中考數(shù)學(xué)全等三角形的性質(zhì)及判定

全等三角形的性質(zhì)及判定一■知識講解1.全等三角形的概念及性質(zhì)(1)全等形的概念：兩個能夠完全重合的圖形叫做全等形。(2)全等形的性質(zhì)：全等圖形的形狀和大小都相同。(3)全等三角形的概念：能夠完全重合的兩個三角形叫做全等三角形。如果AABC能與村BC全等，記作AABC0AA，BC。(4)全等三角形的對應(yīng)元素：兩個三角形全等，互相重合的頂點(diǎn)叫對應(yīng)頂點(diǎn)，互相重合的邊叫做對應(yīng)邊，互相重合的角叫做對應(yīng)角。(5)表示方法：符號“0”讀作“全等于"，如△ABC和^DEF全等，記作△ABC/△DEF,如圖，點(diǎn)A和點(diǎn)D，點(diǎn)B和點(diǎn)E，點(diǎn)C和點(diǎn)F是對應(yīng)頂點(diǎn)，AB和DE、BC和EF,AC和DF是對應(yīng)邊，/A和ND、/B和NE、/C和NF是對應(yīng)角。(6)全等三角形的性質(zhì)：全等三角形的對應(yīng)邊相等；全等三角形的對應(yīng)角相等。2.三角形全等的判定(1)邊邊邊公理：三邊對應(yīng)相等的兩個三角形全等，簡寫成，邊邊邊”或“SSS”。①書寫格式：在列舉兩個三角形全等的條件時，把三個條件按順序排列，并用大括號將它們括起來，如：^AB=AB在AABC和AABC中，［AC=AC,AAABC0AABC(SSS)BC=BC(2)邊角邊公理：兩邊和它們的夾角對應(yīng)相等的兩個三角形全等，簡寫成“邊角邊”或“SAS”。(3)角邊角公理：兩角和它們的夾邊對應(yīng)相等的兩個三角形全等，簡寫成“角邊角”和“ASA”。(4)角角邊定理：兩個角和其中一個角的對邊對應(yīng)相等的兩個三角形全等，簡寫成“角角邊”和“AAS”。

(5)直角三角形全等的條件:斜邊和一條直角邊對應(yīng)相等的兩個直角三角形全等，簡寫成“斜邊、直角邊”或“HL”。3、要點(diǎn)補(bǔ)充要點(diǎn)1用“SAS”判斷兩個三角形全等的條件是兩條邊以及這兩條邊的夾角對應(yīng)相等，應(yīng)特別注意其中的夾角是兩對應(yīng)邊的夾角而不是其中一邊的對角。用'ASA”定理來判斷兩個三角形全等，一定要證明這兩個三角形有兩個角以及這兩個角的夾邊對應(yīng)相等；用'AAS”定理來判斷兩個三角形全等，要注意邊是其中一角的對邊。要點(diǎn)2應(yīng)用“斜邊、直角邊”判定兩個直角三角形全等的過程中要突出直角三角形這個條件，書寫時必須在兩個三角形前加上“Rt”一般三角形全等的條件對直角三角形同樣適用，但“HL”定理只適用于直角三角形全等的判定，對于一般三角形不適用。要點(diǎn)3兩個三角形不一定全等的情況：①在兩個三角形中三對邊和三對內(nèi)角對應(yīng)相等這六個元素中滿足其中一個或兩個對應(yīng)相等，那么這兩個三角形不一定全等。②有兩邊和其中一邊的對角對應(yīng)相等的兩個三角形不一定全等。③有三個內(nèi)角分別對應(yīng)相等的兩個三角形不一定全等。二.角平分線知識講解(1)已知/AOB，求作(1)已知/AOB，求作NAOB的角平分線:①以O(shè)為圓心，適當(dāng)長為半徑畫弧，交OA于M，交OB于N?！?…一1②分別以M,N為圓心，以大于一MN長為半徑作弧，在NAOB的內(nèi)部兩2弧交于點(diǎn)C。③過O、C兩點(diǎn)作射線OC,射線OC就是所求角的角平分線。.角平分線的性質(zhì)及判定(1)角平分線的性質(zhì)：角的平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等。

