四川省達州市渠縣有慶中學2022年高三數(shù)學理期末試卷含解析

四川省達州市渠縣有慶中學2022年高三數(shù)學理期末試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.已知集合，，則=（

）A、

B、

C、

D、參考答案：D，，所以，選D.2.在同一平面內(nèi)，已知A為動點，B，C為定點，且∠BAC=，，BC=1，P為BC中點．過點P作PQ⊥BC交AC所在直線于Q，則在方向上投影的最大值是（）A. B. C. D.參考答案：C【分析】先建系，由三點共圓得點A的軌跡方程為，則，則，再由在方向上投影的幾何意義可得解．【詳解】建立如圖所示的平面直角坐標系，則B（-，0），C（，0），P（0，0），由可知，ABC三點在一個定圓上，且弦BC所對的圓周角為，所以圓心角為.圓心在BC的中垂線即軸上，且圓心到直線BC的距離為，即圓心為，半徑為.所以點A的軌跡方程為：，則，則，由在方向上投影的幾何意義可得：在方向上投影為|DP|=|x|，則在方向上投影的最大值是，故選：C．3.某家具廠的原材料費支出x（單位：萬元）與銷售額y（單位：萬元）之間有如下數(shù)據(jù)，根據(jù)表中提供的全部數(shù)據(jù)，用最小二乘法得出y與x的線性回歸方程為，則b為（

）x24568y2535605575

A．7.5

B．10

C．12.5

D．17.5參考答案：A因為回歸直線方程經(jīng)過樣本中心點(5,50)，代入回歸直線方程得所以選A

4.兩球和在棱長為1的正方體的內(nèi)部，且互相外切，若球與過點A的正方體的三個面相切，球與過點的正方體的三個面相切，則球和的表面積之和的最小值為A．

B．

C．

D．參考答案：A略5.設(shè)集合，則的取值范圍是A．

B．

C．或

D．或參考答案：解析：，所以（不可去等號，否則不包括點和5），選A．6.函數(shù)的部分圖象如圖所示，則的值為（

）A. B. C. D.參考答案：C【分析】利用圖像可得A值，由周期性可得，代點可得值，可得函數(shù)解析式，代值計算可求?！驹斀狻拷猓河深}意和圖像可得，，，解得，代入點可得結(jié)合可得，故函數(shù)的解析式為故選：C

7.已知m＞0，f（x）是定義在R上周期為4的函數(shù)，在x∈（﹣1，3]上f（x）=，若方程f（x）=恰有5個實數(shù)解，則m的取值范圍是（）A．（，）B．[，]C．[，+∞]D．（，+∞）參考答案：A考點：根的存在性及根的個數(shù)判斷．專題：函數(shù)的性質(zhì)及應用．分析：將方程f（x）=恰有5個實數(shù)解，轉(zhuǎn)化為一個函數(shù)y=f（x）的圖象與直線y=的位置關(guān)系研究即可得出答案．解答：解：方程f（x）=，令y=f（x）=，y=，分別畫出它們的圖象，如圖，其中A（4，m），B（8，m）．由圖可知，若方程f（x）=恰有5個實數(shù)解，則點A必須在直線y=的上方，點B在直線y=的下方，即，∴m∈（，）則m的取值范圍是（，）．故選A．點評：本題主要考查根的存在性及根的個數(shù)判斷，解答關(guān)鍵是利用直線與曲線的位置關(guān)系，要注意數(shù)形結(jié)合及轉(zhuǎn)化思想的應用．8.如圖，在矩形區(qū)域ABCD的A，C兩點處各有一個通信基站，假設(shè)其信號的覆蓋范圍分別是扇形區(qū)域ADE和扇形區(qū)域CBF（該矩形區(qū)域內(nèi)無其他信號來源，基站工作正常）．若在該矩形區(qū)域內(nèi)隨機地選一地點，則該地點無信號的概率是A．1－

B．－1

C．2－

D．參考答案：A略9.已知圓M方程：，圓N的圓心（2,1），若圓M與圓N交于AB兩點，且，則圓N方程為：

（

）A．

B．C．

D．或參考答案：D略10.已知，，記則的大小關(guān)系是（

）A.

