幾何學(xué)的變革

9幾何學(xué)的變革歐幾里得平行公設(shè)非歐幾何的誕生非歐幾何的發(fā)展與確認(rèn)射影幾何的繁榮幾何學(xué)的統(tǒng)一9幾何學(xué)的變革歐氏幾何在公元前300年就已產(chǎn)生，其特征是建立了公理化方法：即從幾個(gè)概念和幾個(gè)命題，演繹出本學(xué)科其它所有概念和命題，從而構(gòu)成這一學(xué)科的全貌。運(yùn)用這種方法的學(xué)科被認(rèn)為是嚴(yán)謹(jǐn)?shù)暮统墒斓目茖W(xué)。歐氏幾何的公理體系出現(xiàn)在歐幾里得的《原本》中，在其之后的2200后，希爾伯特在《幾何基礎(chǔ)》加以完善。其間，許多數(shù)學(xué)家作了許多公理體系的完備性工作。9幾何學(xué)的變革

然而，令人放心不下的是該公理體系中的第五公設(shè)，即平行公設(shè)的問(wèn)題。因?yàn)槿藗儼l(fā)現(xiàn)即使歐幾里得本人也盡量避免使用它。9幾何學(xué)的變革9.1歐幾里得平行公設(shè)第五公設(shè)（即平行公設(shè)）尋求第五公設(shè)的證明非歐幾何的孕育9幾何學(xué)的變革9.1歐幾里得平行公設(shè)一第五公設(shè)（即平行公設(shè)）《原本》中五個(gè)公設(shè)：1由任意一點(diǎn)到另外任意一點(diǎn)可以畫(huà)直線2一條有限直線可以繼續(xù)延長(zhǎng)3以任意點(diǎn)為心及任意的距離可以畫(huà)圓4凡直角都彼此相等5同平面內(nèi)一條直線和另外兩條直線相交，若在某一側(cè)的兩個(gè)內(nèi)角的和小于二直角的和，則這二直線經(jīng)無(wú)限延長(zhǎng)后在這一側(cè)相交9.1歐幾里得的平行公設(shè)從古希臘時(shí)代開(kāi)始，人們一直對(duì)第五公設(shè)有疑問(wèn)，二千年來(lái)，數(shù)學(xué)家們一直在想消除這個(gè)疑問(wèn)，其途徑有二：一是用更為自明的命題代替第五公設(shè)；二是證明它，使其成為一個(gè)定理。兩千年來(lái)提出眾多的替代公設(shè)有：9.1歐幾里得的平行公設(shè)存在一對(duì)同平面的直線彼些處處等距離過(guò)己知直線外一點(diǎn)能且只能作一條直線與己知直線平行存在一對(duì)相似但不全等的三角形如果一個(gè)四邊形有一對(duì)對(duì)邊相等，并且它們與第三邊構(gòu)成的角均為直角，則余下的兩個(gè)角也是直角9.1歐幾里得的平行公設(shè)如果四邊形有三個(gè)角是直角，則第四個(gè)角也是直角至少存在一個(gè)三角形，其三角和等于二直角過(guò)任何三個(gè)不在同一直線上的點(diǎn)可作一圓三角形的面積無(wú)上限

但所有這些替代公設(shè)，也不自明。9.1歐幾里得的平行公設(shè)二尋求第五公設(shè)的證明多少世紀(jì)以來(lái)，試圖證明第五公設(shè)的人是如此之多，差不多夠一個(gè)軍團(tuán)，但所有這些嘗試均告失敗。9.1歐幾里得的平行公設(shè)三非歐幾何的孕育

