2023全國(guó)研究生考試數(shù)學(xué)(一)(二)(三)真題合集及答案解析-免積分

2023年全國(guó)碩士研究生入學(xué)統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)一試題解析一、選擇題：1～8小題，每題4分，共32分，以下每題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)符合題目要求的，請(qǐng)將所選項(xiàng)前的字母填在答題紙指定位置上.〔1〕曲線漸近線的條數(shù)為〔〕〔A〕0〔B〕1〔C〕2〔D〕3【答案】：【解析】：，所以為垂直的，所以為水平的，沒有斜漸近線故兩條選〔2〕設(shè)函數(shù)，其中為正整數(shù)，那么〔A〕〔B〕〔C〕〔D〕【答案】：【解析】：所以〔3〕如果在處連續(xù)，那么以下命題正確的是〔〕〔A〕假設(shè)極限存在，那么在處可微〔B〕假設(shè)極限存在，那么在處可微〔C〕假設(shè)在處可微，那么極限存在〔D〕假設(shè)在處可微，那么極限存在【答案】：【解析】：由于在處連續(xù)，可知如果存在，那么必有這樣，就可以寫成，也即極限存在，可知，也即。由可微的定義可知在處可微?！?〕設(shè)sinxdx(k=1,2,3),那么有D〔A〕I1<I2<I3. (B)I2<I2<I3.(C)I1<I3<I1, (D)I1<I2<I3.【答案】：(D)【解析】：看為以為自變量的函數(shù)，那么可知，即可知關(guān)于在上為單調(diào)增函數(shù)，又由于，那么，應(yīng)選D〔5〕設(shè)其中為任意常數(shù)，那么以下向量組線性相關(guān)的是〔〕〔A〕〔B〕〔C〕〔D〕【答案】：〔C〕【解析】：由于，可知線性相關(guān)。應(yīng)選〔C〕〔6〕設(shè)為3階矩陣，為3階可逆矩陣，且，，那么〔〕〔A〕〔B〕〔C〕〔D〕【答案】：〔B〕【解析】：，那么，故應(yīng)選〔B〕。〔7〕設(shè)隨機(jī)變量x與y相互獨(dú)立，且分別服從參數(shù)為1與參數(shù)為4的指數(shù)分布，那么〔〕【答案】：〔A〕【解析】：的聯(lián)合概率密度為那么〔8〕將長(zhǎng)度為1m的木棒隨機(jī)地截成兩段，那么兩段長(zhǎng)度的相關(guān)系數(shù)為〔〕【答案】：【解析】：設(shè)兩段長(zhǎng)度分別為，顯然即，故兩者是線性關(guān)系，且是負(fù)相關(guān)，所以相關(guān)系數(shù)為-1二、填空題：914小題，每題4分，共24分，請(qǐng)將答案寫在答題紙指定位置上.〔9〕假設(shè)函數(shù)滿足方程及，那么=________?！敬鸢浮浚骸窘馕觥浚禾卣鞣匠虨?，特征根為，齊次微分方程的通解為.再由得，可知。故〔10〕________?！敬鸢浮浚骸窘馕觥浚毫畹谩?1〕________?！敬鸢浮浚骸窘馕觥浚骸?2〕設(shè)那么________?！敬鸢浮浚骸窘馕觥浚河汕娣e分的計(jì)算公式可知，其中。故原式〔13〕設(shè)X為三維單位向量，E為三階單位矩陣，那么矩陣的秩為________?！敬鸢浮浚骸窘馕觥浚壕仃嚨奶卣髦禐椋实奶卣髦禐?。又由于為實(shí)對(duì)稱矩陣，是可相似對(duì)角化的，故它的秩等于它非零特征值的個(gè)數(shù)，也即?！?4〕設(shè)是隨機(jī)事件，互不相容，,,那么________?！敬鸢浮浚骸窘馕觥浚河蓷l件概率的定義，，其中，，由于互不相容，即，，又，得，代入得，故.三、解答題：15—23小題，共94分.請(qǐng)將解答寫在答題紙指定位置上.解容許寫出文字說明、證明過程或演算步驟.〔15〕〔此題總分值10分〕證明：【解析】：令，可得當(dāng)時(shí)，有，，所以，故，而，即得所以。當(dāng)，有，，所以，故，即得可知，〔16〕〔此題總分值10分〕求的極值?！窘馕觥浚?，先求函數(shù)的駐點(diǎn).，解得函數(shù)為駐點(diǎn)為.又，所以，故在點(diǎn)處取得極大值.〔17〕〔此題總分值10分〕求冪級(jí)數(shù)x2n的收斂域及和函數(shù)【解析】：〔18〕〔此題總分值10分〕曲線，其中函數(shù)具有連續(xù)導(dǎo)數(shù)，且，。