2015年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)文試題(新課標(biāo)2卷含)

2015年一般高等學(xué)校招生全國(guó)一致考試文科數(shù)學(xué)注意事項(xiàng)：1．本試卷分第Ⅰ卷（選擇題）和第Ⅱ卷（非選擇題）兩部分。答卷前，考生務(wù)勢(shì)必自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫(xiě)在本試卷和答題卡相應(yīng)地點(diǎn)上。2．回答第Ⅰ卷時(shí)，選出每題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)框涂黑，如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其余答案標(biāo)號(hào)框。寫(xiě)在本試卷上無(wú)效。3．答第Ⅱ卷時(shí)，將答案寫(xiě)在答題卡上，寫(xiě)在本試卷上無(wú)效。4．考試結(jié)束，將試題卷和答題卡一并交回。第Ⅰ卷一、選擇題：本大題共12小題。每題5分，在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)為哪一項(xiàng)吻合要求的。1.已知會(huì)集A{x|1x2}，B{x|0x3}，則A∪B=A.(1,3)B.(1,0)C.(0,2)D.(2,3)2.若a為實(shí)數(shù)，且2ai3i，則a1iA.4B.3C.3D.43.依據(jù)下邊給出的2004年至2013年我國(guó)二氧化碳年排放量（單位：萬(wàn)噸）柱形圖，以下結(jié)論中不正確的是A.逐年比較，2008年減少二氧化碳排放量的成效明顯B.2007年我國(guó)治理二氧化碳排放顯現(xiàn)見(jiàn)效C.2006年以來(lái)我國(guó)二氧化碳年排放量呈逐漸減少趨向D.2006年以來(lái)我國(guó)二氧化碳年排放量與年份正相關(guān)4.向量a=(1，-1)b=(-1，2)，則（2a+b）.a=A.1B.0C.1D.25.設(shè)Sn是數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，若a1a3a53，則S5A.5B.7C.9D.11一個(gè)正方體被一個(gè)平面截取一部分后，節(jié)余部分的三視圖如圖，則截去部分體積與節(jié)余部分體積的比值為1111A.B.C.D.87657.已知三點(diǎn)A(1,0)，B(0,3)，C(2,3)，則ABC外接圓的圓心到原點(diǎn)的距離為A.521C.254B.33D.338.右側(cè)程序框圖的算法思路源于我國(guó)古代數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》中“更相減損術(shù)”.執(zhí)行該程序框圖，若輸入的a、b分別為14、18，則輸出的aA.0D.149.已知等比數(shù)列{an}滿(mǎn)足a111)，則a2，a3a54(a44A.2B.1C.1D.12810.已知A、B是球O的球面上兩點(diǎn)，AOB90，C為該球面上的動(dòng)點(diǎn).若三棱錐OABC體積的最大值為36，則球O的表面積為A.36B.64C.144D.25611.如圖，長(zhǎng)方形ABCD的邊AB2，BC1，O是AB的中點(diǎn)，點(diǎn)P沿著B(niǎo)C、CD與DA運(yùn)動(dòng)，記BOPx.將動(dòng)點(diǎn)P到A、B兩點(diǎn)距離之和表示為x的函數(shù)f(x)，則yf(x)的圖象大體為12.設(shè)函數(shù)f(x)ln(1|x|)1，則使得f(x)f(2x1)成立的x的取值范圍是x21A.(1,1)B.3C.(1,1)D.33二．填空題：共4小題，每題5分.

(,1)U(1,)3(11),)U(,3313.已知函數(shù)f(x)ax32x的圖象過(guò)點(diǎn)(1,4)，則a.xy5014.若x、y滿(mǎn)足拘束條件2xy10，則z2xy的最大值為.x2y1015.已知雙曲線(xiàn)過(guò)點(diǎn)(4,3)，且漸近線(xiàn)方程為y1x，則該雙曲線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程為.216.已知曲線(xiàn)yxlnx在點(diǎn)(1,1)處的切線(xiàn)與曲線(xiàn)yax2(a2)x1相切，則a.三、解答題：解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟．17、（本小題滿(mǎn)分12分）ABC中，D是BC上的點(diǎn)，AD均分∠BAC，BD=2DC.（I）求sinB；sinCII）若∠BAC=60°,求∠B.18、（本小題滿(mǎn)分12分）某公司為認(rèn)識(shí)用戶(hù)對(duì)其產(chǎn)品的滿(mǎn)意度，從