1薩凱里（Saccheri）著《歐幾里得無(wú)懈可擊》（1733）從著名的“薩凱里四邊形”出發(fā)證明平行公設(shè)2克呂格爾1763年，克呂格爾指出薩凱里的工作并未導(dǎo)出矛盾，他懷疑能否證明平行公設(shè)9.1歐歐幾幾里里得得的的平平行行公公設(shè)設(shè)3蘭伯伯特特著《《平平行行線線的的理理論論》》（（1766））他認(rèn)認(rèn)識(shí)識(shí)到到一一組組假假設(shè)設(shè)如如果果不不引引起起矛矛盾盾的的話話，，就就提提供供了了一一種種可可能能的的幾幾何何。。蘭伯伯特特最最先先指指出出通通過(guò)過(guò)替替換換平平行行公公設(shè)設(shè)而而展展開(kāi)開(kāi)新新的的無(wú)無(wú)矛矛盾盾的的幾幾何何學(xué)學(xué)的的道道路路。。薩凱里、、克呂格格爾、蘭蘭伯特是是非歐幾幾何的先先行者。。平行公公理的的研究究(公公元前前3世世紀(jì)至至1800年)A+B+C=2π非歐幾幾何的的孕育育歐幾里得普萊菲爾(蘇格蘭,1748-1819)

勒讓德(法,1752-1833)若一直直線落落在兩兩直線線上所所構(gòu)成成的同同旁?xún)?nèi)內(nèi)角和和小于于兩直直角,那那么把把兩直直線無(wú)無(wú)限延延長(zhǎng),它它們都都在同同旁?xún)?nèi)內(nèi)角和和小于于兩直直角的的一側(cè)側(cè)相交交.勒讓德德(法法,1752-1833)《《幾何何學(xué)原原理》》：這這條關(guān)關(guān)于三三角形形的三三個(gè)內(nèi)內(nèi)角和和的定定理應(yīng)應(yīng)該認(rèn)認(rèn)為是是那些些基本本真理理之一一。這這些真真理是是不容容爭(zhēng)論論的，，它們們是數(shù)數(shù)學(xué)永永恒真真理的的不朽朽的例例子。。(1832)1733年年薩凱凱里(意,1667-1733)《《歐幾幾里得得無(wú)懈懈可擊擊》非歐幾幾何的的孕育育非歐幾幾何的的孕育育1766年年蘭伯伯特(法,1728-1777)《《平行行線理理論》》不認(rèn)認(rèn)為銳銳角假假設(shè)矛矛盾,認(rèn)認(rèn)識(shí)識(shí)到如如果一一組假假設(shè)不不引起起矛盾盾,就就提提供了了一種種可能的的幾何何1763年年，克克呂格格爾(德,1739-1812)第第一位位對(duì)平平行線線公設(shè)設(shè)是否否能由由其它它公理理加以以證明明表示懷懷疑的數(shù)學(xué)學(xué)家1820年年F??鮑約約(匈匈,1775-1856):““我我經(jīng)過(guò)過(guò)了這這個(gè)長(zhǎng)長(zhǎng)夜的的渺無(wú)無(wú)希望望的黑黑暗,在在這里里埋沒(méi)沒(méi)了我我一生生的一一切亮亮光和和一切切快樂(lè)樂(lè),………或或許這這個(gè)無(wú)無(wú)底洞洞的黑黑暗將將吞食食掉一一千個(gè)個(gè)猶如如燈塔塔般的的牛頓頓,而而使使大地地永無(wú)無(wú)光明明?！薄?.2非非歐歐幾何何的誕誕生高斯波約羅巴切切夫斯斯基9.2非非歐歐幾何何的誕誕生一高高斯（（Gauss，，1777—1855））1799年年，高高斯意意識(shí)到到平行行公設(shè)設(shè)不能能由其其它歐歐氏公公理推推出來(lái)來(lái)，并并從1813年年起發(fā)發(fā)展了了這種種平行行公設(shè)設(shè)在其其中不不成立立的新新幾何何學(xué)，，稱(chēng)之之為反反歐幾幾里得得幾何何學(xué)，，但高高斯生生前未未發(fā)表表。9.2非非歐歐幾何何的誕誕生二波波約約（1802——1860）1823年年，波波約開(kāi)開(kāi)始理理解平平行公公設(shè)問(wèn)問(wèn)題的的實(shí)質(zhì)質(zhì)，稱(chēng)稱(chēng)“我我要白白手起起家創(chuàng)創(chuàng)造一一個(gè)奇奇怪的的新世世界””。