幾種常見概率分布

幾種常見概率分布第一頁，共三十八頁，2022年，8月28日主要內(nèi)容：第一節(jié)二項分布第二節(jié)泊松分布第三節(jié)正態(tài)分布

第二頁，共三十八頁，2022年，8月28日一、貝努利試驗及其概率公式（一）獨立試驗和貝努利試驗對于n次獨立的試驗，如果每次試驗結(jié)果出現(xiàn)且只出現(xiàn)對立事件

與之一;在每次試驗中出現(xiàn)A的概率是常數(shù)p（0<p<1）,因而出現(xiàn)對立事件的概率是1-p=q,則稱這一串重復(fù)的獨立試驗為n重貝努利試驗，簡稱貝努利試驗。第一節(jié)二項分布（Binomialdistribution）第三頁，共三十八頁，2022年，8月28日（二）二項分布的概率在貝努利試驗中，事件A發(fā)生x次的概率恰好等（q+p）n二項展開式中的第x+1項，因此也將稱作二項概率公式。二、二項分布的意義及其性質(zhì)（一）定義設(shè)隨機變量X所有可能取的值為零和正整數(shù)：0,1,2,…,n,且有

（其中p>0,q>0,p+q=1）,則稱隨機變量X服從參數(shù)為n和p的二項分布，記為第四頁，共三十八頁，2022年，8月28日二項分布

n=10,p=0.5第五頁，共三十八頁，2022年，8月28日二項分布

n=10,p=0.1第六頁，共三十八頁，2022年，8月28日（二）二項分布的性質(zhì)二項分布是一種離散型隨機變量的概率分布，由n和p兩個參數(shù)決定，參數(shù)n稱為離散參數(shù)，只能取正整數(shù)；p是連續(xù)參數(shù)，取值為0與1之間的任何數(shù)值。

二項分布具有概率分布的一切性質(zhì)，即：

（x=0,1,2,…,n）

二項分布的概率之和等于1，即：第七頁，共三十八頁，2022年，8月28日上面是二項分布概率的基本性質(zhì)；是我們在運算中經(jīng)常要根據(jù)題目要求運算時要應(yīng)用到的，要注意理解。二項分布的性質(zhì)第八頁，共三十八頁，2022年，8月28日三、二項分布的平均數(shù)與標(biāo)準(zhǔn)差

統(tǒng)計學(xué)證明，服從二項分布B(n,p)的隨機變量之平均數(shù)μ、標(biāo)準(zhǔn)差σ與參數(shù)n、p有如下關(guān)系：

第九頁，共三十八頁，2022年，8月28日四、二項分布的概率計算及其應(yīng)用條件（一）概率計算

二項分布的概率計算，可以直接利用二項概率公式進行。把時間A發(fā)生的次數(shù)k代入公式即可求得對應(yīng)的概率。[例]

有一批種蛋，其孵化率為0.85，今在該批種蛋中任選6枚進行孵化，試給出孵化出小雞的各種可能情況的概率。這個問題屬于貝努里模型，其中，孵化6枚種蛋孵出的小雞數(shù)x服從二項分布.其中x的可能取值為0，1，2，3，4，5，6。第十頁，共三十八頁，2022年，8月28日思考：求至少孵出3只小雞的概率是多少？孵出的小雞數(shù)在2-5只之間的概率是多大？其中：第十一頁，共三十八頁，2022年，8月28日應(yīng)用條件：n個觀察單位的觀察結(jié)果互相獨立;

各觀察單位只具有互相對立的一種結(jié)果，如陽性或陰性，生存或死亡等，屬于二項分類資料。

已知發(fā)生某一結(jié)果(如死亡)的概率為p，其對立結(jié)果的概率則為1-P=q，實際中要求p是從大量觀察中獲得的比較穩(wěn)定的數(shù)值。第十二頁，共三十八頁，2022年，8月28日第二節(jié)泊松分布Possiondistribution

泊松分布是一種可以用來描述和分析隨機地發(fā)生在單位空間或時間里的稀有事件的分布。所謂稀有事件即為小概率事件。要觀察到這類事件，樣本含量n必須很大。在生物、醫(yī)學(xué)研究中，服從泊松分布的隨機變量是常見的。由于泊松分布是描述小概率事件的，二項分布中p很小，n很大時，可使用泊松分布第十三頁，共三十八頁，2022年，8月28日泊松分布常用于描述在某一指定時間內(nèi)或在某一指定范圍內(nèi)，源源不斷出現(xiàn)的稀有事件個數(shù)的分布。例如，120急救中心每天接到要求服務(wù)的呼叫次數(shù)；每天到達機場的飛機數(shù)；在早上（7：00–8：00）交通高峰期間通過某一道口的機動車數(shù)；紡織品在單位面積上的疵點數(shù)等等。第十四頁，共三十八頁，2022年，8月28日一、泊松分布的意義（一）定義

