第 概率與概率分布

會(huì)計(jì)學(xué)1第概率與概率分布9.1.2概率的計(jì)算方法概率依其計(jì)算方法不同，可分為古典概率、試驗(yàn)概率和主觀概率。1．古典概率。古典概率是指當(dāng)隨機(jī)事件中各種可能發(fā)生的結(jié)果及其出現(xiàn)的次數(shù)都可以由演繹或外推法得知，而無需經(jīng)過任何統(tǒng)計(jì)試驗(yàn)即可計(jì)算各種可能發(fā)生結(jié)果的概率。第1頁/共52頁基本特征是：(1)可知性，可由演繹或外推法得知隨機(jī)事件所有可能發(fā)生的結(jié)果及其發(fā)生的次數(shù)；(2)無需試驗(yàn)，即不必做統(tǒng)計(jì)試驗(yàn)即可計(jì)算各種可能發(fā)生結(jié)果的概率；(3)準(zhǔn)確性，即按古典概率方法計(jì)算的概率是沒有誤差的。第2頁/共52頁2．試驗(yàn)概率。根據(jù)大量的，重復(fù)的統(tǒng)計(jì)試驗(yàn)結(jié)果計(jì)算隨機(jī)事件各種可能發(fā)生結(jié)果的概率，稱為試驗(yàn)概率或頻率概率。基本特征是：(1)試驗(yàn)性，即必須通過統(tǒng)計(jì)試驗(yàn)結(jié)果才能計(jì)算出各種結(jié)果的頻率，即試驗(yàn)頻率；(2)大量重復(fù)性，即試驗(yàn)次數(shù)必須足夠大，重復(fù)進(jìn)行多次試驗(yàn)的條件和程序必須相同；(3)誤差性，即頻率只是概率的估計(jì)值，因而存在誤差。第3頁/共52頁概率是一個(gè)總體意義上的確定的頻率值，當(dāng)被研究對(duì)象是總體的全部單位時(shí)，頻率就是概率；當(dāng)被研究對(duì)象是總體的部分單位(樣本)時(shí)，頻率只是概率的估計(jì)值。當(dāng)試驗(yàn)次數(shù)或抽樣次數(shù)不斷增大時(shí)，頻率逼近概率。3．主觀概率。主觀概率是依據(jù)個(gè)人對(duì)隨機(jī)事件的認(rèn)識(shí)、主觀地確定隨機(jī)事件中各種可能發(fā)生結(jié)果的概率。即人們對(duì)某一事件A發(fā)生的信任程度大小的主觀評(píng)價(jià)：

P（A）=[對(duì)A發(fā)生的信用度]第4頁/共52頁4．概率的公理。20世紀(jì)30年代，蘇聯(lián)數(shù)學(xué)家柯爾莫哥洛夫提出了概率論的三條公理:公理1：事件A發(fā)生的概率P(A)為實(shí)數(shù)，且0≤P(A)≤1。公理2：令S為所有的事件的集合，則P(S)=1。公理3：設(shè)A1，A2，……為各互斥事件，則(A1+A2+……)=P(A1)十P(A2)+……

第5頁/共52頁9．2概率運(yùn)算法則概率運(yùn)算法則又稱概率運(yùn)算定理，主要有加法定理和乘法定理。9.2.1加法定理

1．加法的特殊定理。如果事件(A、B、C)之間是互相排斥互不相容的，即各種可能出現(xiàn)的結(jié)果不可能重復(fù)出現(xiàn)，則各種事件的概率之和等于它們的個(gè)別概率之和。

P(A+B+C)=P(A)+P(B)+P(C)第6頁/共52頁2．補(bǔ)償定理。如果事件之間是相互排斥的，但事件A出現(xiàn)時(shí)，其他事件(記作)不出現(xiàn)時(shí)，則稱A、為互逆事件，它們的概率總和為：則有：

補(bǔ)償定理表明，如果直接計(jì)算事件A的概率比較困難，或者已知其逆事件的概率，可利用補(bǔ)償定理求出事件A的概率。第7頁/共52頁3．加法的一般定理。又稱廣義的概率加法公式。如果事件A和事件B不是相互排斥的，而是重迭出現(xiàn)的復(fù)合事件(積事件)，出現(xiàn)這種情況的概率叫做A和B的聯(lián)合概率。加法的一般定理是：

P（A+B）=P（A）+P（B）－P（AB）第8頁/共52頁9.2.2乘法定理

1．乘法的特殊定理。當(dāng)兩個(gè)事件獨(dú)立時(shí)，A發(fā)生對(duì)B發(fā)生的概率沒有影響，B發(fā)生對(duì)A發(fā)生的概率也沒有影響，此時(shí)，事件A和事件B同時(shí)出現(xiàn)的概率為：