A，B兩地區(qū)分別隨機(jī)檢查了

40個(gè)用戶(hù)，依據(jù)用戶(hù)對(duì)產(chǎn)品的滿(mǎn)意度評(píng)分，得分

A地區(qū)用戶(hù)滿(mǎn)意評(píng)分的頻率分布直方圖和

B地區(qū)用戶(hù)滿(mǎn)意度評(píng)分的頻數(shù)分布表

.地區(qū)用戶(hù)滿(mǎn)意度評(píng)分的頻數(shù)分布表滿(mǎn)意度評(píng)分分組[50,60)[60，70)[70，80)[80，90)[90，100)頻數(shù)2814106(I)在答題卡上作出B地區(qū)用戶(hù)滿(mǎn)意度評(píng)分的頻數(shù)分布直方圖，并經(jīng)過(guò)直方圖比較兩地區(qū)滿(mǎn)意度評(píng)分的均勻值及分別程度（不要求計(jì)算出詳盡值，給出結(jié)論即可）(II)

依據(jù)用戶(hù)滿(mǎn)意度評(píng)分，將用戶(hù)的滿(mǎn)意度分為三個(gè)等級(jí)；滿(mǎn)意度評(píng)分

低于

70分

70分到

80分

不低于

90分滿(mǎn)意度等級(jí)

不滿(mǎn)意

滿(mǎn)意

特別滿(mǎn)意預(yù)計(jì)哪個(gè)地區(qū)用戶(hù)的滿(mǎn)意度等級(jí)為不滿(mǎn)意的概率大？說(shuō)明原由.19、（本小題滿(mǎn)分12分）如圖，長(zhǎng)方體ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=16，BC=10，AA1=8,點(diǎn)E，分別在A(yíng)1B1,D1C1上，A1E=D1F=4.過(guò)點(diǎn)E,F的平面α與此長(zhǎng)方體的面訂交，交線(xiàn)圍成一個(gè)正方形.（I）在圖中畫(huà)出這個(gè)正方形（不用說(shuō)明畫(huà)法和原由）（II）求平面α把該長(zhǎng)方體分成的兩部分體積的比值.20、（本小題滿(mǎn)分12分）已知橢圓C：x2y21（a>b>0）的離心率為2，點(diǎn)（2，2）在C上.a2b22（I）求C的方程.（II）直線(xiàn)l但是原點(diǎn)O且不平行于坐標(biāo)軸，l與C有兩個(gè)交點(diǎn)A，B，線(xiàn)段AB的中點(diǎn)為M.直線(xiàn)OM的斜率與直線(xiàn)l的斜率的乘積為定值.21、（本小題滿(mǎn)分12分）已知函數(shù)f（x）=lnx+a（1-x）（I）談?wù)揻（x）的單調(diào)性；（II）當(dāng)f（x）有最大值，且最大值大于2a-2時(shí)，求a的取值范圍.請(qǐng)考生在第22、23、24題中任選一題作答，假如多做，則按所做的第一題記分，作答時(shí)請(qǐng)寫(xiě)清題號(hào)。22、（本小題滿(mǎn)分10分）選修4-1，幾何證明選擇如圖，O為等腰三角形ABC內(nèi)一點(diǎn)，圓O與且與AB，AC分別相切于E,F兩點(diǎn).

ABC的底邊

BC交于

M,N兩點(diǎn)，與底邊上的高

AD交于

G,I）證明：EF//BC;II）若AG等于圓O的半徑，且AE=MN=23，求四邊形EBCF的面積23、（本小題滿(mǎn)分10分）選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程在直線(xiàn)坐標(biāo)系1｛xtcosα0）此中0α.在以O(shè)為極點(diǎn)，xxOy中，曲線(xiàn)C：ytsinα（t為參數(shù)，t軸正半軸為極軸的極坐標(biāo)系中，曲線(xiàn)

C2：p=2sin

，C3：p=2

3cos

。I）求C1與C3交點(diǎn)的直角坐標(biāo)；II）若C1與C2訂交于點(diǎn)A，C1與C3訂交于點(diǎn)B，求|AB|的最大值.24、（本小題滿(mǎn)分

