(完整word版)常微分方程學(xué)習(xí)活動3第一章初等積分法的綜合練習(xí)(word文檔良心出品)

xyyxtan—y(1)解顯然x 0是方程的解當(dāng)x0時,原方程可化為dy

dxy22xy2

xy, 則原方程可化為xduux——dx2u,duu2dx易于看出,(1)解顯然x 0是方程的解當(dāng)x0時,原方程可化為dy

dxy22xy2

xy, 則原方程可化為xduux——dx2u,duu2dx易于看出,1是上面方程的解，從而yxy 0是原方程的解.當(dāng)uu20時,分離變量得，du-2uudx兩端積分得lnuIlnCx(C0)將u換成y,便得到原方程的解xCyx(xy)，(C0).故原方程的通解為Cyx(xy)(C為任意常數(shù))及y0.(2)解顯然y0是方程的解.TOC\o"1-5"\h\z當(dāng)y0時，原方程可化為5"tan——.令u—,則原方程可化為dxx x xdu du tanuux——tanuu,即—— -\o"CurrentDocument"dx dxx易于看出， u0是上式的解，從而y0是原方程的解.當(dāng)u0時，分離變量得，-du-dx.兩端積分得lnsinu lnC1x(Ci0).tanuxCx.將u換成丫， 便得到原方程的解 sin-yCx(C0).故原方程的通解為 Cx.x x x.解下列一階線性微分方程：xy2y2x4yytanxsecx(1)解先解齊次方程x立2y.其通解為yCx2.dx用常數(shù)變易法， 令非齊次方程通解為 yC(x)x2.代入原方程，化簡后可得C(x)2x..積分得到C(x)x2C.代回后即得原方程通解為yCx2x4.

(2)解先解齊次方程包ytanx.其通解為yCcosx.dx用常數(shù)變易法， 令非齊次方程通解為 yC(x)cosx.代入原方程，代入原方程，化簡后可得C(x)12-cosx積分得到積分得到C(x)tanxC.代回后即得原方程通解為ysinx代回后即得原方程通解為ysinxCcosx.5.解下列伯努利方程5.解下列伯努利方程(1)y2xyxy4 0⑵dyyy2(cosxsinx)⑵dyyy2(cosxsinx)(1)解顯然y 0是方程解.當(dāng)y0時，兩端同除1dy2x 1dy2x Y43xydxy0.令z4,