B.

C.

D.參考答案：選C

實際上A為在上的定積分，B為曲邊梯形的面積。另將A,B作商、作差，再換元構(gòu)造函數(shù)也可判斷。二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.設(shè)變量x，y滿足約束條件，則的最小值等于_____.參考答案：－8【分析】作出不等式組表示的可行域，采用平移直線法計算對應直線的截距，從而得到的最值.【詳解】畫出可行域如圖，變形為，過點A（-2，-2），z取得最大值4，過點C(-22)取得最小值.【點睛】本題考查線性規(guī)劃的內(nèi)容，難度較易.線性規(guī)劃問題，如果是線性的目標函數(shù)采用平移直線法是常規(guī)的選擇；如果是非線性的目標函數(shù)，則需要分析目標函數(shù)所表示的幾何意義.12.設(shè)為定義在上的奇函數(shù)，當時，，則________．參考答案：－2略13.

．參考答案：

14.中國南宋時期的數(shù)學家秦九韶提出了一種多項式簡化算法，如圖是實現(xiàn)該算法的程序框圖，若輸入的，，依次輸入的a為1，2，3，運行程序，輸出的s的值為_____．參考答案：6【分析】先代入第一次輸入的，計算出對應的，判斷為否，再代入第二次輸入的，計算出對應的，判斷仍為否，再代入第三次輸入的，計算出對應的，判斷為是，得到輸出值.【詳解】解：第一次輸入，得，，判斷否；第二次輸入，得，，判斷否；第三次輸入，得，，判斷是，輸出故答案為：6.【點睛】本題考查了循環(huán)結(jié)構(gòu)流程圖，要小心每次循環(huán)后得到的字母取值，屬于基礎(chǔ)題.15.從一堆蘋果中任取5只，稱得它們的質(zhì)量如下（單位：克）125

124

121

123

127則該樣本標準差

（克）（用數(shù)字作答）．參考答案：解析：因為樣本平均數(shù)，則樣本方差所以16.已知向量，，.若向量與向量共線，則實數(shù)

_____．參考答案：，因為向量與向量共線，所以，解得。17.對任意兩個非零的平面向量和,定義,若平面向量、滿足,與

的夾角,且和都在集合中.給出下列命題：

①若時，則.

②若時，則.

③若時，則的取值個數(shù)最多為7.

④若時，則的取值個數(shù)最多為.

其中正確的命題序號是

（把所有正確命題的序號都填上）參考答案：①

③

略三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.（本小題滿分10分）在直角坐標系中，以O(shè)為極點，x軸正半軸為極軸建立極坐標系．曲線C的極坐標方程為，M，N分別為C與x軸，y軸的交點．（Ⅰ）寫出C的直角坐標方程，并求M，N的極坐標；（Ⅱ）設(shè)MN的中點為P，求直線OP的極坐標方程．參考答案：（Ⅰ）由得．從而的直角坐標方程為，即．時，，所以．時，，所以．（Ⅱ）點的直角坐標為（2，0），點的直角坐標為．所以點的直角坐標為，則點的極坐標為．所以直線的極坐標方程為．19.（12分）設(shè)點，動圓經(jīng)過點且和直線：相切.記動圓的圓心的軌跡為曲線.（Ⅰ）求曲線的方程；（Ⅱ）設(shè)點為直線上的動點，過點作曲線的切線（為切點），證明：直線必過定點并指出定點坐標.參考答案：解析：（Ⅰ）過點作垂直直線于點依題意得：，所以動點的軌跡為是以為焦點，直線為準線的拋物線，即曲線的方程是