若隨機變量X(X=x)只取零和正整數(shù)值，且其概率分布為

其中x=0，1，…；μ＞0;e=2.7182…是自然對數(shù)的底數(shù)，則稱X服從參數(shù)為μ的泊松分布記為X～P(μ)。（二）特征泊松分布作為一種離散型隨機變量的概率分布有一個重要的特征。這就是它的平均數(shù)和方差相等，都等于常數(shù)μ

，即μ=σ2=μ

。利用這一特征，可以初步判斷一個隨機變量是否服從泊松分布第十五頁，共三十八頁，2022年，8月28日泊松分布μ

=4第十六頁，共三十八頁，2022年，8月28日二、泊松分布的概率計算

μ是泊松分布所依賴的唯一參數(shù)。泊松分布的概率計算，只要參數(shù)μ確定了，問題就解決了。把x=0,1,2,…代入公式即可求得各項的概率。

但是在大多數(shù)服從泊松分布的實例中，分布參數(shù)μ往往是未知的，只能從所觀察的隨機樣本中計算出相應(yīng)的樣本平均數(shù)作為μ的估計值。第十七頁，共三十八頁，2022年，8月28日[例]我們調(diào)查了200個奶牛場，統(tǒng)計各場某10年內(nèi)出現(xiàn)的怪胎（如缺皮癥，全身無毛等）的頭數(shù)，然后以怪胎頭數(shù)把200個奶牛場分類，統(tǒng)計每類中奶牛場數(shù)目，結(jié)果如下：試研究10年內(nèi)母牛怪胎數(shù)的概率分布。10年內(nèi)母牛產(chǎn)怪胎次數(shù)（m）01234總計奶牛場數(shù)（f）109652231200第十八頁，共三十八頁，2022年，8月28日先假設(shè)母牛產(chǎn)怪胎數(shù)的概率分布為泊松分布。根據(jù)觀察結(jié)果計算每一奶牛場10年內(nèi)母牛產(chǎn)怪胎的平均數(shù)，根據(jù)加權(quán)法可得：用=0.61估計μ

，代入計算當(dāng)m=0,1,2,3,4時的概率和理論次數(shù)怪胎數(shù)（m）01234總計實際次數(shù)（f）109652231200概率（理論）0.54340.33140.10110.02060.00310.9996理論次數(shù)108.6866.2820.224.120.62199.92第十九頁，共三十八頁，2022年，8月28日下面我們再來證實我們所得的資料是否具有泊松分布的特征。已經(jīng)計算出=0.61，樣本方差計算如下，

與很接近，這正是泊松分布所具有的特征第二十頁，共三十八頁，2022年，8月28日一、正態(tài)分布的定義及其特征（一）定義

若連續(xù)性隨機變量X的概率分布密度函數(shù)為：

其中，μ為平均數(shù)，σ2

為方差，則稱隨機變量χ服從正態(tài)分布,記為χ～N(μ,σ2).相應(yīng)的概率分布函數(shù)為第三節(jié)正態(tài)分布normaldistribution第二十一頁，共三十八頁，2022年，8月28日（二）特征正態(tài)分布密度曲線是以χ=μ

為對稱軸的單峰、對稱的懸鐘形；f(x)在χ=μ處達到極大值,極大值為f(x)是非負數(shù)，以x軸為漸進線；曲線在χ±

σ處各有一個拐點；正態(tài)分布密度函數(shù)曲線

第二十二頁，共三十八頁，2022年，8月28日正態(tài)分布有兩個參數(shù)，即平均數(shù)μ和標(biāo)準(zhǔn)差σ。μ是位置參數(shù)，σ是變異度參數(shù)。分布密度曲線與橫軸所夾的面積為1，即：正態(tài)分布密度函數(shù)曲線

特征第二十三頁，共三十八頁，2022年，8月28日

μ相同而σ不同的三個正態(tài)總體

σ相同而μ不同的三個正態(tài)總體特征第二十四頁，共三十八頁，2022年，8月28日二、標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布standardnormaldistribution（一）定義

由于正態(tài)分布是依賴于參數(shù)

