吉林省長春市榆樹中學2023年高三數(shù)學理期末試題含解析

吉林省長春市榆樹中學2023年高三數(shù)學理期末試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.已知三角形的面積，則角的大小為A.

B.

C.

D.參考答案：B2.已知雙曲線=1（a＞0，b＞0）的左、右焦點分別為F1、F2，點M在雙曲線的左支上，且|MF2|=7|MF1|，則此雙曲線離心率的最大值為（）A． B． C．2 D．參考答案：A【考點】雙曲線的簡單性質．【專題】計算題；圓錐曲線的定義、性質與方程．【分析】由雙曲線的定義可得|MF2|﹣|MF1|=6|MF1|=2a，再根據(jù)點P在雙曲線的右支上，可得|MF1|=≥c﹣a，從而求得此雙曲線的離心率e的最大值．【解答】解：由雙曲線的定義可得|MF2|﹣|MF1|=6|MF1|=2a，根據(jù)點P在雙曲線的右支上，可得|MF1|=≥c﹣a，∴e=≤，∴雙曲線離心率的最大值為，故選：A．【點評】本題考查雙曲線的定義和標準方程，以及雙曲線的簡單性質的應用，比較基礎．3.某三棱錐的三視圖如圖所示，其中三個視圖都是直角三角形，則該三棱錐的體積為（）A． B． C．1 D．6參考答案：A【考點】LF：棱柱、棱錐、棱臺的體積．【分析】由已知中的三視圖可得：該幾何體是一個以俯視圖為底面的三棱錐，代入棱錐體積公式，可得答案．【解答】解：由已知中的三視圖可得：該幾何體是一個以俯視圖為底面的三棱錐，底面面積S=×2×1=1，高h=1，故體積V==，故選：A4.已知函數(shù)，若，且，則的最小值為（

）A. B. C. D.參考答案：D【分析】先分析得到的最小值等于函數(shù)f(x)的絕對值最小的零點的2倍，再求函數(shù)的絕對值最小的零點即得解.【詳解】由題得等于函數(shù)的零點的2倍，所以的最小值等于函數(shù)f(x)的絕對值最小的零點的2倍，令所以,所以所以絕對值最小的零點為，故的最小值為.故選：D【點睛】本題主要考查正弦型函數(shù)的圖像和性質，意在考查學生對這些知識的理解掌握水平和分析推理能力.5.若函數(shù)f(x)為x0123f(x)3210

則f[f(1)]=

(A)0

(B)1

(C)?

(D)3參考答案：B6.如果隨機變量，且，則等于（

）A.0.4 B.0.3 C.0.2 D.0.1參考答案：D略7.設F為拋物線y2=4x的焦點，A、B、C為拋物線上不同的三點，點F是△ABC的重心，O為坐標原點，△OFA、△OFB、△OFC的面積分別為S1、S2、S3，則S12+S22+S32=（）A．9 B．6 C．3 D．2參考答案：C【考點】拋物線的應用．【分析】確定拋物線y2=4x的焦點F的坐標，求出S12+S22+S32，利用點F是△ABC的重心，即可求得結論．【解答】解：設A、B、C三點的坐標分別為（x1，y1），（x2，y2），（x3，y3），則∵拋物線y2=4x的焦點F的坐標為（1，0）∴S1=，S2=，S3=∴S12+S22+S32=（++）=x1+x2+x3，∵點F是△ABC的重心∴x1+x2+x3=3∴S12+S22+S32=3故選C．8.雙曲線的一個焦點坐標是（

