2022年高考沖刺文科數(shù)學(xué)(湖南卷)

2013年普通高等學(xué)校夏季招生全國(guó)統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)文史類(湖南卷)一、選擇題：本大題共9小題，每小題5分，共45分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1．(2013湖南，文1)復(fù)數(shù)z＝i·(1＋i)(i為虛數(shù)單位)在復(fù)平面上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于()．A．第一象限B．第二象限C．第三象限D(zhuǎn)．第四象限答案：B解析：z＝i·(1＋i)＝i－1＝－1＋i，故選B．2．(2013湖南，文2)“1＜x＜2”是“x＜2”成立的()．A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充分必要條件D．既不充分也不必要條件答案：A解析：∵“1＜x＜2”能推出“x＜2”成立，但“x＜2”不能推出“1＜x＜2”成立，故選A．3．(2013湖南，文3)某工廠甲、乙、丙三個(gè)車間生產(chǎn)了同一種產(chǎn)品，數(shù)量分別為120件，80件，60件．為了解它們的產(chǎn)品質(zhì)量是否存在顯著差異，用分層抽樣方法抽取了一個(gè)容量為n的樣本進(jìn)行調(diào)查，其中從丙車間的產(chǎn)品中抽取了3件，則n＝()．A．9B．10C．12D．答案：D解析：抽樣比為，所以甲抽取6件，乙抽取4件，丙抽取3件，∴n＝13，故選D．4．(2013湖南，文4)已知f(x)是奇函數(shù)，g(x)是偶函數(shù)，且f(－1)＋g(1)＝2，f(1)＋g(－1)＝4，則g(1)等于()．A．4B．3C．2D．答案：B解析：∵f(x)是奇函數(shù)，g(x)是偶函數(shù)，∴f(－1)＋g(1)＝2，即－f(1)＋g(1)＝2.①f(1)＋g(－1)＝4，即f(1)＋g(1)＝4.②由①＋②得g(1)＝3，故選B．5．(2013湖南，文5)在銳角△ABC中，角A，B所對(duì)的邊長(zhǎng)分別為a，b.若2asinB＝b，則角A等于()．A．B．C．D．答案：A解析：∵2asinB＝b，∴2sinAsinB＝sinB．∵sinB≠0，∴sinA＝.∵A∈，∴A＝.故選A．6．(2013湖南，文6)函數(shù)f(x)＝lnx的圖象與函數(shù)g(x)＝x2－4x＋4的圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)為()．A．0B．1C．2D．6．答案：C解析：利用圖象知，有兩個(gè)交點(diǎn)．故選C．7．(2013湖南，文7)已知正方體的棱長(zhǎng)為1，其俯視圖是一個(gè)面積為1的正方形，側(cè)視圖是一個(gè)面積為的矩形，則該正方體的正視圖的面積等于()．A．B．1C．D．答案：D解析：如圖所示，正方體ABCD－A1B1C1D1的俯視圖為ABCD，側(cè)視圖為BB1D1D，此時(shí)滿足其面積為，故該正方體的正視圖應(yīng)為AA1C1C．又因AC＝，故其面積為.8．(2013湖南，文8)已知a，b是單位向量，a·b＝0.若向量c滿足|c－a－b|＝1，則|c|的最大值為()．A．B．C．D．答案：C解析：可利用特殊值法求解．可令a＝(1,0)，b＝(0,1)，c＝(x，y)．由|c－a－b|＝1，得，∴(x－1)2＋(y－1)2＝1.|c|即為，可看成M上的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離，∴|c|max＝|OM|＋1＝.故選C．9．(2013湖南，文9)已知事件“在矩形ABCD的邊CD上隨機(jī)取一點(diǎn)P，使△APB的最大邊是AB”發(fā)生的概率為，則＝()．A．B．C．D．答案：D解析：如圖，設(shè)AB＝2x，AD＝2y.由于AB為最大邊的概率是，則P在EF上運(yùn)動(dòng)滿足條件，且DE＝CF＝x，即AB＝EB或AB＝FA．∴，即4x2＝4y2＋x2，即x2＝4y2，∴.∴.又∵，故選D．二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分．10．(2013湖南，文10)已知集合U＝{2,3,6,8}，A＝{2,3}，B＝{2,6,8}，則(UA)∩B＝__________.答案：{6,8}11．(2013湖南，文11)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，若直線l1：(s為參數(shù))和直線l2：(t為參數(shù))平行，則常數(shù)a的值為__________．