P(AB)=P(A)·P(B)第9頁/共52頁2．乘法的一般定理。設(shè)A、B是兩個(gè)不獨(dú)立的事件(不重復(fù)抽樣)，在已知A發(fā)生的條件下，B發(fā)生的概率稱為B對(duì)于A的條件概率，用P(B/A)表示。此時(shí)A、B兩個(gè)事件均發(fā)生的概率為：

P(AB)=P(A)·P(B/A)第10頁/共52頁3．全概率定理。全概率定理應(yīng)用的前提條件是：事件A1，A2，……，An為一完備事件組(即隨機(jī)事件中，各種可能出現(xiàn)的結(jié)果齊備)；并且A1，A2，……，An兩兩相互排斥，則對(duì)任一事件B都有：第11頁/共52頁9.2.3貝葉斯定理貝葉斯定理又稱逆概定理，是十八世紀(jì)四十年代英國數(shù)學(xué)家T·貝葉斯提出的一個(gè)對(duì)決策非常有用的定理，也是一個(gè)計(jì)算條件概率的公式。即如果事件A1，A2，……，An為一完備事件組，則對(duì)任一事件有：第12頁/共52頁9.3概率分布的類型9.3.1概率分布的概念概率分布是由隨機(jī)變量的所有可能取值(xi)及相應(yīng)的概率P(xi)所組成的分布數(shù)列，反映隨機(jī)變量的分布狀況和特征。任何概率分布都具有兩個(gè)性質(zhì)：

(1)0≤P(xi)≤1(2)∑P(xi)=1概率分布有表列法、函數(shù)法、圖示法三種表示方式。第13頁/共52頁9.3.2概率分布的類型按隨機(jī)變量的性質(zhì)不同，概率分布的類型有：概率分布品質(zhì)型數(shù)量型離散型連續(xù)型第14頁/共52頁9.3.3概率分布的特征值期望值或總體平均數(shù)μ，方差，偏態(tài)系數(shù)β1，峰態(tài)系數(shù)β2等。第15頁/共52頁9.4離散型隨機(jī)變量概率分布9.4.1分立均等分布分立均等分布稱離散型等概率分布，其定義為：若離散型隨機(jī)變量的分布具有下列概率函數(shù)：

（x=1，2，……，N）第16頁/共52頁則稱其為分立均等分布。式中N為正整數(shù)，是此分布的總體參數(shù)。分立均等分布的兩個(gè)重要特征值分別為：

第17頁/共52頁9.4.2二點(diǎn)分布二點(diǎn)分布又稱點(diǎn)二項(xiàng)分布，若互相獨(dú)立的重復(fù)試驗(yàn)只有“成功”和“失敗”兩種結(jié)果，這種試驗(yàn)稱為貝努里試驗(yàn)，可?。贺惻飳?shí)驗(yàn)的特征為：1．實(shí)驗(yàn)的現(xiàn)象只有兩種互斥結(jié)果，即“成功”與“失敗”。2．成功事件發(fā)生的概率為p，失敗的概率為q，且p+q=1。3．貝努力實(shí)驗(yàn)為獨(dú)立實(shí)驗(yàn)。第18頁/共52頁二點(diǎn)分布的概率函數(shù)可表達(dá)為：二點(diǎn)分布的重要特征值為：1．期望值E(x)=p2．方差V(x)=pq第19頁/共52頁9.4.3

