高三數學一輪復習《函數的奇偶性》教案

高三數學一輪復習《函數的奇偶性》教課方案高三數學一輪復習《函數的奇偶性》教課方案6/6高三數學一輪復習《函數的奇偶性》教課方案專題：函數的奇偶性★★★★觀察以以下列圖形，你發(fā)現了什么函數性質？知識梳理1、偶函數：關于函數yf(x)的定義域D內的任意實數a，都有f(x)f(x)2、奇函數：關于函數yf(x)的定義域D內的任意實數a，都有f(x)f(x)

3min.；；3、定義域關于原點對稱是函數擁有奇偶性的__必要非充分___條件，；4、偶函數的圖像關于__y軸對稱__對稱，奇函數的圖像關于坐標原點對稱.特別地，當奇函數f(x)在x0處有定義時，必有___f(0)0____5、若f(x)既是奇函數又是偶函數，則_____f(x)0_____6、分段函數的奇偶性必然要分段證明。典例精講33min.例1.（★★★）設函數f(x)asin(x1)bsin(x2)，其中a,b,1,2為已知實常數，以下關于函數f(x)的性質判斷正確的命題的序號是_______________．①若②若

f(0)f()0，則f(x)0對任意實數x恒成立；2f(0)0，則函數f(x)為奇函數；③若f()0，則函數f(x)為偶函數；2剖析：f(x)asin(x1)bsin(x2)[acos1bcos2]sinx[asin1bsin2]cosxf(0)0asin1bsin20,f()0acos1bcos20。選①②③2牢固練習：1（★★★★）設函數f(x)a1sin(x1)a2sin(x2)...ansin(xn)，其中ai、i（i1,2,...,n，nN*,n2）為已知實常數，xR.以下關于函數f(x)的性質判斷正確的命題的序號是_______________．①若②若

f(0)f()0，則f(x)0對任意實數x恒成立；2f(0)0，則函數f(x)為奇函數；③若f()0，則函數f(x)為偶函數；2解：①②③例2.（★★★★）如圖，在直角坐標平面的正六邊形ABCDEF,中心在原點，邊長為a,AB平行于x軸，直線l:ykxt(k為常數)與正六邊形交于M，N兩點，記OMN的面積為S，則關于函數Sf(t)的奇偶性的判斷正確的選項是（）A．必然是奇函數B．—定是偶函數C．既不是奇函數，也不是偶函數D．奇偶性與k有關解：設M點關于原點的對稱點M'，N點關于原點對稱的點為N'，知M'、N'在正六邊形上。當直線l在某一個確定的地址時，對應有一個t值，那么易得直線M'N'的斜率仍為k，對應的截距為t，顯然OMN的面積與OM'N'的面積相等。選B。牢固練習：（★★★★）已知橢圓x2y21及以下3個函數：①f(x)x；②f(x)sinx；③f(x)xsinx，169其中函數圖像能均分該橢圓面積的函數個數有（）．A.0個B.1個C.2個D.3個解：奇函數關于原點對稱，能均分橢圓，偶函數不能夠，故①②滿足，選C。例3.（★★★）已知函數f(x)的定義域為R，（1）試證：函數F(x)f(x)f(x)是偶函數,G(x)f(x)f(x)是奇函數；（2）試將函數g(x)ax(a0,a1)表示為一個奇函數和一個偶函數的和。打破口：注意第（1）、（2）小問之間的關系。解:（1）xR，F(x)f(x)f(x)F(x)，G(x)f(x)f(x)G(x)故F(x)是偶函數，G(x)是奇函數。（2）由（1）得，f(x)=f(x)f(x)f(x)f(x)F(x)G(x)22222故()=axaxaxaxaxagx22，其中m(x)2

