2022年全國統(tǒng)一高考沖刺新課標(biāo)Ⅲ數(shù)學(xué)沖刺（理科）

2020年全國統(tǒng)一高考新課標(biāo)Ⅲ數(shù)學(xué)試卷（理科）一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1．（5分）已知集合，，，，則中元素的個數(shù)為A．2 B．3 C．4 D．62．（5分）復(fù)數(shù)的虛部是A． B． C． D．3．（5分）在一組樣本數(shù)據(jù)中，1，2，3，4出現(xiàn)的頻率分別為，，，，且，則下面四種情形中，對應(yīng)樣本的標(biāo)準(zhǔn)差最大的一組是A．， B．， C．， D．，4．（5分）模型是常用數(shù)學(xué)模型之一，可應(yīng)用于流行病學(xué)領(lǐng)域．有學(xué)者根據(jù)公布數(shù)據(jù)建立了某地區(qū)新冠肺炎累計確診病例數(shù)的單位：天）的模型：，其中為最大確診病例數(shù)．當(dāng)時，標(biāo)志著已初步遏制疫情，則約為A．60 B．63 C．66 D．695．（5分）設(shè)為坐標(biāo)原點，直線與拋物線交于，兩點，若，則的焦點坐標(biāo)為A．， B．， C． D．6．（5分）已知向量，滿足，，，則，A． B． C． D．7．（5分）在中，，，，則A． B． C． D．8．（5分）如圖為某幾何體的三視圖，則該幾何體的表面積是A． B． C． D．9．（5分）已知，則A． B． C．1 D．210．（5分）若直線與曲線和圓都相切，則的方程為A． B． C． D．11．（5分）設(shè)雙曲線的左、右焦點分別為，，離心率為．是上一點，且．若△的面積為4，則A．1 B．2 C．4 D．812．（5分）已知，．設(shè)，，，則A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13．（5分）若，滿足約束條件則的最大值為．14．（5分）的展開式中常數(shù)項是（用數(shù)字作答）．15．（5分）已知圓錐的底面半徑為1，母線長為3，則該圓錐內(nèi)半徑最大的球的體積為．16．（5分）關(guān)于函數(shù)有如下四個命題：①的圖象關(guān)于軸對稱．②的圖象關(guān)于原點對稱．③的圖象關(guān)于直線對稱．④的最小值為2．其中所有真命題的序號是．三、解答題：共70分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．第17～21題為必考題，每個試題考生都必須作答．第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答．（一）必考題：共60分．17．（12分）設(shè)數(shù)列滿足，．（1）計算，，猜想的通項公式并加以證明；（2）求數(shù)列的前項和．18．（12分）某學(xué)生興趣小組隨機調(diào)查了某市100天中每天的空氣質(zhì)量等級和當(dāng)天到某公園鍛煉的人次，整理數(shù)據(jù)得到下表（單位：天）鍛煉人次空氣質(zhì)量等級，，，1（優(yōu)216252（良510123（輕度污染）6784（中度污染）720（1）分別估計該市一天的空氣質(zhì)量等級為1，2，3，4的概率；（2）求一天中到該公園鍛煉的平均人次的估計值（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值為代表）；（3）若某天的空氣質(zhì)量等級為1或2，則稱這天“空氣質(zhì)量好”；若某天的空氣質(zhì)量等級為3或4，則稱這天“空氣質(zhì)量不好”．根據(jù)所給數(shù)據(jù)，完成下面的列聯(lián)表，并根據(jù)列聯(lián)表，判斷是否有的把握認為一天中到該公園鍛煉的人次與該市當(dāng)天的空氣質(zhì)量有關(guān)？人次人次空氣質(zhì)量好空氣質(zhì)量不好附：19．（12分）如圖，在長方體中，點，分別在棱，上，且，．（1）證明：點在平面內(nèi)；（2）若，，，求二面角的正弦值．20．（12分）已知橢圓的離心率為，，分別為的左、右頂點．（1）求的方程；（2）若點在上，點在直線上，且，，求的面積．21．（12分）設(shè)函數(shù)，曲線在點，處的切線與軸垂直．