超幾何分布超幾何分布是離散型隨機(jī)變量概率分布的一種，它是建立在超幾何實(shí)驗(yàn)基礎(chǔ)之上的，若并非獨(dú)立的不重復(fù)試驗(yàn)中，總體N中有“成功”類者為K個(gè)，失敗類者為N—K個(gè)，從總體中抽取n個(gè)作為樣本時(shí)，稱為超幾何實(shí)驗(yàn)(參圖6—5)圖6-5超幾何實(shí)驗(yàn)第20頁/共52頁超幾何實(shí)驗(yàn)具有下列性質(zhì)：1．從一個(gè)含有N個(gè)個(gè)體的總體中，以不重復(fù)方式隨機(jī)抽取n個(gè)作為樣本，各次試驗(yàn)(抽樣)并非獨(dú)立的。2．總體N中成功類者為K個(gè)，失敗類者為N－K個(gè)。3．樣本中抽自成功類者為x個(gè)，抽自失敗類者為n-x個(gè)。4．由于不重復(fù)試驗(yàn)(抽樣)，每次試驗(yàn)成功的概率受其前次試驗(yàn)結(jié)果的影響，故成功的概率不能維持不變。第21頁/共52頁超幾何分布的定義為：若離散型隨機(jī)變量的分布具有下列概率函數(shù)：則稱為超幾何分布。式中N、K、n都為正整數(shù)，是此分布的三個(gè)參數(shù)，且N>K≥n，或N－K≥n。第22頁/共52頁超幾何分布的兩個(gè)重要特征值為：期望值：方差：其中稱為有限總體校正因子，當(dāng)采用不重復(fù)隨機(jī)抽樣時(shí)才須考慮，因而又稱不重復(fù)抽樣校正因子。第23頁/共52頁9.4.4二項(xiàng)分布二項(xiàng)分布是一種重要的離散型隨機(jī)變量概率分布，它是建立在重復(fù)進(jìn)行n次貝努里實(shí)驗(yàn)(二項(xiàng)實(shí)驗(yàn))基礎(chǔ)上的。二項(xiàng)實(shí)驗(yàn)的性質(zhì)為：1．一個(gè)簡單的貝努里實(shí)驗(yàn)重復(fù)獨(dú)立試行n次，共有n+1個(gè)可能發(fā)生的結(jié)果，即x=0，1，2，……n。2．每次試驗(yàn)的結(jié)果只有“成功”或“失敗”兩種互斥的結(jié)果。3．每次試驗(yàn)關(guān)心的是概率p保持不變。4．每次試驗(yàn)關(guān)心的是成功事件是否出現(xiàn)。第24頁/共52頁二項(xiàng)分布定義為：若離散型隨機(jī)變量分布具有下列概率函數(shù)：則稱其為二項(xiàng)分布。式中q=1-p，0≤p≤1；n為正整數(shù)。n和p為二項(xiàng)分布的兩個(gè)重要參數(shù)。第25頁/共52頁二項(xiàng)分布的重要特征值為：偏態(tài)系數(shù)：峰態(tài)系數(shù)：第26頁/共52頁由偏態(tài)系數(shù)β1可知二項(xiàng)分布的偏態(tài)：(1)當(dāng)p=1/2，β1=0，二項(xiàng)分布為對(duì)稱分布。(2)當(dāng)p＜1/2，β1

＞0，二項(xiàng)分布為右偏分布。(3)當(dāng)p＞1/2，β1

＜0，二項(xiàng)分布為左偏分布。由峰態(tài)系數(shù)β2可知二項(xiàng)分布的峰態(tài)：(1)當(dāng)pq=1/6，β2=3，二項(xiàng)分布具有常態(tài)峰。(2)當(dāng)pq＞1/6，β2＜3，二項(xiàng)分布具有低闊峰。(3)當(dāng)pq＜1/6，β2＞3，二項(xiàng)分布具有高狹峰。第27頁/共52頁9.4.5泊松分布泊松分布是一種重要的離散型隨機(jī)變量概率分布，它適于描述某些稀有事件的狀態(tài)或出現(xiàn)機(jī)會(huì)非常小的一些事件(如特大洪水、火山爆發(fā)、民航飛機(jī)失事、核反應(yīng)堆逸漏事件等)，它是由泊松于1837年提出的。設(shè)隨機(jī)變量x表示一實(shí)驗(yàn)的“成功”次數(shù)，即在一段時(shí)間或一定區(qū)域內(nèi)，該實(shí)驗(yàn)中某一特定事件發(fā)生的次數(shù)，則普哇松實(shí)驗(yàn)具有以下性質(zhì)：第28頁/共52頁1．發(fā)生在一定時(shí)間或特定區(qū)域內(nèi)的成功次數(shù)x的期望值E(x)=或E(x)=np為已知。2．不管時(shí)間或區(qū)域的始點(diǎn)，某一特定事件在某一段時(shí)間或特定區(qū)域內(nèi)發(fā)生的概率相同。3．在極短時(shí)間或極小區(qū)域內(nèi)，某一特定事件發(fā)生超過一次的概率略而不計(jì)。4．某一特定事件在各段時(shí)間或特定區(qū)域上出現(xiàn)是相互獨(dú)立的。5．特定事件的成功次數(shù)的期望值μ與所選擇的時(shí)間或區(qū)域的大小t成正比，其關(guān)系為μ=λt。第29頁/共52頁普哇松分布的定義為：若離散型隨機(jī)變量x的分布具有下列概率函數(shù)：(x=0,1,2,……)稱為普哇松分布。其中μ為此分布的參數(shù)，e=2.71828。第30頁/共52頁其分布的重要特征值為：期望值：E(x)=μ

方差：V(x)=μ偏態(tài)系數(shù)：

β1=峰態(tài)系數(shù)：β2=3+第31頁/共52頁期望值與方差均為u是普哇松布的一大特性。當(dāng)β1>0，β2>3時(shí)，普哇松分布為具有高狹峰的右偏分布；當(dāng)β1隨μ增加而趨向于0時(shí)，其偏斜程度則隨μ的增加而逐漸減小，最終成對(duì)稱分布；β2隨μ增加而趨向3時(shí)，則高狹峰態(tài)會(huì)隨μ的增加而逐漸減慢，最終成為常態(tài)峰。第32頁/共52頁9.5連續(xù)型隨機(jī)變量概率分布