μ和（或σ）的一簇分布，造成研究具體正態(tài)總體時的不便。因此將一般的(μ,σ2)轉(zhuǎn)換為μ=0,σ2=1的正態(tài)分布，則稱μ=0,σ2=1的正態(tài)分布為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布。標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的概率密度函數(shù)及分布函數(shù)如下：若隨機變量U服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，記作U～(0,1)第二十五頁，共三十八頁，2022年，8月28日標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布概率密度函數(shù)

第二十六頁，共三十八頁，2022年，8月28日（二）標(biāo)準(zhǔn)化的方法

對于任何一個服從正態(tài)分布(μ,σ2)的隨機變量X

，都可以通過標(biāo)準(zhǔn)化變換：u=(χ-μ)/σ即減平均數(shù)后再除以標(biāo)準(zhǔn)差，將其變換為服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的隨機變量。對不同的u及P(U<u)值編成函數(shù)表，稱為正態(tài)分布表，從中可以查到任意一個區(qū)間內(nèi)曲線下的面積，即為概率。第二十七頁，共三十八頁，2022年，8月28日

標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布函數(shù)

第二十八頁，共三十八頁，2022年，8月28日三、正態(tài)分布的概率計算（一）標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的概率計算

設(shè)U服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，則u落在u1,u2]內(nèi)的概率第二十九頁，共三十八頁，2022年，8月28日應(yīng)熟記的幾種標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布概率第三十頁，共三十八頁，2022年，8月28日（二）一般正態(tài)分布的概率計算

將區(qū)間的上下限標(biāo)準(zhǔn)化，服從正態(tài)分布的隨機變量χ落在〔χ1,χ2〕內(nèi)的概率，等于服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的隨機變量μ落在的概率。然后查標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的概率表[例]

若χ服從μ=30.26,σ2=5.102的正態(tài)分布，試求P(21.64≦x﹤32.98)。令u=(χ-30.26)/5.10,則u服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，故第三十一頁，共三十八頁，2022年，8月28日（三）雙側(cè)（兩尾）概率與單側(cè)（一尾）概率隨機變量x落在平均數(shù)加減不同倍數(shù)標(biāo)準(zhǔn)差區(qū)間之外的概率稱為雙側(cè)概率（兩尾概率），記作α

對應(yīng)于雙側(cè)概率可以求得隨機變量x小于μ-kσ或大于μ+kσ的概率，稱為單側(cè)概率（一尾概率），記作α/2

如x落在(μ-1.96σ,μ+1.96σ)之外的雙側(cè)概率為0.05，而單側(cè)概率為0.025。即第三十二頁，共三十八頁，2022年，8月28日標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)雙側(cè)分位數(shù)的查法：附表3①標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布②③正態(tài)分布密度函數(shù)曲線

第三十三頁，共三十八頁，2022年，8月28日例假設(shè)，求下列概率：1.；2.；3.；4.。解1.2.3.4.

第三十四頁，共三十八頁，2022年，8月28日正態(tài)分布與標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的關(guān)系如果，則于是，在正態(tài)分布與標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的概率密度f(x)和φ(u)、分布函數(shù)F(x)和Φ(u)之間存在下列關(guān)系式：這就是說，計算任一正態(tài)分布隨機變量的概率都能通過標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布來實現(xiàn)。第三十五頁，共三十八頁，2022年，8月28日正態(tài)分布的應(yīng)用正態(tài)分布在概率論和統(tǒng)計學(xué)的研究及應(yīng)用中具有極其重要的作用，它在各種概率分布中居首要地位，是抽樣和抽樣分布的理論基礎(chǔ)。這是因為：1.客觀世界的許多現(xiàn)象都可以利用正態(tài)分布來近似地描述其統(tǒng)計規(guī)律性。例如，人的身高和體重等，都可以看作是具有“兩頭小，中間大”分布特征的隨機變量，一般可以認為是近似服從正態(tài)分布的。2.正態(tài)分布是許多重要分布的極限分布。例如可以用正態(tài)分布來近似二項分布。3.正態(tài)分布在統(tǒng)計推斷中有重要的應(yīng)用。例如t分布，F(xiàn)分布和分布都是服從正態(tài)分布的隨機變量的函數(shù)。第三十六頁，共三十八頁，2022年，8月28日四、三種重要的概率分布之間的關(guān)系前面討論的三個重要的概率分布中，前兩個概率分布屬離散型的，后一個屬連續(xù)型的。三者間的關(guān)系綜述如下：

對于二項分布，在n→∞,p→0，且