（1）求；（2）若有一個絕對值不大于1的零點，證明：所有零點的絕對值都不大于1．（二）選考題：共10分．請考生在第22、23題中任選一題作答．如果多做，則按所做的第一題計分．[選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程]（10分）22．（10分）在直角坐標(biāo)系中，曲線的參數(shù)方程為為參數(shù)且，與坐標(biāo)軸交于，兩點．（1）求；（2）以坐標(biāo)原點為極點，軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，求直線的極坐標(biāo)方程．[選修4-5：不等式選講]（10分）23．設(shè)，，，，．（1）證明：；（2）用，，表示，，的最大值，證明：，，．

2020年全國統(tǒng)一高考新課標(biāo)Ⅲ數(shù)學(xué)試卷（理科）參考答案與解析一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1．（5分）已知集合，，，，則中元素的個數(shù)為A．2 B．3 C．4 D．6【分析】利用交集定義求出，，，．由此能求出中元素的個數(shù)．【解答】解：集合，，，，，，，，．中元素的個數(shù)為4．故選：．2．（5分）復(fù)數(shù)的虛部是A． B． C． D．【分析】直接利用復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運算化簡得答案．【解答】解：，復(fù)數(shù)的虛部是．故選：．3．（5分）在一組樣本數(shù)據(jù)中，1，2，3，4出現(xiàn)的頻率分別為，，，，且，則下面四種情形中，對應(yīng)樣本的標(biāo)準(zhǔn)差最大的一組是A．， B．， C．， D．，【分析】根據(jù)題意，求出各組數(shù)據(jù)的方差，方差大的對應(yīng)的標(biāo)準(zhǔn)差也大．【解答】解：選項，所以；同理選項，；選項，；選項，；故選：．4．（5分）模型是常用數(shù)學(xué)模型之一，可應(yīng)用于流行病學(xué)領(lǐng)域．有學(xué)者根據(jù)公布數(shù)據(jù)建立了某地區(qū)新冠肺炎累計確診病例數(shù)的單位：天）的模型：，其中為最大確診病例數(shù)．當(dāng)時，標(biāo)志著已初步遏制疫情，則約為A．60 B．63 C．66 D．69【分析】根據(jù)所給材料的公式列出方程，解出即可．【解答】解：由已知可得，解得，兩邊取對數(shù)有，解得，故選：．5．（5分）設(shè)為坐標(biāo)原點，直線與拋物線交于，兩點，若，則的焦點坐標(biāo)為A．， B．， C． D．【分析】法一：利用已知條件轉(zhuǎn)化求解、坐標(biāo)，通過，求解拋物線方程，即可得到拋物線的焦點坐標(biāo)．法二：畫出圖形，求出的坐標(biāo)，代入拋物線方程，然后求解即可．【解答】解：法一：將代入拋物線，可得，，可得，即，解得，所以拋物線方程為：，它的焦點坐標(biāo)，．故選：．法二：易知，，可得，代入拋物線方程，可得，解得，故選：．6．（5分）已知向量，滿足，，，則，A． B． C． D．【分析】利用已知條件求出，然后利用向量的數(shù)量積求解即可．【解答】解：向量，滿足，，，可得，，．故選：．7．（5分）在中，，，，則A． B． C． D．【分析】先根據(jù)余弦定理求出，再代入余弦定理求出結(jié)論．【解答】解：在中，，，，由余弦定理可得；故；，故選：．8．（5分）如圖為某幾何體的三視圖，則該幾何體的表面積是A． B． C． D．【分析】先由三視圖畫出幾何體的直觀圖，利用三視圖的數(shù)據(jù)，利用三棱錐的表面積公式計算即可．【解答】解：由三視圖可知，幾何體的直觀圖是正方體的一個角，如圖：，、、兩兩垂直，故，幾何體的表面積為：，故選：．9．（5分）已知，則A． B． C．1 D．2【分析】利用兩角和差的正切公式進行展開化簡，結(jié)合一元二次方程的解法進行求解即可．【解答】解：由，得，即，得，即，即，則，故選：．10．（5分）若直線與曲線和圓都相切，則的方程為A． B． C． D．【分析】根據(jù)直線與圓相切，利用選項到圓心的距離等于半徑，在將直線與曲線求一解可得答案；【解答】解：直線與圓相切，那么圓心到直線的距離等于半徑，四個選項中，只有，滿足題意；對于選項：與聯(lián)立可得：，此時：無解；對于選項：與聯(lián)立可得：，此時解得；直線與曲線和圓都相切，方程為，故選：．