2023屆遼寧省名校聯(lián)盟高三上學(xué)期12月聯(lián)合考試數(shù)學(xué)試題（解析版）

試卷第=page22頁，共=sectionpages44頁2023屆遼寧省名校聯(lián)盟高三上學(xué)期12月聯(lián)合考試數(shù)學(xué)試題一、單選題1．已知集合，，則（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】分析可得，由此可得出結(jié)論.【詳解】任取，則，其中，所以，，故，因此，.故選：C.2．命題關(guān)于x的不等式的解集為的一個必要不充分條件是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】首先求的取值范圍，再根據(jù)集合的包含關(guān)系，求命題的必要不充分條件.【詳解】不等式的解集為，則，得，所以命題的必要不充分條件表示的集合需真包含，所以是其必要不充分條件．故選：C3．若函數(shù)在區(qū)間上有最大值，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】求導(dǎo)，求得其最大值點(diǎn)，再根據(jù)在區(qū)間上有最大值，由最大值點(diǎn)的橫坐標(biāo)是中的元素求解.【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)，所以，當(dāng)或時，，當(dāng)時，，所以當(dāng)時，取得最大值，又，且在區(qū)間上有最大值，所以，解得，所以實(shí)數(shù)的取值范圍是故選：D4．已知向量，，若與的夾角是銳角，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】根據(jù)向量的數(shù)量積為正數(shù)且兩向量不同向即可根據(jù)坐標(biāo)運(yùn)算求解.【詳解】由題意得，，若與的夾角是銳角，則與不共線，且它們數(shù)量積為正值，即，且，解得，且，所以實(shí)數(shù)的取值范圍為．故選:A5．中國傳統(tǒng)文化中很多內(nèi)容體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的“對稱美”．如圖所示的太極圖是由黑白兩個魚形紋組成的圓形圖案，充分體現(xiàn)了相互變化、對稱統(tǒng)一的形式美、和諧美．給出定義：能夠?qū)⒁宰鴺?biāo)原點(diǎn)O為圓心的圓的周長和面積同時平分的函數(shù)稱為此圓的“優(yōu)美函數(shù)”，則下列函數(shù)中一定是“優(yōu)美函數(shù)”的為（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】根據(jù)題意可知優(yōu)美函數(shù)的圖像過坐標(biāo)原點(diǎn)，圖像關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對稱，是奇函數(shù)，再分別檢驗(yàn)四個選項(xiàng)即可得出正確選項(xiàng).【詳解】根據(jù)優(yōu)美函數(shù)的定義可知，優(yōu)美函數(shù)的圖像過坐標(biāo)原點(diǎn)，圖像關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對稱，是奇函數(shù)，對于A，不是奇函數(shù)，A選項(xiàng)錯誤；對于B，不是奇函數(shù)，B選項(xiàng)錯誤；對于C，的定義域?yàn)椋沂瞧婧瘮?shù)，C項(xiàng)正確；對于D，的定義域?yàn)?，所以圖像不經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)，D選項(xiàng)錯誤；故選：C．6．若過點(diǎn)的圓與兩坐標(biāo)軸都相切，則圓心到直線的距離為（

）A．或 B． C． D．【答案】B【分析】首先判斷圓心位置，再設(shè)出圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，代入點(diǎn)求解圓心，最后利用點(diǎn)到直線的距離求解.【詳解】由于圓上的點(diǎn)（4，2）在第一象限，若圓心不在第一象限，則圓至少與一條坐標(biāo)軸相交，不符合題意，所以圓心必在第一象限．設(shè)圓心的坐標(biāo)為，，則圓的半徑為a，圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為．由題意可得，即，解得或，所以圓心坐標(biāo)為（2，2）或（10，10），且此兩點(diǎn)的中點(diǎn)在直線上，故點(diǎn)（2，2），（10，10）到該直線的距離均為，所以圓心到直線的距離為．故選：B7．定義在R上的函數(shù)于滿足是偶函數(shù)，且于，若，則（