答案：4解析：l1的普通方程為：x＝2y＋1，l2的普通方程為：x＝a·，即，∴a＝4.12．(2013湖南，文12)執(zhí)行如圖所示的程序框圖，如果輸入a＝1，b＝2，則輸出的a的值為__________．答案：9解析：輸入a＝1，b＝2，不滿足a＞8，故a＝3；a＝3不滿足a＞8，故a＝5；a＝5不滿足a＞8，故a＝7；a＝7不滿足a＞8，故a＝9，滿足a＞8，終止循環(huán)．輸出a＝9.13．(2013湖南，文13)若變量x，y滿足約束條件則x＋y的最大值為__________．答案：6解析：畫出可行域，令z＝x＋y，易知z在A(4,2)處取得最大值6.14．(2013湖南，文14)設(shè)F1，F(xiàn)2是雙曲線C：(a＞0，b＞0)的兩個(gè)焦點(diǎn)．若在C上存在一點(diǎn)P，使PF1⊥PF2，且∠PF1F2＝30°，則C的離心率為__________．答案：解析：如圖所示，∵PF1⊥PF2，∠PF1F2＝30°，可得|PF2|＝c.由雙曲線定義知，|PF1|＝2a＋c由|F1F2|2＝|PF1|2＋|PF2|24c2＝(2a＋c)2＋c2，即2c2－4ac即e2－2e－2＝0，∴，∴.15．(2013湖南，文15)對(duì)于E＝{a1，a2，…，a100}的子集X＝{，，…，}，定義X的“特征數(shù)列”為x1，x2，…，x100，其中xi1＝xi2＝…＝xik＝1，其余項(xiàng)均為0.例如：子集{a2，a3}的“特征數(shù)列”為0,1,1,0,0，…，0.(1)子集{a1，a3，a5}的“特征數(shù)列”的前3項(xiàng)和等于__________；(2)若E的子集P的“特征數(shù)列”p1，p2，…，p100滿足p1＝1，pi＋pi＋1＝1,1≤i≤99；E的子集Q的“特征數(shù)列”q1，q2，…，q100滿足q1＝1，qj＋qj＋1＋qj＋2＝1,1≤j≤98，則P∩Q的元素個(gè)數(shù)為__________．答案：(1)2(2)17解析：(1){a1，a3，a5}的特征數(shù)列為1,0,1,0,1,0，…，0，∴前3項(xiàng)和為2.(2)根據(jù)題意知，P的特征數(shù)列為1,0,1,0,1，0，…，則P＝{a1，a3，a5，…，a99}有50個(gè)元素，Q的特征數(shù)列為1,0,0,1,0,0,1，…，則Q＝{a1，a4，a7，a10，…，a100}有34個(gè)元素，∴P∩Q＝{a1，a7，a13，…，a97}，共有1＋＝17個(gè)．三、解答題：本大題共6小題，共75分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．16．(2013湖南，文16)(本小題滿分12分)已知函數(shù)f(x)＝cosx·.(1)求的值；(2)求使f(x)＜成立的x的取值集合．答案：（1）；（2）解析：(1)＝＝.(2)f(x)＝cosx·＝cosx·＝cos2x＋sinxcosx＝(1＋cos2x)＋sin2x＝.f(x)＜等價(jià)于，即.于是2kπ＋＜2x－＜2kπ＋，k∈Z.解得kπ＋＜x＜kπ＋，k∈Z.故使f(x)＜成立的x的取值集合為.17．(2013湖南，文17)(本小題滿分12分)如圖，在直棱柱ABC－A1B1C1中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝，AA1＝3，D是BC的中點(diǎn)，點(diǎn)E在棱BB1上運(yùn)動(dòng)．(1)證明：AD⊥C1E；(2)當(dāng)異面直線AC，C1E所成的角為60°時(shí)，求三棱錐C1－A1B1E的體積．答案：（1）略；（2）解析：(1)證明：因?yàn)锳B＝AC，D是BC的中點(diǎn)，所以AD⊥BC．①又在直三棱柱ABC－A1B1C1中，BB1⊥平面ABC，而AD平面ABC，所以AD⊥BB1.②由①，②得AD⊥平面BB1C由點(diǎn)E在棱BB1上運(yùn)動(dòng)，得C1E平面BB1C1C，所以AD⊥C1(2)解：因?yàn)锳C∥A1C1，所以∠A1C1E是異面直線AC，C1E所成的角，由題設(shè)，∠A1C因?yàn)椤螧1A1C1＝∠BAC＝90°，所以A1C1⊥A1B1，又AA1⊥A1C1⊥平面A1ABB1，于是A1C1⊥A1故C1E＝，又B1C1＝＝2，所以B1E＝＝2，從而＝×A1C1＝.18．(2013湖南，文18)(本小題滿分12分)某人在如圖所示的直角邊長(zhǎng)為4米的三角形地塊的每個(gè)格點(diǎn)(指縱、橫直線的交叉點(diǎn)以及三角形的頂點(diǎn))處都種了一株相同品種的作物．