11．（5分）設(shè)雙曲線的左、右焦點分別為，，離心率為．是上一點，且．若△的面積為4，則A．1 B．2 C．4 D．8【分析】利用雙曲線的定義，三角形的面積以及雙曲線的離心率，轉(zhuǎn)化求解即可．【解答】解：由題意，設(shè)，，可得，，，，可得，可得，解得．故選：．12．（5分）已知，．設(shè)，，，則A． B． C． D．【分析】根據(jù)，可得，然后由和，得到，再確定，，的大小關(guān)系．【解答】解：，；，，，；，，，，綜上，．故選：．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13．（5分）若，滿足約束條件則的最大值為7．【分析】先根據(jù)約束條件畫出可行域，再利用幾何意義求最值，表示直線在軸上的截距的一半，只需求出可行域內(nèi)直線在軸上的截距最大值即可．【解答】解：先根據(jù)約束條件畫出可行域，由解得，如圖，當(dāng)直線過點時，目標(biāo)函數(shù)在軸上的截距取得最大值時，此時取得最大值，即當(dāng)，時，．故答案為：7．14．（5分）的展開式中常數(shù)項是240（用數(shù)字作答）．【分析】先求出二項式展開式的通項公式，再令的冪指數(shù)等于0，求得的值，即可求得展開式中的常數(shù)項的值．【解答】解：由于的展開式的通項公式為，令，求得，故常數(shù)項的值等于，故答案為：240．15．（5分）已知圓錐的底面半徑為1，母線長為3，則該圓錐內(nèi)半徑最大的球的體積為．【分析】易知圓錐內(nèi)半徑最大的球應(yīng)為圓錐的內(nèi)切球，作圖，求得出該內(nèi)切球的半徑即可求出球的體積．【解答】解：因為圓錐內(nèi)半徑最大的球應(yīng)該為該圓錐的內(nèi)切球，如圖，圓錐母線，底面半徑，則其高，不妨設(shè)該內(nèi)切球與母線切于點，令，由，則，即，解得，，故答案為：．16．（5分）關(guān)于函數(shù)有如下四個命題：①的圖象關(guān)于軸對稱．②的圖象關(guān)于原點對稱．③的圖象關(guān)于直線對稱．④的最小值為2．其中所有真命題的序號是②③．【分析】根據(jù)函數(shù)奇偶性的定義，對稱性的判定，對稱軸的求法，逐一判斷即可．【解答】解：對于①，由可得函數(shù)的定義域為，，故定義域關(guān)于原點對稱，由；所以該函數(shù)為奇函數(shù)，關(guān)于原點對稱，所以①錯②對；對于③，由，所以該函數(shù)關(guān)于對稱，③對；對于④，令，則，，，由雙勾函數(shù)的性質(zhì)，可知，，，，所以無最小值，④錯；故答案為：②③．三、解答題：共70分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．第17～21題為必考題，每個試題考生都必須作答．第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答．（一）必考題：共60分．17．（12分）設(shè)數(shù)列滿足，．（1）計算，，猜想的通項公式并加以證明；（2）求數(shù)列的前項和．【分析】（1）法一利用數(shù)列的遞推關(guān)系式求出，，猜想的通項公式，然后利用數(shù)學(xué)歸納法證明即可．法二：利用數(shù)列的遞推關(guān)系式，轉(zhuǎn)化求解即可．（2）化簡數(shù)列的通項公式，利用錯位相減法求解數(shù)列的前項和．【解答】解：（1）法一：數(shù)列滿足，，則，，，猜想的通項公式為．證明如下：當(dāng)，2，3時，顯然成立，假設(shè)時，成立，當(dāng)時，，故時成立，由知，，猜想成立，所以的通項公式．法二：數(shù)列滿足，，則，，，猜想的通項公式為．證明：設(shè)，可得，，解得，，（不能說明是等比數(shù)列），，并且，所以恒成立．所以．（2）令，則數(shù)列的前項和，①兩邊同乘2得，，②①②得，，所以．18．