）A． B． C． D．2【答案】C【分析】根據(jù)條件可判斷是周期為6的周期函數(shù)，進(jìn)而根據(jù)周期以及奇偶性即可求解.【詳解】由得，所以，即，所以是周期為6的周期函數(shù)，進(jìn)而，因?yàn)槭桥己瘮?shù)，所以，又，所以．故選：C8．已知函數(shù)，若，，，則a，b，c的大小關(guān)系為（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】根據(jù)導(dǎo)函數(shù)求出原函數(shù)的單調(diào)性，在利用函數(shù)的奇偶性與對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性即可比較大小.【詳解】由題可知的定義域?yàn)镽，且,則為偶函數(shù)，，當(dāng)時，，在上單調(diào)遞增，又，，，所以，則，又，所以，故選：A.二、多選題9．設(shè)復(fù)數(shù)（，且），則下列結(jié)論正確的是（

）A．不可能是實(shí)數(shù) B．恒成立C．若，則 D．若，則【答案】ABC【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的運(yùn)算和復(fù)數(shù)的類型的概念求解即可.【詳解】對于A項(xiàng)，若是實(shí)數(shù)，則，與已知矛盾，故A項(xiàng)正確；對于B項(xiàng)，由A項(xiàng)知，所以，，故B項(xiàng)正確；對于C項(xiàng)，若，則，因?yàn)?，所以，故C項(xiàng)正確；對于D項(xiàng)，，則，因?yàn)?，所以，所以，故D項(xiàng)錯誤．故選:ABC．10．若曲線（e為自然對數(shù)的底數(shù)）有兩條過坐標(biāo)原點(diǎn)的切線，則a的取值可以是（

）A． B． C．0 D．1【答案】AD【分析】設(shè)切點(diǎn)為，求導(dǎo)得出斜率，利用點(diǎn)斜式得到切線方程，因?yàn)榍芯€過坐標(biāo)原點(diǎn)，可得到，有兩條切線轉(zhuǎn)化為有兩個不等的實(shí)根，即可求出a的取值范圍，進(jìn)而得到正確選項(xiàng).【詳解】設(shè)切點(diǎn)為，，所以切線的斜率，則此曲線在P處的切線方程為，又此切線過坐標(biāo)原點(diǎn)，所以，由此推出有兩個不等的實(shí)根，所以，解得或，故選：AD．11．已知x，y是正數(shù)，且，則下列結(jié)論正確的是（

）A．xy的最大值為 B．的最小值為C．的最大值為 D．的最小值為9【答案】ABD【分析】根據(jù)基本不等式，結(jié)合配方法以及“1”的妙用，可得答案.【詳解】對于A項(xiàng)，因?yàn)?，?dāng)且僅當(dāng)，即，時取等號，此時xy的最大值為，故A項(xiàng)正確；對于B項(xiàng)，，因?yàn)?，所以，?dāng)且僅當(dāng)，即，時取等號，即的最小值為，故B項(xiàng)正確；對于C項(xiàng)，，當(dāng)且僅當(dāng)，即，時取等號，又x，y都是正數(shù)，所以等號不成立，故C項(xiàng)錯誤；對于D項(xiàng)，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時取等號，此時的最小值為9，故D項(xiàng)正確．故選：ABD．12．如圖，矩形BDEF所在平面與正方形ABCD所在平面互相垂直，，G為線段AE上的動點(diǎn)，則（