波波約稱(chēng)稱(chēng)他的的非歐歐幾何何為““絕對(duì)對(duì)幾何何”。。著《絕絕對(duì)空空間的的科學(xué)學(xué)》9.2非非歐歐幾何何的誕誕生三羅羅巴巴切夫夫斯基基（1792——1856）1826《簡(jiǎn)要要論述述平行行線定定理的的一個(gè)個(gè)嚴(yán)格格證明明》1829《《論論幾何何原理理》1835——1838系系列列論論文文《具具有有完完備備的的平平行行線線理理論論的的新新幾幾何何學(xué)學(xué)原原理理》》1840《《平平行行理理論論的的幾幾何何研研究究》》9.2非非歐歐幾幾何何的的誕誕生生羅巴巴切切夫夫斯斯基基在在否否定定第第五五公公理理的的同同時(shí)時(shí)，，假假設(shè)設(shè)其其反反面面之之一一：：““過(guò)已已知知直直線線外外一一點(diǎn)點(diǎn)，，可可作作多多于于一一條條的的直直線線與與已已知知直直線線平平行行””，，得到到了了一一系系列列定定理理，，并并且且認(rèn)認(rèn)為為他他得得到到了了一一門(mén)門(mén)新新的的幾幾何何學(xué)學(xué)。。羅巴巴切切夫夫斯斯基基宣宣布布自自己己建建立立了了新新的的幾幾何何學(xué)學(xué)之之后后，，遭遭到到了了許許多多數(shù)數(shù)學(xué)學(xué)大大家家的的嘲嘲笑笑、、諷諷刺刺，，德德國(guó)國(guó)詩(shī)詩(shī)人人歌歌德德也也出出來(lái)來(lái)諷諷刺刺他他。。實(shí)實(shí)際際上上，，羅羅巴巴切切夫夫斯斯基基的的理理論論得得到到世世界界的的認(rèn)認(rèn)可可是是在在他他去去世世幾幾十十年年后后的的事事了了。。π(α)非歐歐幾幾何何1813年年高高斯斯(德德,1777-1855)：：非非歐歐幾幾里里得得幾幾何何1832年年波波約約(匈匈,1802-1860)《《絕絕對(duì)對(duì)空空間間的的科科學(xué)學(xué)》》幾何何學(xué)學(xué)上上的的哥哥白白尼尼1826年年羅羅巴巴切切夫夫斯斯基基(俄俄,1792-1856)《《簡(jiǎn)簡(jiǎn)要要論論述述平平行行線線定定理理的的一一個(gè)個(gè)嚴(yán)嚴(yán)格格證證明明》》羅巴切夫斯基(蘇聯(lián),1951)非歐歐幾幾何何羅巴巴切切夫夫斯斯基基(俄俄,1792-1856)，，喀喀山山大大學(xué)學(xué)教教授授、、校校長(zhǎng)長(zhǎng)1815年年著手研究究平行線理理論，試圖圖給出平行行公設(shè)的證證明1826年年在在物物理理數(shù)數(shù)學(xué)學(xué)系系會(huì)會(huì)議議宣宣讀讀《《簡(jiǎn)簡(jiǎn)要要論論述述平平行行線線定定理理的的一一個(gè)個(gè)嚴(yán)嚴(yán)格格證證明明》》1829年年論論文文《《幾幾何何學(xué)學(xué)原原理理》》在在《《喀喀山山大大學(xué)學(xué)通通報(bào)報(bào)》》全全文文發(fā)發(fā)表表直至至羅羅巴巴切切夫夫斯斯基基去去世世的的30年年內(nèi)內(nèi)，，沒(méi)沒(méi)能能贏贏得得社社會(huì)會(huì)的的承承認(rèn)認(rèn)和和贊贊美美鮑約(羅馬尼亞,1960)非歐歐幾幾何何鮑約父子之墓9.3非非歐歐幾幾何何的的發(fā)發(fā)展展與與確確認(rèn)認(rèn)黎曼曼幾幾何何非歐歐幾幾何何的的相相容容性性公理理系系統(tǒng)統(tǒng)的的相相對(duì)對(duì)相相容容性性的的證證明明非歐歐幾幾何何的的意意義義9.3非非歐歐幾何的的發(fā)展與與確認(rèn)非歐幾何何從發(fā)現(xiàn)現(xiàn)到獲得得普遍接接受經(jīng)歷歷了曲折折的道路路，要達(dá)達(dá)到這一一目標(biāo)，，需要確確定非歐歐幾何自自身的無(wú)無(wú)矛盾性性和現(xiàn)實(shí)實(shí)意義。