）A． B． C． D．（1，0）參考答案：A9.設命題甲：關于的不等式對一切恒成立，命題乙：對數(shù)函數(shù)在上遞減，那么甲是乙的（

）A.充分不必要條件

B.必要不充分條件

C.充要條件

D.既不充分也不必要條件參考答案：B略10.執(zhí)行如圖所示的程序框圖，若輸入，則輸出的y=（

）A. B. C. D.參考答案：D【分析】按程序框圖指引的順序依次執(zhí)行，寫出各步的執(zhí)行結果即可得到答案.【詳解】輸入，，不成立，；，成立，跳出循環(huán)，輸出.故選D.【點睛】本題考查循環(huán)結構程序框圖的輸出結果.當程序執(zhí)行到判斷框時要注意判斷循環(huán)條件是否成立，是繼續(xù)下一次循環(huán)，還是跳出循環(huán).二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.設x，y滿足約束條件，則的最大值為

．參考答案：

12.已知點的坐標滿足，設，則（為坐標原點）的最大值為

▲

．參考答案：【知識點】簡單線性規(guī)劃的應用．E5

【答案解析】2

解析：滿足的可行域如圖所示，又∵，∵，，∴由圖可知，平面區(qū)域內x值最大的點為（2，3）故答案為：2【思路點撥】先畫出滿足的可行域，再根據(jù)平面向量的運算性質，對進行化簡，結合可行域，即可得到最終的結果．13.設實數(shù)x，y滿足，則z=3x﹣4y的最大值為

．參考答案：3【考點】簡單線性規(guī)劃．【分析】作出不等式組對應的平面區(qū)域，利用目標函數(shù)的幾何意義，利用平移法進行求解即可．【解答】解：作出可行域，如圖△ABC內部（含邊界），作出直線l：3x﹣4y=0，平移直線l，當它過點C（1，0）時，z=3x﹣4y取得最大值3．故答案為：314.水平桌面α上放有4個半徑均為2R的球,且相鄰的球都相切(球心的連線構成正方形).在這4個球的上面放1個半徑為R的小球,它和下面4個球恰好都相切,則小球的球心到水平桌面α的距離是

．參考答案：3R15.函數(shù)的圖像關于點中心對稱，那么的最小值為

參考答案：

16.函數(shù)的定義域是

．參考答案：17.已知，，若同時滿足條件：①，或；②,，則的取值范圍是

.

參考答案：三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.交通指數(shù)是交通擁堵指數(shù)的簡稱，是綜合反映道路網(wǎng)暢通或擁堵的概念，記交通指數(shù)為T．其范圍為[0，10]，分別有五個級別：T∈[0，2）暢通;T∈[2，4)基本暢通;T∈[4，6）輕度擁堵;T∈[6，8)中度擁堵；T∈[8，10]嚴重擁堵，晚高峰時段，從某市交通指揮中心選取了市區(qū)20個交通路段，依據(jù)其交通指數(shù)數(shù)據(jù)繪制直方圖如圖所示．

(I)這20個路段輕度擁堵、中度擁堵的路段各有多少個？

(Ⅱ)從這20個路段中隨機抽出的3個路段，用X表示抽取的中度擁堵的路段的個數(shù)，求X的分布列及期望．參考答案：略19.（本題滿分12分）某學校餐廳新推出A，B，C，D四款套餐，某一天四款套餐銷售情況的條形圖如下.為了了解同學對新推出的四款套餐的評價，對每位同學都進行了問卷調查，然后用分層抽樣的方法從調查問卷中抽取20份進行統(tǒng)計，統(tǒng)計結果如下面表格所示：

滿意一般不滿意A套餐50%25%25%B套餐80%020%C套餐50%50%0D套餐40%20%40%（Ⅰ）若同學甲選擇的是A款套餐，求甲的調查問卷被選中的概率；（Ⅱ）若想從調查問卷被選中且填寫不滿意的同學中再選出2人進行面談，求這兩人中至少有一人選擇的是D款套餐的概率.參考答案：（Ⅰ）由條形圖可得，選擇A，B，C，D四款套餐的學生共有200人，其中選A款套餐的學生為40人，

由分層抽樣可得從A款套餐問卷中抽取了份.

…………….（2分）設事件=“同學甲被選中進行問卷調查”，

則.

……….（5分）答：若甲選擇的是A款套餐，甲被選中調查的概率是.