y代入有dz3dx2xz0,它的解為z1 Ce3x22于是原方程的解為Ce3x2y0.(2)解顯然y令z4,

y代入有dz3dx2xz0,它的解為z1 Ce3x22于是原方程的解為Ce3x2y0.(2)解顯然y0是方程解0時,兩端同除代入有它的解為Cexdxy(cosxsinx)0.dzdxsinx(cosxsinx)、一，八1于是原方程的解、一，八1于是原方程的解1yCexsinx及y0.:6.解下列全微分方程:(1)e6.解下列全微分方程:(1)eydx(2yxey)dy0⑵(1y2sin2x)dxycos2xdy0(1)解因為衛(wèi)ey⑵(1y2sin2x)dxycos2xdy0(1)解因為衛(wèi)ey —N,所以這方程是全微分方程y xM(x,y)及N(x,y)在整個xOy平面都連續(xù)可微不妨選?。?0,y0 0.故方程的通積分為xy.eydx00y2ydyC,M(x,y)及N(x,y)在即xeyy2CM(x,y)及N(x,y)在(2)解因為—2ysin2x―,所以這方程是全微分方程y x整個xOy平面都連續(xù)可微， 不妨選取x00,y00. 故方程的通積分為X 2 y0(1y)dx0ydyC即2xy2cos2xC.7.求下列方程的積分因子和積分：(x2 y2x)dxxydy0(x4 y4)dxxy3dy0M Nv x 1(1)解因為一-,與y無關(guān)，故原方程存在只含x的積分因子.1dx由公式(1.58)得積分因子 (x)ex,即(x)x,于是方程(x2y2x)dxxydy0為全微分方程.取x00,y00.于是方程的通積分x2 2 4 3 22為0x(xyx)dx0.即3x4x6xyC.(2)解因為」——-N(2)解因為」——-N-,與y無關(guān)， 故原方程存在只含 x的積分因子.解方程x由公式(1.由公式(1.58)得積分因子5-dx 1(x)ex即(x)二,， xTOC\o"1-5"\h\z1 y于是方程 —(xy)dx—4dy0為全效分方程.取x01,y00.于是通積分為\o"CurrentDocument"x xx1 4 4 y3_n4 4 _4—(xy)dxydyC1.即y4xIn|x|Cx.'x8.求解下列一階隱式微分方程一 2 2 22(1)y(2yy)ysinx(2)y22yy y2(ex1)(1)解將方程改寫為 y22yyy2(1cos2x)即y22yyy2y2cos2x^(y'y)2y2cos2x解y'yycosx得通積分為：InCyxsinx,又y0是常數(shù)解.(2)解y0顯然是方程的解.當(dāng)y0時，方程可變?yōu)?―)22(—)ex1,令—u,yy y則上面的式子可變?yōu)閡22uex1.解出u得，u1Jex.即—1行.y對上式兩端積分得到方程的通解為 lnyx2V67C9.求解下列方程(xyy)2(y)212yy(y) 10(1)解令yp,則yp.代入原式得(xpp)2p21.解出p得pxpVp21.這是克萊洛方程，通解為 pxC1\1C12.即y xG,1C12.解之得 yC1X3±Ji C12 C2X C3 (G,C2,C3為任意常數(shù))6 2, 1(2)解 化簡彳導(dǎo)(yy)1 0, 即 yy XC12求積分得 1 1(xC1)2名.2 2 2或 y2(xCi)2C2.三、證明題1.設(shè)函數(shù)p(x),f(x)在［0,)上連續(xù)，且！imp(x)a0,f(x)b(a,b為常數(shù)).求證：方程yp(x)yf(x)的一切解在［0,)上有界.證明設(shè)y=y(x)是方程任一解，且滿足 y(xO)=y0,則x x sP(s)ds P(s)dsy P(t)dty(x) y°ex。 ex0 x0f(s)e”ds由于limp(x)ax0,所以對任意e>0,存在x1>x0,使得x>x1時有0ap(x)aa2a，則y(x)xaidsy°exisx a2dtf(s)exds于是得到y(tǒng)(x)y0旨(1ea2(xxi))bV。-

aMi又在［xo,xi］上y(x)有界設(shè)為M2,現(xiàn)取Mmax[Mi,M2)則y(x)M,xx0,2.設(shè)f(x)在[0,)上連續(xù)，且limf(x)

x0,求證：方程dydxyf(x)的一切解y(x),均有l(wèi)imy(x)0.x證明設(shè)yy(x)是方程任一解，滿足y(x0)y0,該解的表達式為y(x)y0x0y(x)y0x0xf(s)e(sx0)dsx0x0取極限limxy(x)limxy。limxy(x)limxy。exx0limxf(s)e(s")dsx00,r/\0,r/\(sx0)右f(s)edsx0limxf(x)e(xlimxf(x)e(xx0)e3nx0e0,(s5)右f(s)edsx四、應(yīng)用題.按牛頓冷卻定律：物體在空氣中冷卻的速度與物體溫度和空氣溫度之差成正比 ，已知空氣溫度為30c,而物體在15分鐘內(nèi)由1000c冷卻到70oc,求物體冷卻到400c所需的時間.解設(shè)物體在時刻t的溫度為TT(t),由題意T(t)滿足初值問題dTk(T30)dtT(0)100其中k為常數(shù).解得 T(t)30ekt設(shè)物體冷卻到40c所需時間為t1,于是由T(15)70得15kr-3070e 703070ekt40解得 t152分鐘..重為100kg的物體，在與水平面成30的斜面上由靜止?fàn)顟B(tài)下滑，如果不計磨擦，試求：