一黎曼幾幾何黎曼（Rieman，1826—1866）在在1854年年發(fā)展了羅巴巴切夫斯基等等人的思想，，建立了現(xiàn)稱(chēng)稱(chēng)為“黎曼幾幾何”的一種種更廣泛的幾幾何，歐氏幾幾何、羅氏幾幾何、黎曼非非歐幾何都只只是其特例。。9.3非非歐幾何的發(fā)發(fā)展與確認(rèn)在羅氏幾何產(chǎn)產(chǎn)生后的1854年，德德國(guó)數(shù)學(xué)家黎黎曼把歐氏第第五公設(shè)改為為：“過(guò)已知知直線外一點(diǎn)點(diǎn)，沒(méi)有與其其平行之直線線”，得到的的一種新的幾幾何學(xué)—黎曼曼非歐幾何，，為非歐幾何何的另一翼。。9.3非非歐幾何的發(fā)發(fā)展與確認(rèn)在黎曼幾何中中，最重要的的一種對(duì)象是是常曲率空間間，對(duì)于三維維空間，有下下列情形：曲率為正常數(shù)數(shù)黎曼非歐幾何何橢圓幾幾何曲率為負(fù)常數(shù)數(shù)羅氏非歐幾何何雙曲幾幾何曲率恒為零歐氏幾何內(nèi)蘊(yùn)幾何，流流形曲率1854年黎黎曼(德,1826-1866)《關(guān)于幾何何基礎(chǔ)的假設(shè)設(shè)》非歐幾何非歐幾何1846年進(jìn)進(jìn)入哥廷根大大學(xué)專(zhuān)修語(yǔ)言言和神學(xué)1847-1848年到到柏林大學(xué),進(jìn)入數(shù)學(xué)學(xué)領(lǐng)域1849-1851年在在哥廷根大學(xué)學(xué),取得博博士學(xué)位,學(xué)學(xué)位論文““單復(fù)變函數(shù)數(shù)一般理論基基礎(chǔ)”1854年講講師職位講演演:關(guān)于幾幾何基礎(chǔ)的假假設(shè),1857年副教教授,1859年教授授1862年得得肺結(jié)核,1866年年在意大利逝逝世1876年出出版《黎曼全全集》(發(fā)表表論文18篇篇,遺稿12篇)偉大的分析學(xué)學(xué)家：復(fù)變函函數(shù)論、阿貝貝爾函數(shù)論、、超幾何級(jí)數(shù)數(shù)與常微分方方程、解析數(shù)數(shù)論、實(shí)分析析、幾何學(xué)、、數(shù)學(xué)物理、、物理學(xué)黎曼(德,1826-1866)“黎曼是一一個(gè)富有想象象的天才,他他的想法即即使沒(méi)有證明明,也鼓舞舞了整整一個(gè)個(gè)世紀(jì)的數(shù)學(xué)學(xué)家.”9.3非非歐幾何的發(fā)發(fā)展與確認(rèn)二非歐幾幾何的相容性性三公理系系統(tǒng)的相對(duì)相相容性的證明明模型與相容性性1868年貝貝爾特拉米(意,1835-1899)非歐幾何曳物線偽球面1871年克克萊因(德,1849-1925)1882年龐龐加萊(法,1854-1912)非歐幾何克萊因-龐加萊圓9.3非非歐幾何的發(fā)發(fā)展與確認(rèn)四非歐幾幾何的意義1解決了平平行公理的獨(dú)獨(dú)立性問(wèn)題。。推動(dòng)了一般般公理體系的的獨(dú)立性、相相容性、完備備性問(wèn)題的研研究，促進(jìn)了了數(shù)學(xué)基礎(chǔ)這這一更為深刻刻的數(shù)學(xué)分支支的形成與發(fā)發(fā)展。