假設(shè)曲線L的切線與x軸的交點(diǎn)到切點(diǎn)的距離恒為1，求函數(shù)的表達(dá)式，并求此曲線L與x軸與y軸無邊界的區(qū)域的面積?！窘馕觥浚骸?〕曲線在任一處的切線斜率為，過該點(diǎn)處的切線為，令得.由于曲線與軸和軸的交點(diǎn)到切點(diǎn)的距離恒為.故有，又因?yàn)樗?，兩邊同時(shí)取不定積分可得，又由于，所以.故函數(shù).〔2〕此曲線與軸和軸的所圍成的無邊界的區(qū)域的面積為：.〔19〕〔此題總分值10分〕是第一象限中從點(diǎn)沿圓周到點(diǎn)，再沿圓周到點(diǎn)的曲線段，計(jì)算曲線積分?！窘馕觥浚涸O(shè)圓為圓,圓為圓，下補(bǔ)線利用格林公式即可，設(shè)所補(bǔ)直線為,下用格林格林公式得：原式〔20〕〔此題總分值10分〕設(shè)，〔Ⅰ〕求〔Ⅱ〕線性方程組有無窮多解，求，并求的通解?！窘馕觥浚骸并瘛场并颉晨芍?dāng)要使得原線性方程組有無窮多解，那么有及，可知。此時(shí)，原線性方程組增廣矩陣為，進(jìn)一步化為行最簡(jiǎn)形得可知導(dǎo)出組的根底解系為，非齊次方程的特解為，故其通解為線性方程組存在2個(gè)不同的解，有.即：，得或-1.當(dāng)時(shí),，顯然不符，故.〔21〕〔此題總分值10分〕三階矩陣，為矩陣的轉(zhuǎn)置，，且二次型。1〕求2〕求二次型對(duì)應(yīng)的二次型矩陣，并將二次型化為標(biāo)準(zhǔn)型，寫出正交變換過程?！窘馕觥浚?〕由可得，2〕那么矩陣解得矩陣的特征值為：對(duì)于得對(duì)應(yīng)的特征向量為：對(duì)于得對(duì)應(yīng)的特征向量為：對(duì)于得對(duì)應(yīng)的特征向量為：將單位化可得：，，〔22〕〔此題總分值10分〕隨機(jī)變量以及的分布律如下表所示，X012P1/21/31/6Y012P1/31/31/3XY0124P7/121/301/12求：〔1〕；〔2〕與.【解析】：X012P1/21/31/6Y012P1/31/31/3XY0124P7/121/301/12〔1〕〔2〕，其中,所以，，，,.〔23〕〔此題總分值11分〕設(shè)隨機(jī)變量與相互獨(dú)立且分別服從正態(tài)分布與，其中是未知參數(shù)且,設(shè),求的概率密度；設(shè)為來自總體的簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本，求的最大似然估計(jì)量；證明為的無偏估計(jì)量?！窘馕觥浚骸?〕因?yàn)?，且與相互獨(dú)立，故，所以，的概率密度為〔2〕似然函數(shù)解得最大似然估計(jì)值為，最大似然估計(jì)量為〔3〕故為的無偏估計(jì)量。2023年全國(guó)碩士研究生入學(xué)統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)二試題解析一、選擇題：1～8小題，每題4分，共32分，以下每題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)符合題目要求的，請(qǐng)將所選項(xiàng)前的字母填在答題紙指定位置上.〔3〕設(shè)an>0(n=1,2,…)，Sn=a1+a2+…an，那么數(shù)列(sn)有界是數(shù)列〔an〕收斂的(A)充分必要條件. (B)充分非必要條件.〔C〕必要非充分條件. 〔D〕即非充分地非必要條件.【答案】：(A)【解析】：由于，那么為正項(xiàng)級(jí)數(shù)，Sn=a1+a2+…an為正項(xiàng)級(jí)數(shù)的前項(xiàng)和。正項(xiàng)級(jí)數(shù)前項(xiàng)和有界與正向級(jí)數(shù)收斂是充要條件。應(yīng)選A〔4〕設(shè)sinxdx(k=1,2,3),那么有D〔A〕I1<I2I3. (B)I2<I2<I3.(C)I1<I3<I1, (D)I1<I2<I3.【答案】：(D)【解析】：看為以為自變量的函數(shù)，那么可知，即可知關(guān)于在上為單調(diào)增函數(shù)，又由于，那么，應(yīng)選D〔5〕設(shè)函數(shù)f(x,y)可微，且對(duì)任意x,y都有>0,<0,f(x1,y1)<f(x2,y2)成立的一個(gè)充分條件是(A)x1>x2,y1<y2. (B)x1>x2,y1>y1.