）A．B．多面體ABCDEF的體積為C．若G為線段AE的中點(diǎn)，則平面CEFD．點(diǎn)M，N分別為線段AF，AC上的動點(diǎn)，點(diǎn)T在平面BCF內(nèi)，則的最小值是【答案】ACD【分析】首先將幾何體補(bǔ)全成正方體，在正方體中易判斷ABC；D.首先利用對稱，轉(zhuǎn)化，而的最小值是異面直線AF與CQ之間的距離，即點(diǎn)到平面的距離.【詳解】如圖，將幾何體ABCDEF補(bǔ)全成棱長為2的正方體，在該正方體中，因?yàn)?，，所以，故A項(xiàng)正確；因?yàn)?，故B項(xiàng)錯誤；當(dāng)G為線段AE的中點(diǎn)時，因?yàn)?，平面CEF，平面CEF，所以平面CEF，同理平面CEF，又，平面，所以平面平面CEF，平面，所以平面CEF，故C項(xiàng)正確；設(shè)A關(guān)于BC的對稱點(diǎn)為Q，N關(guān)于BC的對稱點(diǎn)為，則在線段CQ上，記d為直線AF與CQ之間的距離，因?yàn)?且平面,平面，所以平面，即轉(zhuǎn)化為點(diǎn)C到平面AEF的距離，即IC長度的三分之二，，則，經(jīng)檢驗(yàn)點(diǎn)M，都分別在線段上，故D項(xiàng)正確．附證：，因?yàn)槠矫?，平面，所以，又因?yàn)?，，所以平面，平面，所以，同理，且，所以平面，設(shè)點(diǎn)到平面的距離為,根據(jù)等體積可知，，得,所以點(diǎn)到平面的距離為.故選ACD項(xiàng)．三、填空題13．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知為等腰三角形，，，點(diǎn)B在x軸的正半軸上，則直線AB的方程為__________．【答案】【分析】根據(jù)傾斜角與斜率的關(guān)系以及點(diǎn)斜式即可求解直線方程.【詳解】因?yàn)?，所以，即，所以直線AB的方程為，即．故答案為：14．將函數(shù)的圖像和直線的所有交點(diǎn)從左到右依次記為，，…，，若點(diǎn)P坐標(biāo)為，則__________．【答案】18【分析】根據(jù)圖形的對稱性結(jié)合向量的加法運(yùn)算即可求解.【詳解】因?yàn)椋鋱D像和直線的所有交點(diǎn)從左到右依次記為，，…，，在同一平面直角坐標(biāo)系中分別作出與直線l的圖象，共得9個交點(diǎn)，其中點(diǎn)，根據(jù)余弦函數(shù)的中心對稱性可知是的中點(diǎn)，所以，同理，所以，又，所以，所以．15．已知在正三棱柱中，底面邊長為，高為4，點(diǎn)在側(cè)棱上，且與垂直，則三棱錐的外接球表面積為__________．【答案】【分析】先由題設(shè)條件判斷得為的中點(diǎn)，從而利用線面垂直的判定定理證得外接球的球心在直線上，再由勾股定理得到關(guān)于的方程組，解之即可求得所求.【詳解】依題意得，設(shè)，則，所以，，又，，所以，即，解得，即，，所以為的中點(diǎn)，如圖，因?yàn)槭侵苯侨切?，所以的外心為的中點(diǎn)，記為，設(shè)的中點(diǎn)為E，因?yàn)榉謩e是的中點(diǎn)，所以，在上取點(diǎn)滿足，則，而，所以，則，所以四邊形是平行四邊形，故，在邊長為的等邊中，易得，所以，因?yàn)槠矫?，平面，所以，易知，且平面，所以平面，又，所以平面，故三棱錐外接球的球心在直線上，易得，，，設(shè)，外接球半徑為R，則在中，有，即，在中，有，即，所以，解得，即O與F重合，此時，故三棱錐的外接球表面積為．故答案為：..16．已知函數(shù)，若恒成立，則實(shí)數(shù)k的取值范圍為__________．【答案】【分析】首先去絕對值，得到分段函數(shù)，利用參變分離，轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值，求實(shí)數(shù)k的取值范圍.【詳解】由題意得，當(dāng)時，由恒成立，得．因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，所以，解得；當(dāng)時，由恒成立，得．因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，所以，解得；當(dāng)時，由恒成立，得，即，所以．綜上，實(shí)數(shù)k的取值范圍是．故答案為：四、解答題17．已知函數(shù)在區(qū)間內(nèi)是增函數(shù)．(1)求的取值范圍；(2)將函數(shù)的圖像向左平移個單位長度后得到的圖像與將其向右平移個單位長度后所得到的圖像重合．求的值．【答案】(1)(2)2【分析】（1）確定，根據(jù)單調(diào)性得到，解得答案.（2）根據(jù)三角函數(shù)的平移法則得到，結(jié)合的范圍得到答案.【詳解】（1）因?yàn)?，，則，已知在區(qū)間內(nèi)是增函數(shù)，則，解得．（2）由已知可得，即，所以，即，，當(dāng)且僅當(dāng)時，，符合．故．