2023學(xué)年完整版數(shù)乘運(yùn)算

3.1.2空間向量的數(shù)乘運(yùn)算1.掌握空間向量數(shù)乘運(yùn)算的定義及數(shù)乘運(yùn)算的運(yùn)算律.2.了解平行(共線)向量、共面向量的意義，掌握它們的表示方法.3.理解共線向量的充要條件和共面向量的充要條件及其推論，并能應(yīng)用其證明空間向量的共線、共面問題.1.實(shí)數(shù)與向量的積定義實(shí)數(shù)λ與空間向量a的乘積是一個(gè)_____，這種運(yùn)算稱為向量的_____記作____長度向量λa的長度是向量a長度的_____倍方向當(dāng)_____時(shí)，λa與向量a方向_____；當(dāng)_____時(shí)，λa與向量a方向_____運(yùn)算律分配律：λ(a+b)=________結(jié)合律：λ(μa)=(λμ)a向量數(shù)乘λa|λ|λ>0相同λ<0相反λa+λb2.平行(共線)向量定義表示空間向量的有向線段所在的直線的位置關(guān)系是：互相___________充要條件對(duì)空間任意兩個(gè)向量a，b(b≠0)，存在惟一實(shí)數(shù)λ，使______點(diǎn)P在直線l上的充要條件存在實(shí)數(shù)t滿足等式___________在直線l上取向量=a，則=+t___向量a為直線l的_________平行或重合a=λb方向向量3.共面向量定義平行于同一個(gè)_____的向量三個(gè)向量共面的充要條件向量p與不共線向量a，b共面的充要條件是存在_____的有序?qū)崝?shù)對(duì)(x，y)使________點(diǎn)P位于平面ABC內(nèi)的充要條件存在有序?qū)崝?shù)對(duì)(x，y)，使=_________空間任一點(diǎn)O，有=+_________平面惟一p=xa+yb1.對(duì)于空間的任意三個(gè)向量a，b，2a-b，它們一定是(

)A.共面向量B.共線向量C.不共面向量D.既不共線也不共面的向量【解析】選A.因?yàn)?a-b=2·a+(-1)·b，所以2a-b與a，b共面.3.若|a|=5，b與a的方向相反，且|b|=7，則a=________b.【解析】b與a的方向相反，所以實(shí)數(shù)λ<0，|a|=|λ||b|，所以|λ|=答案：-4.設(shè)O為空間中的任意一點(diǎn)，若向量a=，b=，則向量2=________(a-b).【解析】由=2(b-a)=-2(a-b).答案：-2一、空間向量的數(shù)乘運(yùn)算探究1：完成下面幾個(gè)填空，明確空間向量數(shù)乘運(yùn)算中實(shí)數(shù)與向量變化的幾種情況.(1)變化1：當(dāng)λ=0時(shí)，對(duì)任何向量a，λa=________.(2)變化2：當(dāng)a=0時(shí)，對(duì)任何實(shí)數(shù)λ，λa都是________.(3)變化3：當(dāng)λ≠0，a≠0時(shí)，λa是非零向量，并且λ與a數(shù)乘的幾何意義就是把向量a沿著向量a的方向或a的反方向放大或縮小________倍.(4)變化4：對(duì)于確定的實(shí)數(shù)λ和空間向量a，當(dāng)λ>0時(shí)向量λa與a方向________，當(dāng)λ<0時(shí)λa與a方向________.答案：(1)0

(2)0

(3)|λ|

(4)相同相反探究2：完成下面幾個(gè)填空，明確空間向量的數(shù)乘運(yùn)算與空間向量加減運(yùn)算的關(guān)系及數(shù)乘運(yùn)算律，得出相應(yīng)的結(jié)論.(1)關(guān)系：①a+a+a=________，對(duì)應(yīng)數(shù)乘運(yùn)算是實(shí)數(shù)________與向量________相乘.②向量a的相反向量是________，向量a加向量a的兩個(gè)相反向量的結(jié)果為________.結(jié)論：空間向量的數(shù)乘運(yùn)算是線性運(yùn)算的一種，其實(shí)質(zhì)是空間向量的加減運(yùn)算.二、共線(平行)向量閱讀共線向量的充要條件，探究下面幾個(gè)問題.探究1：定理中為什么要規(guī)定b≠0？提示：若b=0，當(dāng)a≠0時(shí)我們知道，零向量與任何向量都是共線向量，此時(shí)找不到惟一實(shí)數(shù)λ，使a=λb.【拓展延伸】共線向量定理推論的證明推論：如果l為經(jīng)過已知點(diǎn)A，且平行于已知向量a的直線，那么對(duì)空間任一點(diǎn)O，點(diǎn)P在直線l上的充要條件是存在實(shí)數(shù)t，滿足等式【探究總結(jié)】共線(平行)向量的充要條件(1)三點(diǎn)P，A，B共線的充要條件有：①存在實(shí)數(shù)t使得，即②存在實(shí)數(shù)t，使得③存在有序?qū)崝?shù)對(duì)(x，y)，使得(其中x+y=1).【探究總結(jié)】空間向量共面充要條件與常見結(jié)論(1)P，A，B，C四點(diǎn)共面的充要條件：①存在有序?qū)崝?shù)對(duì)(x，y)，使得②對(duì)于空間任意一定點(diǎn)O，有③空間一點(diǎn)P在平面ABC內(nèi)的充要條件是存在有序?qū)崝?shù)對(duì)(x，y，z)，使得(其中x+y+z=1).類型一

空間向量的數(shù)乘運(yùn)算1.下面實(shí)數(shù)λ，μ與向量a，b的運(yùn)算不正確的是(

)A.λ(μa)=(λμ)aB.(λ+μ)a=λa+μaC.λ(a+b)=λa+λbD.λa(λ≠0)與a的方向相同2.已知空間四邊形ABCD，連結(jié)AC，BD，設(shè)M，G分別是邊BC，CD的中點(diǎn)，化簡下列各表達(dá)式.【變式訓(xùn)練】已知正方體ABCD-A1B1C1D1，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是上底面A1C1和側(cè)面CD1的中心，求下列各式中的x，y的值：(1)則x=______.(2)則x=______，y=______.(3)則x=________，y=________.類型二

共線向量定理的應(yīng)用1.設(shè)e1，e2是空間兩個(gè)不共線的向量，已知=2e1+ke2，

=e1+3e2，=2e1-e2且A，B，D三點(diǎn)共線，則k=________.【變式訓(xùn)練】已知A，B，C三點(diǎn)共線，則空間任一點(diǎn)O，存在三個(gè)不為零的實(shí)數(shù)λ，m，n使=0，那么λ+m+n的值為____________.類型三共面向量定理的應(yīng)用1.對(duì)于空間任意一點(diǎn)O和不共線的三點(diǎn)A，B，C，若有則(

)A.四點(diǎn)O，A，B，C必共面B.四點(diǎn)P，A，B，C必共面C.四點(diǎn)O，P，B，C必共面D.五點(diǎn)O，P，A，B，C必共面【變式訓(xùn)練】(2014·梅州高二檢測(cè))對(duì)于空間任意一點(diǎn)O和不共線的三點(diǎn)A，B