2024年圓錐曲線復習題附答案

2024年高考圓錐曲線復習題I.已知動點M與兩個定點O（0,0）,4（3,0）的距離的比為動點M的軌跡為曲線C.（I）求C的軌跡方程，并說明其形狀；（2）過直線x=3上的動點P（3,p）（pWO）分別作C的兩條切線PQ、PR（Q、R為切點），N為弦QR的中點，直線/：3x+4.y=6分別與x軸、），軸交于點樂F,求ANEF的面積S的取值范圍.【分析】（1）設出點M的坐標，利用直接法建立關(guān)系式，化簡即可求解；（2）寫出以。戶為直徑的圓的方程，然后利用Q,A是兩個圓的交點得到QK所在直線方程，聯(lián)立直線QR與圓C的方程，利用韋達定理求出點N的縱坐標，從而得出點N在以。。為直徑的圓上，求出該圓的圓心以及半徑，利用點，直線與圓的位置關(guān)系即可求解.解：（1）解：（1）設”,y）,由翳得VX^2

7(X-3)2+y2化簡的/+)2+2_￥-3=0,即(x+1)2+/=4,故C是以（-1,0）為圓心，半徑為2的圓;（2）以線段。P為直徑的圓的方程為（X+1）（x-3）+（廠0）（），-〃）=0,整理可得-2x-py-3=0…①又Q,R在以。尸為直徑的圓上，且Q,R在C：/+），2+〃-3=0…②②-①得：4x+py=0,所以，切點弦QR所在直線的方程為4x+py=0,可見QR恒過原點0（0,0）,聯(lián)立方程片:消去x整理可得：（16+//）），2?*）,-48=0,設。（xi，戶），R（X2，*），則y1+y2=TTT_2tlb+p點N的縱坐標yn=,12及=16+p^f因為〃W0，顯然加工0,所以點N與點。（-1,0）,O（0,0）均不重合，因為N為弦QR的中點，且。（-I,0）為C的圓心，由圓的性質(zhì)可得DN1QR,即DNLON,11所以點N在以。。為直徑的圓上，圓心為。（一矛0）,半徑為r=2，3因為直線3x+4y=6分別與x軸，），軸交于點E,F,所以E（2,0）,F（0,-）,因此|EF|二5r圓心G（―2,0）到直線3x+4y=6的距離d=_,，一j32+42-設ANEF的邊EQ上的高為/;,則點N到直線3x+4y=6的距離h的最小值為d-r=|-1=1,點N到直線3x+4尸6的距離h的最大值為d+?=1+y=2,乙乙TOC\o"1-5"\h\z所以5的最小值為Smin=iXX1=T?Smax=iXX2二羨，乙乙1乙乙乙55所以三角形NE/的面積S的取值范圍為匚，42【點評】本題考查了圓的方程以及直線與圓的位置關(guān)系的應用，涉及到點到直線的距離以及面積的最值問題，考查了學生的運算推理能力，屬于難題.x22.已知橢圓C：—+.y2=1的左、右焦點分別為R,產(chǎn)2,過點A（0,2）的直線/交橢圓C于不同的兩點P、Q.（1）若直線/經(jīng)過尸2,求△乃PQ的周長；（2）若以線段PQ為直徑的圓過點尸2,求直線/的方程；（3）若局=高\求實數(shù)人的取值范圍.【分析】（1）利用橢圓的定義求解即可；（2）當直線/的斜率不存在時，直線/：x=0,符合題意；當直線/的斜率存在時，設直線/：），=履+2,聯(lián)立方程組，利用韋達定理表示出F；P-F；Q=0,求出火的值即可得到方程；（3）當直線/的斜率不存在時，求出入的值，當當直線/的斜率存在時，設直線/：y=心42,求出入=今，然后利用韋達定理求出入的范圍即可.xix2解：（1）因為橢圓C：—+y2=l,2所以橢圓。的長半軸長為企，由橢圓的定義可得，PFr+PF2=2V2,QFi+QF2=2V2,所以△QPQ的周長為4企：（2）當直線/的斜率不存在時，直線/：a=0,此時。（0,1）,P（0,-1）,

又尸2(I,0),所以F2P=(-1,-1),F2Q=(-1,1),所以尸；尸產(chǎn)b=0符合題意；當直線/的斜率存在時，設直線/：y=kx+2,設P(xi,yi),Q(X2,>,2),x2聯(lián)立直線與0+y2=l,則有(1+2F))+8履+6=0,y=kx+2所以與+'2=一熱’、62二備’△=64d-4(1+2必)X6>0,解得因為F2P=(必一1,%),F2Q=(x2-1/y2)?F2P-F2Q=(xi-1)(%2—1)+力均=(幻-1)(a-2-1)+(履1+2)(kxi+2)=0,所以(9+l)XIX2+(2k-1)(A1+A2)+5=0,故(e+1)—L^+(2k-l)(--J)+5=0,解得k二一詈，1+2/c1+2/c故直線/的方程為llx+8.y-16=0,綜上所述，直線/的方程為x=0或lLv+8y-16=0；(3)①當直線/的斜率不存在時,直線/：x=0,若Q(0,1),P(0,7),則R=(0,-1),AP=(0,一3),所以花=［前，此時a11=3:若Q(0,-1),P(0,1),則花=(0,-3),6=(0,-1),所以屆=3/，此時入=3；②當直線/的斜率存在時，設直線/：尸行+2,設P（xi,yi）,Q（X2,*）,又4(0,2),所以前=(與，yi-2),AQ=(x2,y2-2),因為法=.所嚙生/一2），故"券由（由（1）可知，%1+X2=由（1）可知，%1+由（1）可知，%1+X2=8A

1+27X1X2所展3X1X2則遼+2+—=42l+2k2所展3X1X2則遼+2+—=42l+2k232k2atiio

元萬可即入+"學一163（1+2必）<10故3（1+2必）>12,一316、3（l+2k2）,2,,1..1077T4ri210,,25..16日16、3（l+2k2）,2,由入+工、手，可得M—亍4+-^_<_^_,即--gVg,1所以一<A<3,3綜上所述，實數(shù)人的取值范圍為日，1)U(L3].【點評】本題考查了橢圓定義的應用，直線與橢圓位置關(guān)系的應用，在解決直線與圓錐曲線位置關(guān)系的問題時，?般會聯(lián)立直線與圓錐曲線的方程，利用韋達定理和“設而不求”的方法進行研究，屬于中檔題.3.如圖，已知拋物線C：)?=4犬的焦點為RA(xi,ji),B(X2,”)，P(.r3?y3),Q(%4?產(chǎn))四點都在拋物線上，直線AP與直線6Q相交于點P,且直線A3過定點七(0,-1).⑴求y\y3和y2y4的值;*￡為定值;(2)證明:*￡為定值;【分析】(1)設直線AP：%=切+1,聯(lián)立拋物線)?=4x,結(jié)合韋達定理可得.yi*和”以的值.

（2）①證明詳情見解答.②直線PQ的斜率為好。=辨卷=彥玲=譚五，由（1），即可得出答案.解：（1）因為焦點尸（1,0）,設直線4P的方程為.1=?。?1,聯(lián)立拋物線的方程，得丁-4〃少-4=0,所以"V3=-4,同理y2y4=-4.（2）①證明：因為直線A4過定點E（0,-1）,所以設直線人8的方程為y=M-1,代入拋物線的方程，得62.4），-4=0,一44所以尸+戶=/y\yi=11.1yi+yz

所以一+—==,viyzy/2②直線P