…………….（6分）（II）由圖表可知，選A，B，C，D四款套餐的學生分別接受調查的人數(shù)為4，5，6，5.其中不滿意的人數(shù)分別為1，1，0，2個.

………….（7分）記對A款套餐不滿意的學生是a；對B款套餐不滿意的學生是b；對D款套餐不滿意的學生是c，d.………………….（8分）設事件N=“從填寫不滿意的學生中選出2人，至少有一人選擇的是D款套餐”從填寫不滿意的學生中選出2人，共有(a,b),(a,c),(a,d),(b,c),(b,d),(c,d)6個基本事件，而事件N有(a,c),(a,d),(b,c),(b,d),(c,d)5個基本事件，……（10分）則.

………（12分）20.已知等差數(shù)列{an}的公差不為零，且a3=5，a1，a2．a(chǎn)5成等比數(shù)列（I）求數(shù)列{an}的通項公式：（II）若數(shù)列{bn}滿足b1+2b2+4b3+…+2n﹣1bn=an且數(shù)列{bn}的前n項和Tn試比較Tn與的大?。畢⒖即鸢福嚎键c：數(shù)列的求和；不等關系與不等式；等差數(shù)列與等比數(shù)列的綜合．專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列．分析：（I）利用等差數(shù)列的通項公式和等比中項的定義即可得到首項和公差，即可得到通項公式；（Ⅱ）由（I）可得：an=2n﹣1，由b1+2b2+4b3+…+2n﹣1bn=an，及b1+2b2+4b3+…+2，兩式相減可得，利用等比數(shù)列的前n項和公式即可得到Tn，與比較即可．解答：解：（Ⅰ）在等差數(shù)列中，設公差為d≠0，由題意，∴，解得．∴an=a1+（n﹣1）d=1+2（n﹣1）=2n﹣1．（Ⅱ）∵b1+2b2+4b3+…+2n﹣1bn=an，①b1+2b2+4b3+…+2，②②﹣①得2nbn+1=2，∴．當n=1時，b1=a1=1，∴，當n=1時，T1=a1=1，，此時．當n≥2時，Tn=1+==．又＞n+1，∴，．∴當n=1時，，當n≥2時，．點評：熟練掌握等差數(shù)列的通項公式和等比中項的定義、等比數(shù)列的前n項和公式、二項式定理是解題的關鍵．21.在極坐標系中，已知曲線設與交于點（I）求點的極坐標；（II）若動直線過點，且與曲線交于兩個不同的點求的最小值.參考答案：（I）由解得點的直角坐標為因此點的極坐標為（II）設直線的參數(shù)方程為為參數(shù)），代入曲線的直角坐標方程并整理得設點對應的參數(shù)分別為則ks5u當時，，有最小值22.已知直線y=﹣x+1與橢圓相交于A、B兩點，且線段AB的中點在直線l：x﹣2y=0上．（Ⅰ）求此橢圓的離心率；（Ⅱ）若橢圓的右焦點關于直線l的對稱點在圓x2+y2=4上，求此橢圓的方程．參考答案：【考點】直線與圓錐曲線的綜合問題；橢圓的標準方程．【分析】（Ⅰ）設出A、B兩點的坐標，由方程組得關于x的一元二次方程；由根與系數(shù)的關系，可得x1+x2，y1+y2；從而得線段AB的中點坐標，代入直線l的方程x﹣2y=0，得出a、c的關系，從而求得橢圓的離心率．（Ⅱ）設橢圓的右焦點坐標為F（b，0），F(xiàn)關于直線l：x﹣2y=0的對稱點為（x0，y0），則由互為對稱點的連線被對稱軸垂直平分，可得方程組，解得x0、y0；代入圓的方程x02+y02=4，得出b的值，從而得橢圓的方程．【解答】解：（Ⅰ）設A、B兩點的坐標分別為A（x1，y1），B（x2，y2），則由