(C)x1<x2,y1<y2. (D)x1<x2,y1>y2.【答案】：(D)【解析】：，表示函數(shù)關(guān)于變量是單調(diào)遞增的，關(guān)于變量是單調(diào)遞減的。因此，當(dāng)必有，應(yīng)選D二、填空題：914小題，每題4分，共24分，請(qǐng)將答案寫在答題紙指定位置上.〔14〕設(shè)是隨機(jī)事件，互不相容，,,那么________?！敬鸢浮浚骸窘馕觥浚河蓷l件概率的定義，，其中，，由于互不相容，即，，又，得，代入得，故.三、解答題：15—23小題，共94分.請(qǐng)將解答寫在答題紙指定位置上.解容許寫出文字說明、證明過程或演算步驟.〔15〕〔此題總分值10分〕函數(shù)，記求的值假設(shè)當(dāng)時(shí)，是的階無窮小，求【解析】：〔1〕，即〔2〕,當(dāng)時(shí)，由又因?yàn)?當(dāng)時(shí)，與等價(jià)，故，即〔16〕〔此題總分值10分〕求的極值?！窘馕觥浚?，先求函數(shù)的駐點(diǎn).，解得函數(shù)為駐點(diǎn)為.又，所以，故在點(diǎn)處取得極大值.〔17〕〔此題總分值10分〕【解析】：〔18〕〔此題總分值10分〕【解析】：〔19〕〔此題總分值10分〕求微分方程的解.【解析】：對(duì)應(yīng)的齊次線性微分方程的特征方程為，特征根為，齊次微分方程的通解為.設(shè)，代入方程可得原微分方程的通解為2023年全國(guó)碩士研究生入學(xué)統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)三試題解析一、選擇題：1～8小題，每題4分，共32分，以下每題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)符合題目要求的，請(qǐng)將所選項(xiàng)前的字母填在答題紙指定位置上.〔1〕曲線漸近線的條數(shù)為〔〕〔A〕0〔B〕1〔C〕2〔D〕3【答案】：【解析】：，所以為垂直的，所以為水平的，沒有斜漸近線故兩條選〔2〕設(shè)函數(shù)，其中為正整數(shù)，那么〔A〕〔B〕〔C〕〔D〕【答案】：【解析】：所以〔3〕設(shè)函數(shù)連續(xù)，那么二次積分=〔〕〔A〕〔B〕〔C〕〔D〕【答案】：〔B〕【解析】：由解得的下界為，由解得的上界為.故排除答案〔C〕〔D〕.將極坐標(biāo)系下的二重積分化為型區(qū)域的二重積分得到被積函數(shù)為，應(yīng)選〔B〕.〔4〕級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂，條件收斂，那么范圍為〔〕〔A〕〔B〕〔C〕〔D〕【答案】：〔D〕【解析】：考察的知識(shí)點(diǎn)是絕對(duì)收斂和條件收斂的定義及常見的級(jí)數(shù)的收斂性結(jié)論.絕對(duì)收斂可知；條件收斂可知，故答案為〔D〕〔5〕設(shè)其中為任意常數(shù)，那么以下向量組線性相關(guān)的是〔〕〔A〕〔B〕〔C〕〔D〕【答案】：〔C〕【解析】：由于，可知線性相關(guān)。應(yīng)選〔C〕〔6〕設(shè)為3階矩陣，為3階可逆矩陣，且，，那么〔〕〔A〕〔B〕〔C〕〔D〕【答案】：〔B〕【解析】：，那么，故應(yīng)選〔B〕。〔7〕設(shè)隨機(jī)變量與相互獨(dú)立，且都服從區(qū)間上的均勻分布，那么〔〕〔A〕〔B〕〔C〕〔D〕【答案】：〔D〕【解析】：由題意得，，其中表示單位圓在第一象限的局部，被積函數(shù)是，故根據(jù)二重積分的幾何意義，知，應(yīng)選〔D〕.〔8〕設(shè)為來自總體的簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本，那么統(tǒng)計(jì)量的分布〔〕〔A〕〔B〕〔C〕〔D〕【答案】：〔B〕【解析】：從形式上，該統(tǒng)計(jì)量只能服從分布。應(yīng)選。具體證明如下：，由正態(tài)分布的性質(zhì)可知，與均服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布且相互獨(dú)立，可知。