xaxax是偶函數，n(x)是奇函數。2小結：對任意一個函數f(x)，xD，其中D為對稱區(qū)間，函數f(x)必然能夠表示成一個偶函數加一個奇函數。形式以下：f(x)=f(x)f(x)f(x)f(x)，22其中，F(x)f(x)f(x)f(x)f(x)2為偶函數，G(x)為奇函數。2牢固練習：（★★★★）已知函數f(x)2x1定義在R上.若f(x)能夠表示為一個偶函數g(x)與一個奇函數h(x)之和，設h(x)t，p(t)g(2x)2mh(x)m2m1(mR)，求出p(t)的剖析式；解：假設f(x)g(x)h(x)①，其中g(x)為偶函數，h(x)為奇函數，則有f(x)g(x)h(x)，即f(x)g(x)h(x)②，由①②，解得g(x)f(x)2f(x)，h(x)f(x)2f(x).∵f(x)定義在R上，∴g(x)，h(x)都定義在R上.∵g(x)f(x)f(x)f(x)f(x)h(x).2g(x)，h(x)2∴滿足g(x)是偶函數，h(x)是奇函數，又∵f(x)2x1，∴g(x)f(x)f(x)2x12x12x1，h(x)f(x)f(x)2x12x12x1.222x222x由2x1t，則tR，平方，得t2(2x1222x12，∴g(2x)2x122，2xx)22x22xt22故p(t)t22mtm2m1.例4.（★★★★）已知函數f(x)為定義在R上的函數，則命題“存在x0R，使f(x0)f(x0)且f(x0)f(x0)”是命題“f(x)為非奇非偶函數”的____________________條件。打破口：說明一個函數不擁有奇偶性平時是舉反例的。解：充分非必要充分性:存在x0R，使f(x0)f(x0)，說明函數f(x)不是偶函數；存在x0R，使f(x0)f(x0)，說明函數f(x)不是奇函數.故f(x)是非奇非偶函數。3x2,x[1,1]xR，都有f(x)f(x)或f(x)f(x)不用要：f(x)x(，對任意x,,1)U(1,)牢固練習：（★★★★）有這么一個數學問題：“已知奇函數fx的定義域是一的確數R,且fm2,fm222，求m的值”。請問m的值能否求出，若能夠，央求出m的值；若不能夠夠請說明原由（只需說原由）。______________________________________________________________________________________________________解:不能夠，因為缺少條件：yfx是單調的，也許是y與x之間是一一對應的例5.（★★★★）設函數yf(x),xR．（1）若函數yf(x)為偶函數且圖像關于直線xa(a0)對稱，求證yf(x)為周期函數．（2）若函數yf(x)為奇函數且圖像關于直線xa(a0)對稱，求證yf(x)是以4a為周期的函數．（3）請對（2）中求證的命題進行實行，寫出一個真命題，并予以證明．解：（1）由圖像關于xa對稱得f(2ax)f(x)，即f(2ax)f(x)，因為f(x)為偶函數，因此f(x)f(x)，從而f(2ax)f(x)，因此f(x)是以2a為周期的函數．（2）若f(x)為奇函數，則圖像關于原點對稱，f(x)f(x)，由條件得f(2ax)f(x),f(2ax)f(x)f(x)，因此f(4ax)f(x)，f(x)是以4a為周期的函數．（3）實行：若函數yf(x)圖像關于點(m,n)對稱且關于直線xa(a0)對稱，則函數f(x)是以4(ma)為周期的周期函數．由條件圖像關于點(m,n)對稱，故2nf(x)f(2mx)，又圖像關于直線xa(a0)對稱，f(2ax)f(x)，因此2nf(2ax)f(2mx)，即2nf(x)f(2m2ax)．當am時，f(x)n為常值函數，是周期函數．當am時，由2nf(x)f(2m2ax)，得42nf(2m2ax)f(4m4ax)2n(2nf(x))f(4m4ax)，因此f[4(ma)x]f(x)，因此f(x)是以4(ma)為周期的函數．小結：牢固練習：1.（★★★★）函數f(x)的定義域為R，若f(x1)與f(x1)都是奇函數，則()A.f(x)是偶函數B.f(x)是奇函數C.f(x)f(x2)D.f(x3)是奇函數解:Qf(x1)與f(x1)都是奇函數，f(x1)f(x1),f(x1)f(x1)，函數f(x)關于點(1,0)，及點(1,0)對稱，函數f(x)是周期T2(1(1))4的周期函數.f(x14)f(x14),f(x3)f(x3)，即f(x3)是奇函數。應選D.2.（★★★★）設函數f(x)在R上滿足f(2x)f(2x),f(7x)f(7x)且在[0,7]上只有f(1)f(3)0.試判斷函數yf(x)的奇偶性.解：由f(2x)f(2x)得f(1)f(5)∵在x[0,7]上只有f(1)f(3)0，∴f(5)0∴f(1)f(1),且f(1)f(1)故f(x)為非奇非偶函數。選做題1.（★★★★）已知函數f(x)|xa|，g(x)x22ax1，aR，且f(x)與g(x)的圖像在y軸上的截5距相等．（1）求a的值；（2）若h(x)f(x)bg(x)，bR，試談論函數h(x)的奇偶性．解：（1）由題意，f(0)g(0)，即|a|1，又a0，故a1．（2）h(x)f(x)bg(x)|x1|b|x1|，其定義域為R，h(x)|x1|b|x1||x1|b|x1|．若h(x)為偶函數，即h(x)h(x)，則有b1，此時h(2)4，h(2)4，故h(2)h(2)，即h(x)不為奇函數；若h(x)為奇函數，即h(x)h(x)，則b1，此時h(2)2，h(2)2，故h(2)h(2)，即h(x)不為偶函數；綜上，當且僅當b1時，函數h(x)為偶函數，且不為奇函數，當且僅當b1時，函數h(x)為奇函數，且不為偶函數，當b1時，函數h(x)既非奇函數又非偶函數．2.（★★★★）已知函數f(x)的定義域為R，且對任意xZ，都有f(x)f(x1)f(x1)。若f(1)6，f(1)7，則f(2012)f(2012).解：由f(x)f(x1)f(x1)，得f(x1)f(x)f(x