9.5.1正態(tài)分布

正態(tài)分布:

又稱常態(tài)分布或高斯分布，是一種非常重要的連續(xù)型隨機(jī)變量的概率分布。其定義為：若連續(xù)型隨機(jī)變量x的分布具有下列概率密度函數(shù)：

則稱為正態(tài)分布。式中μ和σ為此分布的參數(shù)。(μ為總體均值，

σ為總體標(biāo)準(zhǔn)差)，e=2.71828，π=3.1416。第33頁/共52頁正態(tài)分布的重要特征值為：(1)期望值：E(x)=μ，且=Me=M0(2)方差：V(x)=(3)偏態(tài)系數(shù)：β1=0(4)峰態(tài)系數(shù)：β2=3第34頁/共52頁正態(tài)分布具有下列重要性質(zhì)：1．正態(tài)分布具有常態(tài)峰，即以μ為中心的左右對(duì)稱分布，左右二者面積相等，均為。2．正態(tài)分布曲線左右兩尾與橫軸漸近，但不與橫軸相交，即-∞＜x

＜∞。3．當(dāng)x

=μ值時(shí)，正態(tài)分布的概率密度函數(shù)值最大，當(dāng)x

≠μ時(shí)，f（x）的值隨|x|的值遞增而遞減。4．正態(tài)分布曲線有兩個(gè)拐點(diǎn)，分別在橫軸所對(duì)應(yīng)的曲線上。5．正態(tài)分布曲線下的面積(區(qū)間概率)是固定的。第35頁/共52頁標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布在實(shí)踐中，由于不同現(xiàn)象的隨機(jī)變量有不同的參數(shù)μ和σ，且不同隨機(jī)變量的計(jì)量單位也不同，因而有不同的正態(tài)分布形狀，從而給正態(tài)分布的應(yīng)用帶來了不便之處。為此，可令正態(tài)分布概率密度中的，則有：第36頁/共52頁因此，新的隨機(jī)變量z仍服從正態(tài)分布，且該正態(tài)分布的參數(shù)μ=0，σ=1。同時(shí)，無論x的計(jì)量單位如何，新變量以σ為計(jì)量單位，則稱z為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)隨機(jī)變量，稱z的分布為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布。其重要的特征值為：

期望值：E(z)=0方差：V(z)=1偏態(tài)系數(shù)：β1=0峰態(tài)系數(shù)：β2=3最高縱軸：第37頁/共52頁圖10標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布圖第38頁/共52頁由于任何正態(tài)分布都可以通過的變量轉(zhuǎn)換化為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布(z分布)，因此，只要計(jì)算出正態(tài)隨機(jī)變量z的取值區(qū)間[-∞，z]，就可求出相應(yīng)的區(qū)間概率P(z≤zi)，并將其編成z分布表，從而利用z分布表就可求出任何正態(tài)隨機(jī)變量x的取值區(qū)間[x1，x2]的概率。第39頁/共52頁即：第40頁/共52頁正態(tài)分布在統(tǒng)計(jì)方法應(yīng)用或統(tǒng)計(jì)推斷的抉擇上，占有非常重要的地位；1．許多客觀現(xiàn)象的分布大多為正態(tài)分布，如成年人的身高、機(jī)械零件的長度、學(xué)童的智力、誤差分布等等。2．正態(tài)分布可作為一些離散型隨機(jī)變量的概率分布的近似，例如二項(xiàng)分布、普哇松分布、超幾何分布等，當(dāng)n增大時(shí)，均可轉(zhuǎn)換為正態(tài)分布。第41頁/共52頁3．在統(tǒng)計(jì)標(biāo)準(zhǔn)中，許多問題均可在正態(tài)分布的假設(shè)下獲得解決。例如，小樣本抽樣分布(卡方分布、t

分布、F分布等)常假設(shè)總體呈正態(tài)分布。4．許多大樣本的抽樣分布通常將正態(tài)分布視為極限，以便進(jìn)行統(tǒng)計(jì)推斷。第42頁/共52頁9.5.2指數(shù)分布指數(shù)分布主要應(yīng)用于產(chǎn)品壽命的分析，是一種連續(xù)型隨機(jī)變量的概率分布。其定義為：若連續(xù)型隨機(jī)變量x的分布具有下列概率函數(shù)：則稱為指數(shù)分布。式中λ＞0，為此分布的參數(shù)。指數(shù)分布的重要特征值為：期望值：方差：眾數(shù)：M0=0

第43頁/共52頁9.5.3