二、填空題：914小題，每題4分，共24分，請(qǐng)將答案寫在答題紙指定位置上.〔9〕________?！敬鸢浮浚骸窘馕觥浚?====所以=〔10〕設(shè)函數(shù)，求________?！敬鸢浮浚骸窘馕觥浚河傻谋磉_(dá)式可知，可知〔11〕函數(shù)滿足，那么【答案】：【解析】：由題意可知分子應(yīng)為分母的高階無窮小，即，所以，，故〔12〕由曲線和直線及在第一象限中所圍圖形的面積為？【答案】：【解析】：被積函數(shù)為1的二重積分來求，所以〔13〕設(shè)為3階矩陣，,為的伴隨矩陣，假設(shè)交換的第一行與第二行得到矩陣,那么________。【答案】：-27【解析】：由于，故，所以，.〔14〕設(shè)是隨機(jī)事件，互不相容，,,那么________?！敬鸢浮浚骸窘馕觥浚河蓷l件概率的定義，，其中，，由于互不相容，即，，又，得，代入得，故.三、解答題：15—23小題，共94分.請(qǐng)將解答寫在答題紙指定位置上.解容許寫出文字說明、證明過程或演算步驟.〔15〕〔此題總分值10分〕計(jì)算【解析】：〔16〕〔此題總分值10分〕計(jì)算二重積分，其中D為由曲線與所圍區(qū)域。yO1x【解析】：yO1x〔17〕〔此題總分值10分〕某企業(yè)為生產(chǎn)甲、乙兩種型號(hào)的產(chǎn)品，投入的固定本錢為10000〔萬元〕，設(shè)該企業(yè)生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品的產(chǎn)量分別為x〔件〕和〔y件〕，且固定兩種產(chǎn)品的邊際本錢分別為〔萬元/件〕與〔萬元/件〕。1〕求生產(chǎn)甲乙兩種產(chǎn)品的總本錢函數(shù)(萬元)2〕當(dāng)總產(chǎn)量為50件時(shí)，甲乙兩種的產(chǎn)量各為多少時(shí)可以使總本錢最??？求最小的本錢。3〕求總產(chǎn)量為50件時(shí)且總本錢最小時(shí)甲產(chǎn)品的邊際本錢，并解釋其經(jīng)濟(jì)意義。【解析】：1〕設(shè)本錢函數(shù)為，由題意有：，對(duì)x積分得，，再對(duì)y求導(dǎo)有，，再對(duì)y積分有，所以，又，故，所以2〕假設(shè)，那么，代入到本錢函數(shù)中，有所以，令，得，這時(shí)總本錢最小3〕總產(chǎn)量為50件且總本錢最小時(shí)甲產(chǎn)品的邊際本錢為，表示在要求總產(chǎn)量為50件時(shí)，在甲產(chǎn)品為24件，這時(shí)要改變一個(gè)單位的產(chǎn)量，本錢會(huì)發(fā)生32萬元的改變。〔18〕〔此題總分值10分〕證明：【解析】：令，可得當(dāng)時(shí)，有，，所以，故，而，即得所以。當(dāng)，有，，所以，故，即得可知，〔19〕〔此題總分值10分〕函數(shù)滿足方程及1〕求表達(dá)式2〕求曲線的拐點(diǎn)【解析】：1〕特征方程為，特征根為，齊次微分方程的通解為.再由得，可知。故2〕曲線方程為，那么，令得。為了說明是唯一的解，我們來討論在和時(shí)的符號(hào)。當(dāng)時(shí)，，可知；當(dāng)時(shí)，，可知。可知是唯一的解。同時(shí)，由上述討論可知曲線在左右兩邊的凹凸性相反，可知點(diǎn)是曲線唯一的拐點(diǎn)?！?0〕〔此題總分值10分〕設(shè)，〔Ⅰ〕求〔Ⅱ〕線性方程組有無窮多解，求，并求的通解?！窘馕觥浚骸并瘛场并颉晨芍?dāng)要使得原線性方程組有無窮多解，那么有及，可知。此時(shí)，原線性方程組增廣矩陣為，進(jìn)一步化為行最簡(jiǎn)形得可知導(dǎo)出組的根底解系為，非齊次方程的特解為，故其通解為線性方程組存在2個(gè)不同的解，有.即：，得或-1.當(dāng)時(shí),，顯然不符，故.〔21〕〔此題總分值10分〕三階矩陣，為矩陣的轉(zhuǎn)置，，且二次型。1〕求2〕求二次型對(duì)應(yīng)的二次型矩陣，并將二次型化為標(biāo)準(zhǔn)型，寫出正交變換過程?！窘馕觥浚?〕由可得，2〕那么矩陣解得矩陣的特征值為：對(duì)于得對(duì)應(yīng)的特征向量為：對(duì)于得對(duì)應(yīng)的特征向量為：對(duì)于得