場論復(fù)變函數(shù)

場論復(fù)變函數(shù)第一頁，共三十頁，2022年，8月28日復(fù)數(shù)簡介1.復(fù)數(shù)的起源

復(fù)數(shù)的出現(xiàn)，它不是數(shù)學(xué)史上具有里程碑性質(zhì)的重大事件，但同樣曾長期引起人們的困惑，而最后又帶給了人們光明和成功

從復(fù)數(shù)被提出---200多年迷茫，人們使用它，但又拒絕承認它---從虛無飄渺的數(shù)---變?yōu)閷崒嵲谠诘臄?shù)，并在現(xiàn)代數(shù)學(xué)和開學(xué)技術(shù)領(lǐng)域得到廣泛應(yīng)用。第二頁，共三十頁，2022年，8月28日2.復(fù)數(shù)的應(yīng)用代數(shù)方程解的存在性，得到了圓滿的解決；復(fù)數(shù)的分式線性變換，成為研究幾何的主要代數(shù)工具；解析函數(shù)方法與理論進入了物理學(xué)及某些實用工程學(xué)；黎曼曲面的概念與理論，便是當(dāng)代數(shù)學(xué)中流形概念的最早的雛形；復(fù)數(shù)在幾何，三角，物理上的應(yīng)用。

第三頁，共三十頁，2022年，8月28日3.復(fù)數(shù)的推廣1843年，愛爾蘭數(shù)學(xué)家—哈密頓，提出了一種新型的數(shù)：四元素.現(xiàn)在許多領(lǐng)域應(yīng)用，連哈密頓本人也始料未及。

其意義;

（1)它是第一個發(fā)現(xiàn)的乘法不可交換而可以作除法的數(shù)系，形成了一個在實數(shù)域上四維線性空間中的代數(shù)；（2）物理、力學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)，特別是在包含描述三維空間的旋轉(zhuǎn)的計算，當(dāng)代計算機圖形學(xué)等方面，也扮演著一個重要的角色.第四頁，共三十頁，2022年，8月28日

場論場：發(fā)生物理現(xiàn)象的空間部分稱為場，場是物理量的空間函數(shù)。它分為：數(shù)量場；矢量場；張量場

場的兩個顯著特征：（1）場是物理的客觀實在。（2）場可以隨時間和空間聯(lián)合變化不隨時間變化為穩(wěn)定場，否則為不穩(wěn)定場。等值面：數(shù)量函數(shù)取相同數(shù)值的點連接起來構(gòu)成的一個曲面矢量和矢量理論：它是場論的基礎(chǔ)知識，有廣泛的應(yīng)用背景和深刻的物理意義如“信息工程中語音、圖像和編碼，均可采用高維矢量

第五頁，共三十頁，2022年，8月28日

梯度是數(shù)量場在空間最重要的微觀變化量。即，在空間某點的數(shù)量場可向各種不同方向做出變化，于是變化方向成了研究數(shù)量場的獨有特色定義：若在數(shù)量場中的一點處，存在這樣一個矢，其方向為函數(shù)在點處變化率最大的方向，其模也正好是這個最大變化率的數(shù)值，則稱矢量為函數(shù)在點處的梯度應(yīng)用

1.“瞎子爬山”的思想；

2.最優(yōu)化問題。第六頁，共三十頁，2022年，8月28日

散度是矢量場重要的微觀測定之一通量：它表示矢線穿過曲面的總量究其實質(zhì)，是由于力線背后的源在起作用，為了解“源”在內(nèi)的分布情況以及“源”的強弱程度等問題引入矢量場的散度概念.散度的定義：散度為數(shù)量，表示在場中一點處通量對體積的變化率說明：在該點處對一個單位體積來說所穿出之通量，稱為該點處的強度第七頁，共三十頁，2022年，8月28日定理:

在直角坐標(biāo)系中，矢量場

在任一點處的散度為

第八頁，共三十頁，2022年，8月28日

旋度旋度是矢量場的另一重要的微觀測度，是一個矢量環(huán)量：設(shè)有矢量場，則沿場中某一封閉的有向曲線的曲線積分叫矢量場中按積分所取方向沿曲線的環(huán)量實際背景：在力學(xué)上一質(zhì)點沿封閉曲線一周，F(xiàn)力場所做的W功，就是一個典型的旋量。

