北師大版八年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)第四章因式分解

第四章因式分解4.1因式分解ma+mb+mc=m(a+b+c)復(fù)習(xí)回顧用簡(jiǎn)便方法計(jì)算.合作探究993-99能被100整除嗎?你是怎樣想的?小組討論？

你能把a(bǔ)3-a化成幾個(gè)整式的乘積的形式嗎？類比探究整式的乘積做一做：觀察下面的拼圖過(guò)程，寫出相應(yīng)的關(guān)系式合作探究

把一個(gè)化成幾個(gè)的形式，這種變形叫做因式分解.觀察下列各式的左右兩邊各有什么特點(diǎn)？（1）

a3-a

=a(a+1)(a-1)（2）

ma+mb+mc

=m(a+b+c)（3）x2+2x+1=(x+1)2合作探究多項(xiàng)式整式的積因式分解也可稱為分解因式.小組討論例題講解例判斷下列變形是因式分解嗎？說(shuō)說(shuō)你的理由.左右兩邊的變形分別是什么運(yùn)算？互逆過(guò)程ma+mb+mc（多項(xiàng)式）m(a+b+c)（整式乘積）分解因式整式乘法下列變形，哪些是整式乘法，哪些是因式分解？學(xué)以致用整式乘法因式分解因式分解鞏固訓(xùn)練1.+1999能被2000整除嗎？解：因?yàn)?1999=1999×（1999+1）=1999

×2000.所以+1999能被2000整除.因式分解利用因式分解，可以簡(jiǎn)化計(jì)算.小結(jié)：2.當(dāng)a=3.14，b=2.386，c=1.386時(shí)，求ab-ac的值.解：ab-ac=a(b-c)=3.14×(2.386-1.386)=3.14×1=3.14.C分析：.3.(2b+a)(a-2b)是多項(xiàng)式（）因式分解的結(jié)果.A.B.C.D.感悟與收獲

1.知識(shí)方面：2.方法方面：①因式分解的定義②因式分解與整式乘法的關(guān)系①類比的方法，逆向思維的方法②利用因式分解可以簡(jiǎn)化運(yùn)算.第四章因式分解4.2提公因式法回顧與思考1.多項(xiàng)式的因式分解的概念：把一個(gè)多項(xiàng)式化為幾個(gè)整式乘積的形式，叫做把這個(gè)多項(xiàng)式分解因式.2.因式分解與整式乘法是互逆過(guò)程.3.分解因式時(shí)要注意以下幾點(diǎn):①分解的對(duì)象必須是多項(xiàng)式.

②

分解的結(jié)果一定是幾個(gè)整式的乘積的形式.

（1）ac+bc（2）3x2

+x（3）30mb2

+5nb（4）3x+6（5）a2b

–2ab2

+ab（6）7(a–3)–b(a–3)下列各多項(xiàng)式有沒(méi)有共同的因式？c

x5b3a-3ab（1）7x2

-21x（2）8a3b2–12ab3+ab（3）mb2

+nb（4）7x3y2–42x2y3（5）4a2b

–2ab2

+6abc說(shuō)出下列各式的公因式：

7xabb7x2y22ab

多項(xiàng)式中各項(xiàng)都含有的相同因式，叫做這個(gè)多項(xiàng)式各項(xiàng)的公因式.

怎樣確定多項(xiàng)式的公因式？公因式與多項(xiàng)式的各項(xiàng)有什么關(guān)系？公因式：確定多項(xiàng)式各項(xiàng)的公因式1.系數(shù)：

公因式的系數(shù)取各項(xiàng)系數(shù)的最大公因數(shù)；2.字母：字母取多項(xiàng)式各項(xiàng)中都含有的相同的字母；

3.指數(shù)：相同字母的指數(shù)取各項(xiàng)中最小的.

例1找出3x2y2–6xy3

的公因式.系數(shù)：最大公因數(shù)3字母：相同字母指數(shù)

最低次冪xy2

所以3x2-6x的公因式是3xy2因?yàn)橛锰峁蚴椒ǚ纸庖蚴?/p>

如果一個(gè)多項(xiàng)式的各項(xiàng)含有公因式，那么就可以把這個(gè)公因式提出來(lái)，從而將多項(xiàng)式化成兩個(gè)因式乘積的形式，這種分解因式的方法叫做提公因式法.

例2把9x2–6xy+3xz

因式分解.=3x·3x

–3x·2y+3x·z

解：=3x(3x-2y+z).9x2–6xy

+3xz

方法步驟：①找出公因式；②提出公因式.（即用多項(xiàng)式中每一項(xiàng)除以公因式）把8a3b2–12ab3c

+ab因式分解.小穎解的有誤嗎？解：8a3b2–12ab3c

+ab=ab·8a2b

–

ab·12b2c+ab·1=ab(8a2b

–12b2c)

當(dāng)多項(xiàng)式的某一項(xiàng)和公因式相同時(shí)，提公因式后剩余的項(xiàng)是1.有錯(cuò)誤例3例4把–24x3–12x2+28x因式分解.=解：–24x3