（2）角平分線的判定：角的內(nèi)部到角的兩邊的距離相等的點(diǎn)在角的角平分線上。.三角形的角平分線的性質(zhì)（1）三角形的三個內(nèi)角角平分線交于一點(diǎn)，這點(diǎn)到三邊的距離相等。（2）三角形兩個外角的角平分線也交于一點(diǎn)，這點(diǎn)到三邊所在的直線的距離相等。（3）三角形外角平分線交點(diǎn)共有三個，所以到三角形三邊所在直線距離相等的點(diǎn)有4個。4、要點(diǎn)補(bǔ)充要點(diǎn)1角平分線是一種對稱模型，一般情況下，有下列三種作輔助線的方式:.由角平分線上的一點(diǎn)向角的兩邊作垂線；.過角平分線上的一點(diǎn)作角平分線的垂線，從而形成等腰三角形；.截取04=OB，這種對稱的圖形應(yīng)用得也較為普遍。BB三、典型例題：【例題1】圖中是大小相等的兩個矩形，請你判斷出哪一個陰影部分的面積較大（）BB.乙圖的陰影面積大D.以上都不對4甲圖的陰影面積大C.甲、乙圖的陰影面積相等【變式1】如圖所示，A4BC/△AEF,AB=AE,ZB=NE,在下列結(jié)論中，不正確的是（ ）

ZEAB=ZZEAB=ZFACBC=EFZBAC=ZCAFZAFE=ZACB【例題2】OC是ZAOB的平分線，P是OC上一點(diǎn)，PD±OA，垂足為點(diǎn)D，PE±OB，垂足為點(diǎn)E,點(diǎn)M，N分別在線段OD和射線EB上，PM=PN,ZAOB=68°,求ZMPN的度數(shù).數(shù).【變式1】尺規(guī)作圖作ZAOB的平分線方法如下：以O(shè)為圓心，任意長為半徑畫弧交OA,一…一，，一，一1 OB于C,D，再分別以點(diǎn)C,D為圓心，以大于—CD長為半徑畫弧，兩弧交于點(diǎn)P，作射2線OP由作法得4OCP/△ODP的根據(jù)是（ ）A.SSSB.ASAC.SASD.AAS【變式2】如圖，某同學(xué)把一塊三角形的玻璃打碎成了三塊，現(xiàn)在要到玻璃店去配一塊完全【變式3】如圖，在"BC和^ADE中，AB=AC,AD=AE,ZBAC=ZDAE，求證："BDSACE.

【例題3】如圖所示，將一長方形紙片ABCD折疊，使點(diǎn)C與點(diǎn)A重合，點(diǎn)D落在點(diǎn)E處，折痕為MN,圖中有全等三角形嗎？若有，請找出并證明.【變式】如圖，在△ABC中，/ACB=90°,AC=BC,BE±CE于點(diǎn)E.AD±CE于點(diǎn)D.B【例題4】為了加快災(zāi)后重建的步伐，我市某鎮(zhèn)要在三條公路圍成的一塊平地上修建一個砂石場，如圖，要使這個砂石場到三條公路的距離相等，則可供選擇的地址（ ）A.僅有一處 B.僅有四處 C.僅有七處 D.僅有三處【例題5】如圖，^ABC中，AB=AC,NBAC=90°,點(diǎn)D是直線AB上的一動點(diǎn)(不和A、B重合)，BELCD于E,交直線AC于F.(1)點(diǎn)D在邊AB上時，證明:AB=FA+BD；⑵點(diǎn)D在AB的延長線或反向延長線上時，(1)中的結(jié)論是否成立？若不成立，請畫出圖形并直接寫出正確結(jié)論.【例題6】在^ABC中，AB=AC,以BC為邊作等邊△BD