第5講：兩角和與差的正弦、余弦、正切公式 講義-高一上學(xué)期數(shù)學(xué)人教A版（2019）必修第一冊(cè)

第五講：兩角和與差的正弦、余弦、正切公式考點(diǎn)精講考點(diǎn)精講1．兩角和與差的余弦、正弦、正切公式cos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ(C(α－β))cos(α＋β)＝cos_αcos_β－sin_αsin_β(C(α＋β))sin(α－β)＝sin_αcos_β－cos_αsin_β(S(α－β))sin(α＋β)＝sin_αcos_β＋cos_αsin_β(S(α＋β))tan(α－β)＝eq\f(tanα－tanβ,1＋tanαtanβ)(T(α－β))tan(α＋β)＝eq\f(tanα＋tanβ,1－tanαtanβ)(T(α＋β))2．二倍角公式sin2α＝2sin_αcos_α；cos2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α；tan2α＝eq\f(2tanα,1－tan2α).3．在準(zhǔn)確熟練地記住公式的基礎(chǔ)上，要靈活運(yùn)用公式解決問題：如公式的正用、逆用和變形用等．如T(α±β)可變形為tanα±tanβ＝tan(α±β)(1?tan_αtan_β)，tanαtanβ＝1－eq\f(tanα＋tanβ,tanα＋β)＝eq\f(tanα－tanβ,tanα－β)－1.4、常用結(jié)論(1)降冪公式：cos2α＝eq\f(1＋cos2α,2)，sin2α＝eq\f(1－cos2α,2).(2)升冪公式：1＋cos2α＝2cos2α，1－cos2α＝2sin2α.(3)公式變形：tanα±tanβ＝tan(α±β)(1?tanαtanβ)．(4)輔助角公式：asinx＋bcosx＝eq\r(a2＋b2)sin(x＋φ)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(其中sinφ＝\f(b,\r(a2＋b2))，cosφ＝\f(a,\r(a2＋b2)))).5．常見的配角技巧2α＝(α＋β)＋(α－β)，α＝(α＋β)－β，β＝eq\f(α＋β,2)－eq\f(α－β,2)，α＝eq\f(α＋β,2)＋eq\f(α－β,2)，eq\f(α－β,2)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(β,2)))－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(α,2)＋β))等．經(jīng)典例題經(jīng)典例題題型一三角函數(shù)公式的直接應(yīng)用【例1】（1）求值：；（2）化簡(jiǎn)（）A． B．C． D．（3）化簡(jiǎn)2-sin22+cosA．3cos2 B．-3cos2C．-（4）tan255°=()A．?2?B．?2+C．2?D．2+題型二三角函數(shù)公式的求值問題【例2】(1)sin(65°－x)cos(x－20°)＋cos(65°－x)·cos(110°－x)的值為()A.eq\r(2)B.eq\f(\r(2),2)C.eq\f(1,2) D.eq\f(\r(3),2)(2)化簡(jiǎn)：eq\f(2cos4x－2cos2x＋\f(1,2),2tan\f(π,4)－xsin2\f(π,4)＋x)＝________.(3)求值：eq\f(cos15°＋sin15°,cos15°－sin15°)＝________.(4)計(jì)算：tan25°＋tan35°＋eq\r(3)tan25°tan35°＝________.【例3】已知coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(π,6)))＋sinα＝eq\f(4\r(3),5)，則sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,6)))＝________.題型三三角函數(shù)公式角的變換【例4】若0<α<eq\f(π,2)，－eq\f(π,2)<β<0，cos(eq\f(π,4)＋α)＝eq\f(1,3)，cos(eq\f(π,4)－eq\f(β,2))＝eq\f(\r(3),3)，則cos(α＋eq\f(β,2))等于()A.eq\f(\r(3),3)B．－eq\f(\r(3),3)C.eq\f(5\r(3),9) D．－eq\f(\r(6),9)【變式一】已知α，β為銳角，tanα＝eq\f(4,3)，cos(α＋β)＝－eq\f(\r(5),5).(1)求cos2α的值；(2)求tan(α－β)的值．【例5】（1）設(shè)α、β都是銳角，且cosα＝eq\f(\r(5),5)，sin(α＋β)＝eq\f(3,5)，則cosβ等于()A.eq\f(2\r(5),25)B.eq\f(2\r(5),5)C.eq\f(2\r(5),25)或eq\f(2\r(5),5) D.eq\f(\r(5),5)或eq\f(\r(5),25)（2）已知tan(α-β)=,tanβ=-,且α,β∈(0,π),則2α-β=（）A．B．C．D．或【例6】（1）已知，求的值；（2）已知，，求的值.題型四三角函數(shù)公式名的變換【例7】(1)已知α，β均為銳角，且sinα＝eq\f(3,5)，tan(α－β)＝－eq\f(1,3).則sin(α－β)＝________，cosβ＝________.（2）若α∈(eq\f(π,2)，π)，tan(α＋eq\f(π,4))＝eq\f(1,7)，則sinα等于()A.eq\f(3,5)B.eq\f(4,5)C．－eq\f(3,5) D．－eq\f(4,5)(3)已知sin2α＝eq\f(2,3)，則cos2等于()A.eq\f(1,6)B.eq\f(1,3)C.eq\f(1,2)D.eq\f(2,3)【例8】(1)已知，且，求的值.(2)已知sinα+sinβ=1,cosα+cosβ=,若α-β∈(0,π),求α-β的值.【例9】已知，，為的三個(gè)內(nèi)角，且，，，求的值．【例10】已知，則=（）A．B．C． D．課后鞏固課后鞏固1、若，則（）A． B．C． D．2、已知，，則（）A.B.C.D.3、設(shè)向量，若,則（）A．B．C．D．4、已知，則（）A．B．C． D．5、已知函數(shù)，則（）A．的最小正周期為π，最大值為3B． 的最小正周期為π，最大值為4C． 的最小正周期為，最大值為3D．的最小正周期為，最大值為46、函數(shù)的最小正周期為（）A．B．C．D．7、已知角的頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，始邊與軸的非負(fù)半軸重合，終邊上有兩點(diǎn)，，且，則（）A．B．C．D．8、已知a∈（0，），2sin2α=cos2α+1，則sinα=（）A．B．C． D．9、若，則___________．10、已知，則__________．11、已知，，則__________．12．已知sin(α＋β)＝eq\f(1,2)，sin(