初二數(shù)學(xué)全等三角形問題中常見的8種輔助線的作法

初二數(shù)學(xué)全等三角形問題中常有的8種協(xié)助線的作法初二數(shù)學(xué)全等三角形問題中常有的8種協(xié)助線的作法初二數(shù)學(xué)全等三角形問題中常有的8種協(xié)助線的作法全等三角形問題中常有的協(xié)助線的作法(有答案)總說明：全等三角形問題主假如結(jié)構(gòu)全等三角形，結(jié)構(gòu)二條邊之間相等，結(jié)構(gòu)二個(gè)角之間相等常有協(xié)助線的作法有以下幾種：碰到等腰三角形，可作底邊上的高，利用“三線合一”的性質(zhì)解題，思想模式是全等變換中的“對(duì)折”法結(jié)構(gòu)全等三角形．碰到三角形的中線，倍長中線，使延伸線段與原中線長相等，結(jié)構(gòu)全等三角形，利用的思想模式是全等變換中的“旋轉(zhuǎn)”法結(jié)構(gòu)全等三角形．碰到角均分線在三種添協(xié)助線的方法，（1）能夠自角均分線上的某一點(diǎn)向角的兩邊作垂線，利用的思想模式是三角形全等變換中的“對(duì)折”，所考知識(shí)點(diǎn)經(jīng)常是角均分線的性質(zhì)定理或逆定理．（2）能夠在角均分線上的一點(diǎn)作該角均分線的垂線與角的兩邊訂交，形成一對(duì)全等三角形。（3）能夠在該角的兩邊上，距離角的極點(diǎn)相等長度的地點(diǎn)上截取二點(diǎn)，此后從這兩點(diǎn)再向角均分線上的某點(diǎn)作邊線，結(jié)構(gòu)一對(duì)全等三角形。過圖形上某一點(diǎn)作特定的均分線，結(jié)構(gòu)全等三角形，利用的思想模式是全等變換中的“平移”或“翻轉(zhuǎn)折疊”5)截長法與補(bǔ)短法，詳細(xì)做法是在某條線段上截取一條線段與特定線段相等，或是將某條線段延伸，是之與特定線段相等，再利用三角形全等的相關(guān)性質(zhì)加以說明．這類作法，合適于證明線段的和、差、倍、分等類的題目．已知某線段的垂直均分線，那么能夠在垂直均分線上的某點(diǎn)向該線段的兩個(gè)端點(diǎn)作連線，出一對(duì)全等三角形。其余方法有：1.角度數(shù)為30、60度的作垂線法：碰到三角形中的一個(gè)角為30度或60度，能夠從角一邊上一點(diǎn)向角的另一邊作垂線，目的是組成