第九頁，共三十頁，2022年，8月28日旋度的定義：若在矢量場中的一點處存在這樣的一個矢量，矢量場在點處沿其方向的環(huán)量面密度為最大，這個最大的數(shù)值正好就是，則稱矢量為矢量場在點處的旋度。即：旋度矢量在數(shù)值和方向上表出了最大的旋量面密度?？傊禾荻?、散度、旋度都是客觀量，為使其表達更為簡潔、合適，對不同的幾何架，應(yīng)采用不同的坐標(biāo)，就應(yīng)引入正交曲線坐標(biāo)系。第十頁，共三十頁，2022年，8月28日§1.1.1復(fù)數(shù)的基本概念

設(shè)，為兩個任意實數(shù)，稱形如的數(shù)為復(fù)數(shù)，記為，其中滿足，稱為虛數(shù)單位.實數(shù)和分別稱為復(fù)數(shù)的實部和虛部，記為，.各數(shù)集之間的關(guān)系可表示為第十一頁，共三十頁，2022年，8月28日設(shè)與是兩個復(fù)數(shù).如果，則稱與相等.由定義可得：.設(shè)是一個復(fù)數(shù)，稱為的共軛復(fù)數(shù)，記作.顯然，.思考：復(fù)數(shù)是否可以比較大??？第十二頁，共三十頁，2022年，8月28日§1.1.2復(fù)數(shù)的四則運算

設(shè)復(fù)數(shù)，，定義與的四則運算如下：加法：減法：乘法：除法：復(fù)數(shù)滿足四則運算規(guī)律：加法交換律、第十三頁，共三十頁，2022年，8月28日加法結(jié)合律、乘法交換律、乘法結(jié)合律、乘法對于加法的分配律.1.1.3共軛復(fù)數(shù)的運算性質(zhì)：（1）（2）（3）（4）（5）第十四頁，共三十頁，2022年，8月28日

（6）（7）為實數(shù).例1化簡.

解：.第十五頁，共三十頁，2022年，8月28日例2

設(shè)，求及.

解：

所以

第十六頁，共三十頁，2022年，8月28日例3

設(shè)是任意兩個復(fù)數(shù)，求證：

證：利用公式可得

第十七頁，共三十頁，2022年，8月28日§1.2復(fù)數(shù)的幾何表示一個復(fù)數(shù)可唯一地對應(yīng)一個有序?qū)崝?shù)對，而有序?qū)崝?shù)對與坐標(biāo)平面上的點是一一對應(yīng)的.所以，復(fù)數(shù)全體與坐標(biāo)平面上的點的全體形成一一對應(yīng).即我們把坐標(biāo)平面上的橫坐標(biāo)記為實軸，縱坐標(biāo)記為虛軸，這樣整個平面可稱為復(fù)（數(shù)）平面.今后將復(fù)數(shù)與復(fù)平面的點不加區(qū)分.第十八頁，共三十頁，2022年，8月28日圖1.1圖1.2由圖示：的向量來表示（如圖1.1）,與分別是在軸與軸上的投影.復(fù)數(shù)與關(guān)于實軸對稱（如圖1.2）.第十九頁，共三十頁，2022年，8月28日

§1.2復(fù)數(shù)的三角表示§1.2.3復(fù)數(shù)的模與輻角復(fù)數(shù)的模如圖1.1中的向量的長度稱為復(fù)數(shù)的模，記作或，即復(fù)數(shù)的輻角設(shè)復(fù)數(shù)對應(yīng)的向量為（如圖1.1）,與實軸正方向所夾的角，稱為復(fù)數(shù)的輻角,記作，即.

第二十頁，共三十頁，2022年，8月28日

并規(guī)定按逆時針方向取值為正，順時針方向取值為負.用記號表示的所有輻角中介于與之間（包括）的那一個角，并稱它為的主輻角，即.從而我們可以用反正切函數(shù)來刻畫.由定義我們有：.復(fù)數(shù)的三角表示式稱為復(fù)數(shù)的三角表示式.第二十一頁，共三十頁，2022年，8月28日例1

求和.解

第二十二頁，共三十頁，2022年，8月28日例2

求的三角表示式.解

因為,所以

設(shè)則又因為位于第II象限，所以,于是第二十三頁，共三十頁，2022年，8月28日1.1.4.復(fù)數(shù)的冪與根

1.復(fù)數(shù)的乘冪設(shè)為正整數(shù)，個非零相同復(fù)數(shù)的乘積，稱為的次冪，記為，即若，則有當(dāng)時，得到著名的棣莫弗（DeMoivre）公式第二十四頁，共三十頁，2022年，8月28日例7

求.解

因為

所以例8

已知，求.解因為

第二十五頁，共三十頁，2022年，8月28日所以第二十六頁，共三十頁，2022年，8月28日2.復(fù)數(shù)的方根

稱滿足方程的復(fù)數(shù)為的次方根，記作或記作.例1

解方程