………4分（Ⅱ）設(shè)、

，

，則由知，，∴，又∵切線AQ的方程為：，注意到切線AQ的方程可化為：；由在切線AQ上，∴

于是在直線上同理，由切線BQ的方程可得：

于是在直線上所以，直線AB的方程為：，又把代入上式得：∴直線AB的方程為：∴直線AB必過定點. ………12分（Ⅱ）解法二：設(shè)，切點的坐標為，則由知，，得切線方程：即為：，又∵在切線上，所以可得：，又把代入上式得：，解之得：

∴，故直線AB的方程為：化簡得：∴直線AB的方程為：∴直線AB必過定點.20.（本小題13分）若有窮數(shù)列，，，（）滿足：（1）；（2）.則稱該數(shù)列為“階非凡數(shù)列”.（Ⅰ）分別寫出一個單調(diào)遞增的“階非凡數(shù)列”和一個單調(diào)遞減的“階非凡數(shù)列”；（Ⅱ）設(shè)，若“階非凡數(shù)列”是等差數(shù)列，求其通項公式；（Ⅲ）記“階非凡數(shù)列”的前項的和為（），求證：（1）；（2）.參考答案：（Ⅰ）解：為一個單調(diào)遞增的“階非凡數(shù)列”；為一個單調(diào)遞減的“階非凡數(shù)列”.（Ⅱ）解：設(shè)公差為，由，得，，，于是.由，知.（1）由題設(shè)得，，.代入中，得.故（，）

（2）由題設(shè)得，，.代入中，得.故（，）

（Ⅲ）

（1）證明：當時，，命題成立；當時，由，得，于是，，故.綜上，得（）.

（2）證明：

.

21.（本小題滿分15分）設(shè)，．（1）當時，求曲線在處的切線方程；（2）如果存在，使得成立，求滿足上述條件的最大整數(shù)；（3）如果對任意的，都有成立，求實數(shù)的取值范圍．參考答案：（1）當時，，，，，所以曲線在處的切線方程為；

（2）存在，使得成立，等價于：，考察，，由上表可知：，，所以滿足條件的最大整數(shù)；

（3）對任意的，都有成立等價于：在區(qū)間上，函數(shù)的最小值不小于的最大值，由（2）知，在區(qū)間上，的最大值為。，下證當時，在區(qū)間上，函數(shù)恒成立。當且時，，記，，

。當，；當，，所以函數(shù)在區(qū)間上遞減，在區(qū)間上遞增，，即，所以當且時，成立，即對任意，都有。

（3）另解：當時，恒成立等價于恒成立，記，，

。記，，由于，,

所以在上遞減，當時，，時，，即函數(shù)在區(qū)間上遞增，在區(qū)間上遞減，所以，所以。

22.【題文】如圖，中國漁民在中國南海黃巖島附近捕魚作業(yè)，中國海監(jiān)船在A地偵察發(fā)現(xiàn)，在南偏東60°方向的B地，有一艘某國軍艦正以每小時13海里的速度向正西方向的C地行駛，企圖抓捕正在C地捕魚的中國漁民．此時，C地位于中國海監(jiān)船的南偏東45°方向的10海里處，中國海監(jiān)船以每小時30海里的距離趕往C地救援我國漁民，能不能及時趕到？（≈1.41，≈1.73，≈2.45）參考答案：考點：解三角形的實際應用．專題：應用題；解三角形．分析：過點A作AD⊥BC，交BC的延長線于點D，則△ACD是等腰直角三角形，根據(jù)AC=10海里可求出AD即CD的長，在Rt△ABD中利用銳角三角函數(shù)的定義求出BD的長進而可得出BC的長，再根據(jù)中國海監(jiān)船以每小時30海里的速度航行，某國軍艦正以每小時13海里的速度即可得出兩軍艦到達C點所用的時間，進而得出結(jié)論．解答： 解：如圖，過點A作AD⊥BC，交BC的延長線于點D．因為∠CAD=45°，AC=10海里，所以△ACD是等腰直角三角形．所以AD=CD=AC=×10=5（海里）．在Rt△ABD中