為．

…………11分所以．

………………13分當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，四面體的體積最大．

……………14分

19.設(shè)函數(shù)f（x）=sin（﹣）﹣2cos2+1．（Ⅰ）求函數(shù)y=f（x）的最小正周期，并求出函數(shù)y=f（x）對(duì)稱中心的坐標(biāo)；（Ⅱ）求函數(shù)y=f（x）在x∈[，2]時(shí)的最大值．參考答案：【考點(diǎn)】H2：正弦函數(shù)的圖象．【分析】（I）根據(jù)三角恒等變換化簡(jiǎn)f（x），利用正弦函數(shù)的性質(zhì)求出周期和對(duì)稱中心；（II）根據(jù)x的范圍求出x﹣的范圍，利用正弦函數(shù)的單調(diào)性得出最值．【解答】解：（Ⅰ）f（x）=sinx﹣cosx﹣cosx=sinx﹣cosx=sin（x﹣），故f（x）的最小正周期為T==8，令x﹣=kπ，解得x=+4k，k∈Z，所以函數(shù)的對(duì)稱中心為（+4k，0），k∈Z．（Ⅱ）當(dāng)x∈[，2]時(shí)，x﹣∈[﹣，]，∴當(dāng)x﹣=時(shí)，f（x）取得最大值=．20.選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程在平面直角坐標(biāo)系中，曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸的非負(fù)半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，得曲線的極坐標(biāo)方程為（）．（Ⅰ）求曲線的普通方程和曲線的直角坐標(biāo)方程；（Ⅱ）直線：(為參數(shù))過(guò)曲線與軸負(fù)半軸的交點(diǎn)，求與直線平行且與曲線相切的直線方程.參考答案：解：（Ⅰ）曲線的普通方程為：；

………………2分由得，∴曲線的直角坐標(biāo)方程為：

………………4分(或：曲線的直角坐標(biāo)方程為：)（Ⅱ）曲線：與軸負(fù)半軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為，又直線的參數(shù)方程為：，∴，得，即直線的參數(shù)方程為：得直線的普通方程為：，

……………6分設(shè)與直線平行且與曲線相切的直線方程為：

………7分∵曲線是圓心為，半徑為的圓，得，解得或

………………9分故所求切線方程為：或

……………10分略21.如圖，四邊形ABCD是邊長(zhǎng)為2的菱形，∠BAD=，DF=2BE=2，BE∥DF，F(xiàn)C=AF=2．（Ⅰ）求證：EC∥平面ADF；（Ⅱ）求證：平面ACE⊥平面BDFE；（Ⅲ）求點(diǎn)F到平面ACE的距離．參考答案：【考點(diǎn)】點(diǎn)、線、面間的距離計(jì)算；平面與平面垂直的判定．【分析】（Ⅰ）由AD∥BC，F(xiàn)D∥BE，得平面BCF∥平面ADF，由此能證明EC∥平面ADF．（Ⅱ）推導(dǎo)出DF⊥DC，DF⊥DA，從而DF⊥平面ABCD，進(jìn)而DF⊥AC，再求出DB⊥AC，從而AC⊥平面BDFE，由此能證明平面ACE⊥平面BDFE．（Ⅲ）設(shè)F到平面ACE的距離為h，AC∩BD=O，連接OE、OF，由V三棱錐F﹣OEA=V三棱錐A﹣OEF，能求出F到平面ACE的距離．【解答】（本小題滿分12分）證明：（Ⅰ）∵AD∥BC，F(xiàn)D∥BE，AD∩FD=D，BE∩BC=B，∴平面BCF∥平面ADF，EC?平面BEC，∴EC∥平面ADF．…（Ⅱ）∵FC=2，DC=DF=2，∴FC2=DC2+DF2，∴DF⊥DC，同理DF⊥DA，∴DF⊥平面ABCD，∴DF⊥AC，又∵四邊形ABCD是菱形，∴DB⊥AC，∵BD∩DF=D，∴AC⊥平面BDFE，∵AC?平面AEC，∴平面ACE⊥平面BDFE．…解：（Ⅲ）設(shè)F到平面ACE的距離為h，AC∩BD=O，連接OE、OF，由（2）可知，四邊形BDFE是直角梯形，，又∵AO⊥平面BDFE，∴，又在△OBE中，，∴，V三棱錐F﹣OEA=V三棱錐A﹣OEF，解得，∴F到平面ACE的距離為…22.（本小題滿分12分）設(shè)函數(shù)f（1）討論函數(shù)f(x)的極值點(diǎn)；（2）求經(jīng)過(guò)點(diǎn)(0,－1)且與函數(shù)g(x)的圖象相切的直線方程；（3）令h(x)＝f(x)+g(x)，若不等式上恒成立，求實(shí)數(shù)t的取值范圍。參考答案：（1）

……1分i）若，，則無(wú)極值點(diǎn)；

……2分ii）若令又，

則時(shí)，單調(diào)遞減；時(shí)，單調(diào)遞增，故的極小值點(diǎn)為；

……3分當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增；時(shí)，單調(diào)遞減，故的極大值點(diǎn)為；

……4分

（2）設(shè)切點(diǎn)為，則則切線的方程為代入點(diǎn)得故切線的方程為