30-60-90

的特別直角三角形，此后計(jì)算邊的長度與角的度數(shù)，這樣能夠獲得在數(shù)值上相等的二條邊或二個(gè)角。

進(jìn)而為證明全等三角形創(chuàng)造邊、角之間的相等條件。2.計(jì)算數(shù)值法：碰到等腰直角三角形，正方形時(shí)，或30-60-90的特別直角三角形，或40-60-80的特別直角三角形,常計(jì)算邊的長度與角的度數(shù)，這樣能夠獲得在數(shù)值上相等的二條邊或二個(gè)角，進(jìn)而為證明全等三角形創(chuàng)辦邊、角之間的相等條件。特別方法：在求相關(guān)三角形的定值一類的問題時(shí)，常把某點(diǎn)到原三角形各極點(diǎn)的線段連結(jié)起來，利用三角形面積的知識(shí)解答．一、倍長中線（線段）造全等例1、已知，如圖△ABC中，AB=5，AC=3，則中線AD的取值范圍是_________.ABDC例2、如圖，△ABC中，E、F分別在AB、AC上，DE⊥DF，D是中點(diǎn)，試比較BE+CF與EF的大小.AEFBDC例3、如圖，△ABC中，BD=DC=AC，E是DC的中點(diǎn)，求證：AD均分∠BAE.ABDEC應(yīng)用：1、以ABC的兩邊AB、AC為腰分別向外作等腰RtABD和等腰RtACE，BADCAE90,連結(jié)分別是的中點(diǎn)．研究：與的地點(diǎn)關(guān)系及數(shù)DE，M、NBC、DEAMDE量關(guān)系．（1）如圖①當(dāng)ABC為直角三角形時(shí)，AM與DE的地點(diǎn)關(guān)系是，線段AM與DE的數(shù)目關(guān)系是；（2）將圖①中的等腰RtABD繞點(diǎn)A沿逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)(0<<90)后，如圖②所示，（1）問中獲得的兩個(gè)結(jié)論能否發(fā)生改變？并說明原因．二、截長補(bǔ)短1、如圖，ABC中，AB=2AC，AD均分BAC，且AD=BD，求證：CD⊥ACACBD2、如圖，AD∥BC，EA,EB分別均分∠DAB,∠CBA，CD過點(diǎn)E，求證;AB＝AD+BC。ADEBC3、如圖，已知在VABC內(nèi)，0400，P，Q分別在BC，CA上，ABAC60，C而且AP，BQ分別是BAC，ABC的角均分線。求證：BQ+AQ=AB+BPBQPC4、如圖，在四邊形ABCD中，BC＞BA,AD＝CD，BD均分ABC，A求證：AC1800DBC5、如圖在△ABC中，AB＞AC，∠1＝∠2，P為AD上隨意一點(diǎn)，求證;AB-AC＞PB-PCA12PBCD應(yīng)用：三、平移變換例1AD為△ABC的角均分線，直線MN⊥AD于為MN上一點(diǎn)，△ABC周長記為PA，△EBC周長記為PB.求證PB＞PA.例2如圖，在△ABC的邊上取兩點(diǎn)D、E，且BD=CE，求證：AB+AC>AD+AE.ABDEC四、借助角均分線造全等1、如圖，已知在△ABC中，∠B=60°，△ABC的角均分線AD,CE訂交于點(diǎn)O，求證：OE=ODAEOBCD2、如圖，△ABC中，AD均分∠BAC，DG⊥BC且均分BC，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F.（1）說明BE=CF的原因；（2）假如AB=a，AC=b，求AE、BE的長.AEGBCFD應(yīng)用：1、如圖①，OP是∠MON的均分線，請(qǐng)你利用該圖形畫一對(duì)以O(shè)P所在直線為對(duì)稱軸的全等三角形。請(qǐng)你參照這個(gè)作全等三角形的方法，解答以下問題：1）如圖②，在△ABC中，∠ACB是直角，∠B=60°，AD、CE分別是∠BAC、∠BCA的均分線，AD、CE訂交于點(diǎn)F。請(qǐng)你判斷并寫出FE與FD之間的數(shù)目關(guān)系；2）如圖③，在△ABC中，假如∠ACB不是直角，而(1)中的其余條件不變，請(qǐng)問，你在(1)中所得結(jié)論能否仍舊建立？若建立，請(qǐng)證明；若不建立，請(qǐng)說明原因。BMBEEFDPFDONACC圖①圖②A圖③(第23題圖)五、旋轉(zhuǎn)例1正方形ABCD中，E為BC上的一點(diǎn)，F(xiàn)為CD上的一點(diǎn)，BE+DF=EF，求∠EAF的度數(shù).ADFBE例2D為等腰RtABC斜邊AB的中點(diǎn)，DM⊥DN,DM,DN分別交BC,CA于點(diǎn)E,F。（1）當(dāng)MDN繞點(diǎn)D轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，求證DE=DF。（2）若AB=2，求四邊形DECF的面積。B

CEMC

AF

ANA例3如圖，ABC是邊長為3的等邊三角形，BDC是等腰三MB

NCD角形，且

BDC

1200，以

D為極點(diǎn)做一個(gè)

600角，使其兩邊分別交

AB于點(diǎn)

M，交

AC于點(diǎn)