根據(jù)歷年的種植經(jīng)驗(yàn)，一株該種作物的年收獲量Y(單位：kg)與它的“相近”作物株數(shù)X之間的關(guān)系如下表所示X1234Y51484542這里，兩株作物“相近”是指它們之間的直線距離不超過1米．(1)完成下表，并求所種作物的平均年收獲量；Y51484542頻數(shù)4(2)在所種作物中隨機(jī)選取一株，求它的年收獲量至少為48kg的概率．答案：（1）Y51484542頻數(shù)2463（2）解析：(1)所種作物的總株數(shù)為1＋2＋3＋4＋5＝15，其中“相近”作物株數(shù)為1的作物有2株，“相近”作物株數(shù)為2的作物有4株，“相近”作物株數(shù)為3的作物有6株，“相近”作物株數(shù)為4的作物有3株．列表如下：Y51484542頻數(shù)2463所種作物的平均年收獲量為＝＝＝46.(2)由(1)知，P(Y＝51)＝，P(Y＝48)＝.故在所種作物中隨機(jī)選取一株，它的年收獲量至少為48kg的概率為P(Y≥48)＝P(Y＝51)＋P(Y＝48)＝.19．(2013湖南，文19)(本小題滿分13分)設(shè)Sn為數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，已知a1≠0,2an－a1＝S1·Sn，n∈N*.(1)求a1，a2，并求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；(2)求數(shù)列{nan}的前n項(xiàng)和．答案：（1）an＝2n－1；（2）1＋(n－1)·2n解析：(1)令n＝1，得2a1－a1＝a12，即a1＝a12因?yàn)閍1≠0，所以a1＝1.令n＝2，得2a2－1＝S2＝1＋a2解得a2＝2.當(dāng)n≥2時(shí)，由2an－1＝Sn,2an－1－1＝Sn－1兩式相減得2an－2an－1＝an.即an＝2an－1.于是數(shù)列{an}是首項(xiàng)為1，公比為2的等比數(shù)列．因此，an＝2n－1.所以數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an＝2n－1.(2)由(1)知，nan＝n·2n－1.記數(shù)列{n·2n－1}的前n項(xiàng)和為Bn，于是Bn＝1＋2×2＋3×22＋…＋n×2n－1，①2Bn＝1×2＋2×22＋3×23＋…＋n×2n.②①－②得－Bn＝1＋2＋22＋…＋2n－1－n·2n＝2n－1－n·2n.從而Bn＝1＋(n－1)·2n.

20．(2013湖南，文20)(本小題滿分13分)已知F1，F(xiàn)2分別是橢圓E：＋y2＝1的左、右焦點(diǎn)，F(xiàn)1，F(xiàn)2關(guān)于直線x＋y－2＝0的對(duì)稱點(diǎn)是圓C的一條直徑的兩個(gè)端點(diǎn)．(1)求圓C的方程；(2)設(shè)過點(diǎn)F2的直線l被橢圓E和圓C所截得的弦長(zhǎng)分別為a，b，當(dāng)ab最大時(shí)，求直線l的方程．答案：（1）(x－2)2＋(y－2)2＝4；（2）x－y－2＝0，或x＋y－2＝0.解析：(1)由題設(shè)知，F(xiàn)1，F(xiàn)2的坐標(biāo)分別為(－2,0)，(2,0)，圓C的半徑為2，圓心為原點(diǎn)O關(guān)于直線x＋y－2＝0的對(duì)稱點(diǎn)．設(shè)圓心的坐標(biāo)為(x0，y0)，由解得所以圓C的方程為(x－2)2＋(y－2)2＝4.(2)由題意，可設(shè)直線l的方程為x＝my＋2，則圓心到直線l的距離.所以.由得(m2＋5)y2＋4my－1＝0.設(shè)l與E的兩個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)分別為(x1，y1)，(x2，y2)，則y1＋y2＝，y1y2＝.于是＝＝＝＝.從而ab＝＝≤.當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立．故當(dāng)m＝±eq\r(3)時(shí)，ab最大，此時(shí)，直線l的方程為x＝y(tǒng)＋2或x＝y(tǒng)＋2，即x－y－2＝0，或x＋y－2＝0.21．(2013湖南，文21)(本小題滿分13分)已知函數(shù)f(x)＝ex.(1)求f(x)的單調(diào)區(qū)間；(2)證明：當(dāng)f(x1)＝f(x2)(x1≠x2)時(shí)，x1＋x2＜0.答案：（1）f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(－∞，0)，單調(diào)遞減區(qū)間為