18．已知△ABC的內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且滿足．(1)證明：；(2)求角B的最大值．【答案】(1)證明見解析(2)．【分析】（1）利用三角形內(nèi)角性質(zhì)以及三角函數(shù)誘導(dǎo)公式，根據(jù)余弦定理，整理等式，結(jié)合同角三角函數(shù)商式公式，可得答案；（2）利用三角函數(shù)內(nèi)角性質(zhì)以及三角函數(shù)誘導(dǎo)公式，整理角的函數(shù)解析式，利用基本不等式，可得答案.【詳解】（1）證明：因?yàn)?，所以，即，所以，由余弦定理知，化簡得，又，所以C一定為鈍角，A為銳角，故，所以．（2）解：因?yàn)?，所以，因?yàn)?，，所以，?dāng)且僅當(dāng)，即時等號成立，此時取得最大值，又B為銳角，所以角B的最大值為．19．已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且，．(1)求證：數(shù)列是等比數(shù)列；(2)求證：數(shù)列是等差數(shù)列；(3)求數(shù)列的前n項(xiàng)和．【答案】(1)證明見解析(2)證明見解析(3)．【分析】（1）首先利用，消元后再構(gòu)造數(shù)列的遞推形式，證明數(shù)列是等比數(shù)列；（2）根據(jù)（1）的結(jié)果可知，再根據(jù)等差數(shù)列的定義，即可證明；（3）由（2）可得，再利用錯位相減法求和.【詳解】（1）證明：因?yàn)?，時，，得所以當(dāng)時，，兩式作差得，所以，又，所以，即，所以數(shù)列是首項(xiàng)為，公比為2的等比數(shù)列．（2）證明：由（1）可知，即，所以數(shù)列是首項(xiàng)為，公差為的等差數(shù)列．（3）由（2）可知，即，根據(jù)題意得，則，所以，兩式相減得，即，所以．20．如圖，在直角三角形ABC中，直角邊，，M為AB的中點(diǎn)，Q為BC的中點(diǎn)，將三角形AMC沿著MC折起，使（為A翻折后所在的點(diǎn)），連接MQ．(1)求證：；(2)求直線MB與平面所成角的正弦值．【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）取的中點(diǎn)為，連接，，證明面，即得證；（2）取所在直線為軸，所在直線為軸，過點(diǎn)作面的垂線為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法求解.【詳解】（1）取的中點(diǎn)為N，連接，，因?yàn)?，所以，，所以，所以，又N，Q分別為，BC的中點(diǎn)，所以，，所以．又為等腰三角形，，所以，又，，，平面MNQ，所以平面MNQ，又平面MNQ，所以．（2）因?yàn)?，，，平面，平面，所以平面，以點(diǎn)Q為坐標(biāo)原點(diǎn)，取QB所在直線為x軸，QM所在直線為y軸，過點(diǎn)Q作平面MCB的垂線為z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，，設(shè)平面的法向量為，所以得取，則，，，又，設(shè)直線MB與平面所成角為，則，所以直線MB與平面所成角的正弦值為21．已知在平面直角坐標(biāo)系中，平面內(nèi)動點(diǎn)P滿足．(1)求點(diǎn)P的軌跡方程；(2)點(diǎn)P軌跡記為曲線，若C，D是曲線與軸的交點(diǎn)，E為直線上的動點(diǎn)，直線CE，DE與曲線的另一個交點(diǎn)分別為M，N，直線MN與x軸交點(diǎn)為Q，求的最小值．【答案】(1)(2)【分析】(1)根據(jù)題意用兩點(diǎn)間距離公式求解即可；(2)利用韋達(dá)定理求出M，N的坐標(biāo)，進(jìn)而求得的直線方程，即可利用基本不等式求出的最小值.【詳解】（1）設(shè)，則，化簡得．（2）由題意得，設(shè)，則直線CE的方程為，直線DE的方程為，聯(lián)立得，則，即，則，聯(lián)立得，則，即，,，①當(dāng)時，直線MN的斜率，則直線MN的方程為，即，，②當(dāng)時，直線MN垂直于x軸，方程為，也過定點(diǎn)．綜上，直線MN恒過定點(diǎn)．又，所以，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時取等，所以的最小值為.22．設(shè)且，函數(shù)，．(1)證明：恒成立；(2)若對，恒成立，求a的取值范圍．【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）首先求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)討論函數(shù)的單調(diào)性，并求函數(shù)的最小值；即可證明；（2）分，和三種情況討論，利用導(dǎo)數(shù)討論函數(shù)的最值，求的取值范圍.【詳解】（1）證明：的定義域?yàn)?，且，?dāng)時