9.3非非歐幾何的發(fā)發(fā)展與確認(rèn)2證明了了對(duì)公理方法法本身的研究究能推動(dòng)數(shù)學(xué)學(xué)的發(fā)展，理理性思維和對(duì)對(duì)嚴(yán)謹(jǐn)、邏輯輯和完美的追追求，推動(dòng)了了科學(xué)，從而而推動(dòng)了社會(huì)會(huì)的發(fā)展和進(jìn)進(jìn)步。在數(shù)學(xué)學(xué)內(nèi)部，各分分支紛紛建立立了自己的公公理體系，包包括被公認(rèn)為為最困難的概概率論也在20世紀(jì)30年代建立自自己的公理體體系。實(shí)際上上公理化的研研究又孕育了了“元數(shù)學(xué)””的產(chǎn)生和發(fā)發(fā)展。9.3非非歐幾何的發(fā)發(fā)展與確認(rèn)3非歐幾幾何實(shí)際上預(yù)預(yù)示了相對(duì)論論的產(chǎn)生，就就象微積分預(yù)預(yù)示了人造衛(wèi)衛(wèi)星一樣。非非歐幾何與相相對(duì)論和匯合合是科學(xué)史上上劃時(shí)代的事事件。人們都都認(rèn)為是愛(ài)因因斯坦創(chuàng)立了了相對(duì)論，但但是，也許愛(ài)愛(ài)因斯坦更清清楚，是他和和一批數(shù)學(xué)家家Poincare,Minkouski,Hilbert等共同同的工作。出出現(xiàn)動(dòng)鐘延緩緩，動(dòng)尺縮短短，時(shí)空彎曲曲等現(xiàn)象。這這些都是非歐歐幾何與相對(duì)對(duì)論的科學(xué)發(fā)發(fā)現(xiàn)。9幾何學(xué)學(xué)的變革9.4射射影幾何的繁繁榮蒙日(法國(guó),1953)1803年卡卡爾諾(法,1753-1823)的《位置置幾何學(xué)》卡爾諾(法國(guó),1950)1799年蒙蒙日(法,1746-1818)的《畫(huà)法幾幾何學(xué)》射影幾何早期開(kāi)拓者:德沙格(法,1591-1661),帕帕斯卡(法法,1623-1662)綜合方法連續(xù)性原理對(duì)偶原理1822年龐斯列(法,1788-1867)的《論圖形的射影性質(zhì)》射影幾何代數(shù)方法默比烏斯(德,1790-1868)1827年默比烏斯(德,1790-1868)的《重心計(jì)算》1829年普呂克(德,1801-1868)的三線坐標(biāo)普呂克(德,1801-1868)射影幾何射影幾何施陶特(德,1798-1867)

1847年施陶特(德,1798-1867)的《位置幾何學(xué)》

凱萊(英,1821-1895)在射影幾何基礎(chǔ)上建立歐氏幾何和非歐幾何凱萊(英,1821-1895)9幾何學(xué)學(xué)的變革9.5幾幾何學(xué)的統(tǒng)一一愛(ài)爾朗根綱領(lǐng)領(lǐng)（克萊因，，1872年年）：所謂幾何學(xué)，，就是研究幾幾何圖形對(duì)于于某類(lèi)變換群群保持不變的的性質(zhì)的學(xué)問(wèn)問(wèn)，或者說(shuō)任任何一種幾何何只是研究與與特定的變換換群有關(guān)的不不變量?？巳R因以射影影幾何為基礎(chǔ)礎(chǔ)、對(duì)幾何學(xué)學(xué)做了分類(lèi)。。所謂幾何學(xué)，，就是研究幾幾何圖形對(duì)于于某類(lèi)變換群群保持不變的的性質(zhì)的學(xué)科科，或者說(shuō)任任何一種幾何何學(xué)只是研究究與特定的變變換群有關(guān)的的不變量。1872年