10分）選修

4-5：不等式選講設(shè)a，b，c，d均為正數(shù)，且

a+b=c+d.證明：（I）

若ab>cd，則

a

b

>

c

d

;（II

）

a

b

>

c

d

是|a-b|<|c-d|

的充要條件

.2015年一般高等學(xué)校招生全國(guó)一致考試文科數(shù)學(xué)試題答案一.選擇題（1）A（2）D（3）D（4）C（5）A（6）D（7）B（8）B（9）C（10）C（11）B（12）A二.選擇題（13）-2（14）8（15）x2y21（16）84.解答題（17）解：（Ⅰ）由正弦定理得ADBDADDC.sinBsinBAD,CsinsinCAD因?yàn)锳D均分BAC,DB2DC,所以sinBDC1.sinCBD2（Ⅱ）因?yàn)镃1800BACB,BAC600,所以sinCsinBACB3cosB1sinB.22由（Ⅰ）知2sinBsinC,所以tanB3,即B300。318）解：（Ⅰ）經(jīng)過(guò)兩地區(qū)用戶(hù)滿(mǎn)意度評(píng)分的頻率分布直方圖可以看出，B地區(qū)用戶(hù)滿(mǎn)意度評(píng)分的均勻值高于A(yíng)地區(qū)用戶(hù)滿(mǎn)意度評(píng)分的均勻值；B地區(qū)用戶(hù)滿(mǎn)意度評(píng)分比較集中，而A地區(qū)用戶(hù)滿(mǎn)意度評(píng)分比較分別。（Ⅱ）A地區(qū)用戶(hù)滿(mǎn)意度等級(jí)為不滿(mǎn)意的概率大。記CA表示事件：“A地區(qū)用戶(hù)滿(mǎn)意度等級(jí)為不滿(mǎn)意”；CB表示事件：“B地區(qū)用戶(hù)滿(mǎn)意度等級(jí)為不滿(mǎn)意”。由直方圖得P(CA)的預(yù)計(jì)值為（0.01+0.02+0.03）×10=0.6，P(CB)的預(yù)計(jì)值為（0.005+0.02）×10=0.25.所以A地區(qū)用戶(hù)滿(mǎn)意度等級(jí)為不滿(mǎn)意的概率大。（19）解：（Ⅰ）交線(xiàn)圍成的正方形EHGF如圖：（Ⅱ）作EM⊥AB,垂足為M，則AM=A1E=4，EB1=12，EM=AA1=8.因?yàn)镋HGF為正方形，所以EH=EF=BC=10.于是MH=EH2EM26,AH10,HB6.因?yàn)殚L(zhǎng)方體被平面分為兩個(gè)高為10的直棱柱，所以其體積的比值為9（7也正確）79（20）解：（Ⅰ）由題意有a2b22,42a2a2解得a28,b24。所以C的方程為x8（Ⅱ）設(shè)直線(xiàn)l:ykxb(k0,b

21，b2y21.40),A(x1,y1),B(x2,y2),M(xM,yM).將ykxb代入x2y221)x24kbx28081得(2k2b4故xmx1x22kb,ymkxmbb122k212k2于是直線(xiàn)OM的斜率komym1,即kom.k1xm2k2所以直線(xiàn)OM的斜率與直線(xiàn)l的斜率的乘積為定值。（21）解：（Ⅰ）f（x）的定義域?yàn)?0,),f'(x)1ax若a0,則f'(x)0,所以f(x)在(0,)單調(diào)遞加。若a0，則當(dāng)x(0,1)時(shí)，f'(x)0,當(dāng)x(1,)時(shí)，f'(x)0,所以f(x)在(0,1)單調(diào)aaa遞加，在(1,)單調(diào)遞減。a（Ⅱ）由（Ⅰ）知，當(dāng)a0時(shí)，f(x)在(0,)無(wú)最大值；當(dāng)a1獲得最0時(shí)，f(x)在xa大值，最大值為11n(1)a(111naa1。f( )a)aa所以f(1)2a2等價(jià)于1naa10a令g(a)1naa1，則g(a)在(0,)單調(diào)遞加，g(1)0于是，當(dāng)0a1時(shí)g(a)0；當(dāng)a1時(shí)，g(a)0所以，a的取值范圍是(0,1)（22）解：（Ⅰ）因?yàn)锳BC是等腰三角形，ADBC,所以AD是CAB的平行線(xiàn)。又因?yàn)镺分別于A(yíng)B，AC相切于點(diǎn)E，F(xiàn)，所以AEAF，故ADEF從而EFBC。（Ⅱ）由（Ⅰ）知AEAF，ADEF，故AD是EF的垂直均分線(xiàn)，又EF為O的弦，所以O(shè)在A(yíng)D上。連接OE,OM,則OEAE由AG等于O的半徑得AO2OE,所以O(shè)AE300.因此ABC和AEF都是等邊三角形。因?yàn)锳E23，所以AO4，OE2。因?yàn)镺MOE2，DM1MN3，所以O(shè)D1于是2AD1035,AB3所以四邊形EBCF的面積為1(103)231(23)23163232223（23）解：（Ⅰ）曲線(xiàn)C2的直角坐標(biāo)方程為x2y22y0,曲線(xiàn)C3的直角坐標(biāo)方程為x2y223x0.x2y22y0,x0,x3,聯(lián)立或222解得y0,xy23x0.3,y2所以C與C交點(diǎn)的直角坐標(biāo)為(0,0)和332322（Ⅱ）曲線(xiàn)C1的極坐標(biāo)方程為aR,0,此中0a.所以A的極坐標(biāo)為2sina,a,B的極坐標(biāo)為23cosa,a.所以AB2sina23cosa4sina5時(shí)，AB獲