–12x2+28x=–(24x3+12x2

–28x)–4x

(6x2+3x–7).當(dāng)多項(xiàng)式第一項(xiàng)系數(shù)是負(fù)數(shù)時(shí)，通常先提出“–”號(hào)，使括號(hào)內(nèi)第一項(xiàng)系數(shù)變?yōu)檎龜?shù)，注意括號(hào)內(nèi)各項(xiàng)都要變號(hào).提公因式法分解因式正確地找出多項(xiàng)式各項(xiàng)的公因式.注意：1.多項(xiàng)式是幾項(xiàng)，提公因式后也剩幾項(xiàng).2.當(dāng)多項(xiàng)式的某一項(xiàng)和公因式相同時(shí)提公因式后剩余的項(xiàng)是1.3.當(dāng)多項(xiàng)式第一項(xiàng)系數(shù)是負(fù)數(shù)，通常先提出“–”，使括號(hào)內(nèi)第一項(xiàng)系數(shù)變?yōu)檎龜?shù)，注意括號(hào)內(nèi)各項(xiàng)都要變號(hào).（1）25x–5；（2）3x3–3x2–9x；（3）8a2c+2bc；

（4）–4a3b3+6a2b–2ab；（5）–2x2–12xy2+8xy3.練習(xí)把下列各式因式分解：想一想：

提公因式法分解因式與單項(xiàng)式乘多項(xiàng)式有什么關(guān)系？

提公因式法與單項(xiàng)式乘多項(xiàng)式互為逆運(yùn)算關(guān)系.1.利用因式分解計(jì)算：(–2)101+(–2)100.2.利用簡(jiǎn)便方法計(jì)算：

4.3×199.8+0.76×1998–1.9×199.83.已知a+b=3,ab=2,求代數(shù)式a2b

+2a2b2+ab2的值.4.把9am+1–21am+7am-1因式分解.課后思考題1.確定公因式的方法：（1）公因式的系數(shù)是多項(xiàng)式各項(xiàng)系數(shù)的最大公因數(shù).

（2）字母取多項(xiàng)式各項(xiàng)中都含有的相同的字母.

（3）相同字母的指數(shù)取各項(xiàng)中最小的一個(gè).

小結(jié)2.提公因式法分解因式：第一步，找出公因式；第二步，提出公因式,即用多項(xiàng)式除以公因式.第四章因式分解4.3公式法第1課時(shí)1.知道平方差公式的結(jié)構(gòu)特征,會(huì)用平方差公式進(jìn)行因式分解.2.知道因式分解先要考慮用提公因式法,再考慮用平方差公式.仔細(xì)觀察下面圖1與圖2中陰影部分的面積,你知道它能驗(yàn)證哪個(gè)公式嗎?

1.英國(guó)數(shù)學(xué)家狄摩根在青年時(shí)代曾有人問(wèn)他:“你今年多大年齡?”狄摩根想了想說(shuō):“今年,我的年齡和我弟弟的年齡的平方差是141.”據(jù)此信息,你能算出當(dāng)年狄摩根的年齡嗎?2.已知a,b,c分別是△ABC的三邊,且滿足a2c2-b2c2=a4-b4,試判斷△ABC的形狀.解:∵a2c2-b2c2=a4-b4,∴c2(a2-b2)=(a2+b2)(a2-b2).移項(xiàng),得c2(a2-b2)-(a2+b2)(a2-b2)=0.提取公因式,得(a2-b2)[c2-(a2+b2)]=0.∴a2-b2=0或a2+b2=c2.∴△ABC是等腰三角形或直角三角形.要想運(yùn)用平方差公式因式分解,必須掌握平方差公式的特點(diǎn):(1)平方差公式的左邊是兩個(gè)_____次項(xiàng),兩項(xiàng)都能寫成______的形式,并且符號(hào)_______.

(2)右邊是兩個(gè)數(shù)的_____與______________的積.

二

平方相反和

這兩個(gè)數(shù)的差第2課時(shí)1.能說(shuō)出完全平方公式的結(jié)構(gòu)特征.2.能靈活運(yùn)用完全平方公式進(jìn)行因式分解.3.理解完全平方式的概念.上節(jié)課,我們由平方差公式(a+b)(a-b)=a2-b2得到了用平方差公式因式分解的方法:a2-b2=(a+b)(a-b).那么對(duì)于完全平方公式(a±b)2=a2±2ab+b2,我們能否也用類似的方法得到一種新的因式分解的方法呢?

1.閱讀理解:對(duì)于二次三項(xiàng)式x2+2ax+a2可以直接用公式法分解為(x+a)2的形式,但對(duì)于二次三項(xiàng)式x2+2ax-8a2,就不能直接用公式法了.我們可以在二次三項(xiàng)式x2+2ax-8a2中先加上一項(xiàng)a2,使其成為完全平方式,再減去a2這項(xiàng),使整個(gè)式子的值不變,于是有:x2+2ax-8a2=x2+2ax-8a2+a2-a2=(x2+2ax+a2)-8a2-a2=(x+a)2-9a2=[(x+a)+3a][(x+a)-3a]=(x+4a)(x-2a).像這樣把二次三項(xiàng)式分解因式的方法叫添(拆)項(xiàng)法.問(wèn)題解決:請(qǐng)用上述方法將二次三項(xiàng)式x2+2ax-3a2

因式分解.解:x2+2ax-3a2=x2+2ax-3a2+a2-a2=x2+2ax+a2-3a2-a2=(x+a)2-4a2=(x+a)2-(2a)2=(x+a+2a)(x+a-2a)=(x+3a)(x-a).2.下面是某同學(xué)對(duì)多項(xiàng)式(x2-4x+2)(x2-4x+6)+4進(jìn)行因式分解的過(guò)程.解:設(shè)x2-4x=y,則原式=(y+2)(y+6)+4(第一步)=y2+8y+16(第二步)=(y+4)2(第三步)=(x2-4x+4)2.(第四步)請(qǐng)問(wèn):

(1)該同學(xué)第二步到第三步運(yùn)用了因式分解的 ()A.提取公因式