（12分）某學(xué)生興趣小組隨機調(diào)查了某市100天中每天的空氣質(zhì)量等級和當(dāng)天到某公園鍛煉的人次，整理數(shù)據(jù)得到下表（單位：天）鍛煉人次空氣質(zhì)量等級，，，1（優(yōu)216252（良510123（輕度污染）6784（中度污染）720（1）分別估計該市一天的空氣質(zhì)量等級為1，2，3，4的概率；（2）求一天中到該公園鍛煉的平均人次的估計值（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值為代表）；（3）若某天的空氣質(zhì)量等級為1或2，則稱這天“空氣質(zhì)量好”；若某天的空氣質(zhì)量等級為3或4，則稱這天“空氣質(zhì)量不好”．根據(jù)所給數(shù)據(jù)，完成下面的列聯(lián)表，并根據(jù)列聯(lián)表，判斷是否有的把握認為一天中到該公園鍛煉的人次與該市當(dāng)天的空氣質(zhì)量有關(guān)？人次人次空氣質(zhì)量好空氣質(zhì)量不好附：【分析】（1）用頻率估計概率，從而得到估計該市一天的空氣質(zhì)量等級為1，2，3，4的概率；（2）采用頻率分布直方圖估計樣本平均值的方法可得得答案；（3）由公式計算的值，從而查表即可，【解答】解：（1）該市一天的空氣質(zhì)量等級為1的概率為：；該市一天的空氣質(zhì)量等級為2的概率為：；該市一天的空氣質(zhì)量等級為3的概率為：；該市一天的空氣質(zhì)量等級為4的概率為：；（2）由題意可得：一天中到該公園鍛煉的平均人次的估計值為：；（3）根據(jù)所給數(shù)據(jù)，可得下面的列聯(lián)表，人次人次總計空氣質(zhì)量好333770空氣質(zhì)量不好22830總計5545100由表中數(shù)據(jù)可得：，所以有的把握認為一天中到該公園鍛煉的人次與該市當(dāng)天的空氣質(zhì)量有關(guān)．19．（12分）如圖，在長方體中，點，分別在棱，上，且，．（1）證明：點在平面內(nèi)；（2）若，，，求二面角的正弦值．【分析】（1）在上取點，使得，連接，，，，由已知證明四邊形和四邊形都是平行四邊形，可得，且，，且，進一步證明四邊形為平行四邊形，得到，且，結(jié)合，且，可得，且，則四邊形為平行四邊形，從而得到點在平面內(nèi)；（2）在長方體中，以為坐標(biāo)原點，分別以，，所在直線為，，軸建立空間直角坐標(biāo)系．分別求出平面的一個法向量與平面的一個法向量，由兩法向量所成角的余弦值可得二面角的余弦值，再由同角三角函數(shù)基本關(guān)系式求得二面角的正弦值．【解答】（1）證明：在上取點，使得，連接，，，，在長方體中，有，且．又，，，．四邊形和四邊形都是平行四邊形．，且，，且．又在長方體中，有，且，且，則四邊形為平行四邊形，，且，又，且，，且，則四邊形為平行四邊形，點在平面內(nèi)；（2）解：在長方體中，以為坐標(biāo)原點，分別以，，所在直線為，，軸建立空間直角坐標(biāo)系．，，，，，，1，，，0，，，1，，，1，，則，，．設(shè)平面的一個法向量為．則，取，得；設(shè)平面的一個法向量為．則，取，得．．設(shè)二面角為，則．二面角的正弦值為．20．（12分）已知橢圓的離心率為，，分別為的左、右頂點．（1）求的方程；（2）若點在上，點在直線上，且，，求的面積．【分析】（1）根據(jù)，，，代入計算的值，求出的方程即可；（2）法一：設(shè)出，的坐標(biāo)，得到關(guān)于，，的方程組，求出，，從而求出的面積．法二：畫出橢圓的圖象，求出點坐標(biāo)，結(jié)合圖象求出的面積即可．【解答】解：（1）由得，即，，故的方程是：；（2）代數(shù)方法：由（1），設(shè)，點，根據(jù)對稱性，只需考慮的情況，此時，，，有①，又，②，又③，聯(lián)立①②③得或，當(dāng)時，則，，而，則（法一），，，同理可得當(dāng)時，，綜上，的面積是．法二：，，直線的方程為：，點到直線的距離，而，．?dāng)?shù)形結(jié)合方法：如圖示：①當(dāng)點在軸左側(cè)時，過點作，直線和軸交于點，易知，，故時，，解得：，舍），故，易得，，故，②當(dāng)點在軸右側(cè)時，同理可得，即，，，故，綜上，的面積是．21．（12分）設(shè)函數(shù)，曲線在點，處的切線與軸垂直．（1）求；（2）若有一個絕對值不大于1的零點，證明：所有零點的絕對值都不大于1．【分析】（1）求出原函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，由題意可得，由此