復(fù)變函數(shù)課件第二節(jié)復(fù)平面上的點(diǎn)集

復(fù)變函數(shù)課件第二節(jié)復(fù)平面上的點(diǎn)集第一頁，共二十頁，2022年，8月28日1基本概念:

a的r鄰域定義:

以a為圓心,r為半徑的圓盤U(a,r)定義為：以a為圓心，r為半徑的閉圓盤定義為：第二頁，共二十頁，2022年，8月28日極限點(diǎn)、內(nèi)點(diǎn)、邊界點(diǎn):中有無窮個(gè)點(diǎn)，則稱a為E的極限點(diǎn)；,則稱a為E的內(nèi)點(diǎn)；中既有屬于E的點(diǎn)，又有不屬于E的點(diǎn)，則稱a為的E邊界點(diǎn)；集E的全部邊界點(diǎn)所組成的集合稱為E的邊界，記為第三頁，共二十頁，2022年，8月28日閉包、孤立點(diǎn)、開集、閉集:稱為D的閉包，記為若對存在一個(gè)r>0，使得則稱a為的E孤立點(diǎn)（是邊界點(diǎn)但不是聚點(diǎn)）；開集：所有點(diǎn)為內(nèi)點(diǎn)的集合；閉集：或者沒有聚點(diǎn)，或者所有聚點(diǎn)都屬于它；1、任何集合的閉包一定是閉集；2、如果存在r>0

，使得，則稱E是有界集，否則稱E是無界集；3、復(fù)平面上的有界閉集稱為緊集。第四頁，共二十頁，2022年，8月28日區(qū)域的例子:例1、圓盤U(a,r)是有界開集；閉圓盤是有界閉集；例2、集合{z||z-a|=r}是以為a心，r為半徑的圓周，它是圓盤U(a,r)和閉圓盤的邊界。例3、復(fù)平面、實(shí)軸、虛軸是無界集，復(fù)平面是無界開集。例4、集合E={z|0<|z-a|<r}是去掉圓心的圓盤。圓心a邊界點(diǎn)，它是E邊界的孤立點(diǎn)，是集合E的聚點(diǎn)。第五頁，共二十頁，2022年，8月28日無窮遠(yuǎn)點(diǎn)的鄰域:對一切r>0,集合稱為無窮遠(yuǎn)點(diǎn)的一個(gè)r鄰域。類似地，我們可以定義聚點(diǎn)、內(nèi)點(diǎn)、邊界點(diǎn)與孤立點(diǎn)，開集、閉集等概念。我們也稱擴(kuò)充復(fù)平面為復(fù)平面的一點(diǎn)緊化。第六頁，共二十頁，2022年，8月28日2區(qū)域、曲線:復(fù)平面C上的集合D，如果滿足：（1）D是開集；（2）D中任意兩點(diǎn)可以用有限條相銜接的線段所構(gòu)成的折線連起來，而使這條折線上的所有點(diǎn)完全屬于D。則稱D是一個(gè)區(qū)域。結(jié)合前面的定義，可以定義有有界區(qū)域、無界區(qū)域。第七頁，共二十頁，2022年，8月28日連通性:性質(zhì)（2）我們稱為連通性，即區(qū)域是連通的開集。區(qū)域D內(nèi)及其邊界上全部點(diǎn)所組成的集稱為閉區(qū)域。

第八頁，共二十頁，2022年，8月28日擴(kuò)充復(fù)平面:在擴(kuò)充復(fù)平面上，不含無窮遠(yuǎn)點(diǎn)的區(qū)域的定義同上；含無窮遠(yuǎn)點(diǎn)的區(qū)域是C上的一個(gè)區(qū)域與無窮遠(yuǎn)點(diǎn)的一個(gè)鄰域的并集。注意：加上無窮遠(yuǎn)點(diǎn)后，許多性質(zhì)將有很多變化。第九頁，共二十頁，2022年，8月28日曲線:設(shè)已給如果Rez(t)和Imz(t)都是閉區(qū)間[a,b]上連續(xù)函數(shù)，則稱這些點(diǎn)組成集合為一條連續(xù)曲線。如果對上任意不同兩點(diǎn)t及s，但不同時(shí)是的端點(diǎn)，我們有:即是一條除端點(diǎn)外不自交的連續(xù)曲線，那么上述集合稱為一條簡單連續(xù)曲線，或若爾當(dāng)曲線。若還有z(a)=z(b)，則稱為一條簡單連續(xù)閉曲線，或約當(dāng)閉曲線。第十頁，共二十頁，2022年，8月28日約當(dāng)（Jordan）定理:約當(dāng)定理：任意一條約當(dāng)閉曲線把整個(gè)復(fù)平面分成兩個(gè)沒有公共點(diǎn)的區(qū)域：一個(gè)有界的稱為內(nèi)區(qū)域，一個(gè)無界的稱為外區(qū)域。第十一頁，共二十頁，2022年，8月28日光滑曲線:光滑曲線：如果Rez(t)和Imz(t)都在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù)，且有連續(xù)的導(dǎo)函數(shù)，在[a,b]上，其導(dǎo)函數(shù)恒不為零，則稱此曲線為一條光滑曲線；類似地，可以定義分段光滑曲線。第十二頁，共二十頁，2022年，8月28日區(qū)域的連通性:設(shè)D是一個(gè)區(qū)域，在復(fù)平面C上，如果D內(nèi)任何簡單閉曲線所圍成的內(nèi)區(qū)域中每一點(diǎn)都屬于D，則稱D是單連通區(qū)域;

否則稱D是多連通區(qū)域。第十三頁，共二十頁，2022年，8月28日例1:集合為半平面，它是一個(gè)單連通無界區(qū)域，其邊界為直線：第十四頁，共二十頁，2022年，8月28日例2、集合為一個(gè)垂直帶形，它是一個(gè)單連通無界區(qū)域，其邊界為兩條直線：第十五頁，共二十頁，2022年，8月28日例3、集合

為一角形，它是一個(gè)單連通無界區(qū)域，其邊界為半射線：第十六頁，共二十頁，2022年，8月28日例4、集合:為一個(gè)圓環(huán)，它是一個(gè)多連通有界區(qū)域其邊界為圓：第十七頁，共二十頁，2022年，8月28日例5、在擴(kuò)充復(fù)平面上，集合為單連通的無界