雙曲線含解析

雙曲線[A級(jí)基礎(chǔ)題——基穩(wěn)才能樓高]x221．(2018·浙江高考)雙曲線3－y＝1的焦點(diǎn)坐標(biāo)是()A．(－2，0)，(2，0)B．(－2,0)，(2,0)C．(0，－2)，(0，2)D．(0，－2)，(0,2)x22解析：選B∵雙曲線方程為3－y＝1，∴22x軸上，a＝3，b＝1，且雙曲線的焦點(diǎn)在∴c＝a2＋b2＝3＋1＝2，即得該雙曲線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為(－2,0)，(2,0)．2．(2019·南寧摸底聯(lián)考)雙曲線x2y2)－＝1的漸近線方程為(252045A．y＝±5xB．y＝±4x125C．y＝±5xD．y＝±5xx2y225解析：選D在雙曲線25－20＝1中，a＝5，b＝25，∴其漸近線方程為y＝±5x，故選D.3．(2019·合肥調(diào)研)下列雙曲線中，漸近線方程不是y＝±43x的是()A.x2y2y2－x2－＝1B.＝1144811832y2x2x2y2C.9－16＝1D.4－3＝19318解析：選D對(duì)于A，漸近線方程為y＝±12x＝±4x；對(duì)于B，漸近線方程為y＝±32333x＝±4x；對(duì)于C，漸近線方程為y＝±4x；對(duì)于D，漸近線方程為y＝±2x．故選D.4．(2019·銅陵模擬)已知雙曲線x22－y＝1的右焦點(diǎn)為，為雙曲線左支上一點(diǎn)，點(diǎn)42FPA(0，2)，則△APF周長(zhǎng)的最小值為()A．4(1＋2)B．4＋2C．2(2＋6)D.6＋32解析：選A設(shè)雙曲線的左焦點(diǎn)為F′，易得點(diǎn)F(6，0)，△APF的周長(zhǎng)l＝|AF|＋|AP|1＋|PF|＝|AF|＋2a＋|PF′|＋|AP|，要使△APF的周長(zhǎng)最小，只需|AP|＋|PF′|最小，易知當(dāng)A，P，F(xiàn)′三點(diǎn)共線時(shí)取到，故l＝2|AF|＋2a＝4(1＋2)．故選A.x2y25．(2019·合肥一模)若雙曲線a2－b2＝1(a＞0，b＞0)的一條漸近線方程為y＝－2x，則該雙曲線的離心率是()5A．2B．3C．5D．23x2y2b解析：選C由雙曲線a2－b2＝1(a＞0，b＞0)的漸近線方程為y＝±ax，且雙曲線的一bca2＋b2a2＋4a2條漸近線方程為y＝－2x，得a＝2，則b＝2a，則雙曲線的離心率e＝a＝a＝a5a5.故選C.＝a＝x2y226．(2019·德州一模)已知雙曲線a2－b2＝1(a＞0，b＞0)的一個(gè)焦點(diǎn)在拋物線y＝16x的準(zhǔn)線上，且雙曲線的一條漸近線過(guò)點(diǎn)(3，3)，則雙曲線的方程為()x2y2x2y2A.4－20＝1B.12－4＝1C.x2－y2＝1D.x2－y2＝1412204x2y2b解析：選C雙曲線a2－b2＝1(a＞0，b＞0)的漸近線方程為y＝±ax，由雙曲線的一條b漸近線過(guò)點(diǎn)(3，3)，可得a＝3，①由雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)(－c,0)在拋物線y2＝16x的準(zhǔn)線x＝－4上，可得c＝4，即有a2＋b2＝16，②由①②解得 a＝2，b＝2 3，x2 y2則雙曲線的方程為 4－12＝1.故選C.[B級(jí) 保分題——準(zhǔn)做快做達(dá)標(biāo) ]1．(2017·全國(guó)卷Ⅰ )已知F是雙曲線 C：x2－y2＝1的右焦點(diǎn)，P是C上一點(diǎn)，且 PF與3x軸垂直，點(diǎn) A的坐標(biāo)是(1,3)，則△APF的面積為( )1 1A.3 B.2223C.3D.2解析：選D法一：由題可知，雙曲線的右焦點(diǎn)為(2,0)，當(dāng)x＝2時(shí)，代入雙曲線CF2的方程，得4－y＝1，解得y＝±3，不妨取點(diǎn)(2,3)，因?yàn)辄c(diǎn)(1,3)，所以∥軸，又3PAAPx113PF⊥x軸，所以AP⊥PF，所以S△APF＝2|PF|·|AP|＝2×3×1＝2.法二：由題可知，雙曲線的右焦點(diǎn)為F(2,0)，當(dāng)x＝2時(shí)，代入雙曲線C的方程，得4y2，因?yàn)辄c(diǎn)A(1,3)―→―→－＝1，解得y＝±3，不妨取點(diǎn)P(2,3)，所以AP＝(1,0)，PF＝(0，－3―→―→1133)，所以AP·PF＝0，所以AP⊥PF，所以S△APF＝2|PF|·|AP|＝2×3×1＝2.x2y2a＞0，＞0)的右焦點(diǎn)F作圓x2y2a2的切2．(2019·黃岡質(zhì)檢)過(guò)雙曲線2－2＝1(＋＝abb線FM(切點(diǎn)為M)，交y軸于點(diǎn)P，若M為線段FP的中點(diǎn)，則雙曲線的離心率為()A.2B.3C．2D.5解析：選A連接OM.由題意知OM⊥PF，且|FM|＝|PM|，∴|OP|＝|OF|，2∴∠OFP＝45°，∴|OM|＝|OF|·sin45°，即a＝c·2，c∴e＝a＝2.故選A.x2y23．(2019·銀川模擬)已知雙曲線a2－1－a2＝1(0＜a＜1)的離心率為2，則a的值為()12A.2B.21D.3C.33解析：選B∵c2＝a2＋1－a2＝1，∴c＝1，又c＝2，∴a＝2，故選B.a2224．(2019·遼寧五校聯(lián)考)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知雙曲線：x2－y2＝1(a＞0，Cab＞0)的離心率為5，從雙曲線C的右焦點(diǎn)F引漸近線的垂線，垂足為，若△的面積bAAFO為1，則雙曲線C的方程為()x2y2x22A．2－8＝1B．4－y＝1322D．x2－y2C．x－y＝1＝14164解析：選D因?yàn)殡p曲線C的右焦點(diǎn)F到漸近線的距離||＝，||＝，所以＝2，F(xiàn)AbOAaabb22222又雙曲線C的離心率為5，所以1＋a2＝5，即b＝4a，解得a＝1，b＝4，所以雙曲y2線C的方程為x－4＝1，故選D.x2y25．(2019·黃山一診)雙曲線C：a2－b2＝1(a＞0，b＞0)的一條漸近線與直線x＋2y＋1＝0垂直，1，2為C的焦點(diǎn)，A為雙曲線上一點(diǎn)，若|1|＝2|2|，則cos∠21等于()FFFAFAAFF35A.2B.45D.1C.45解析：選C因?yàn)殡p曲線的一條漸近線與直線x＋2y＋1＝0垂直，所以b＝2a.又|F1A|2122122＝2|FA|，且|FA|－|FA|＝2a，所以|FA|＝2a，|FA|＝4a，而c＝5a，得2c＝25a，所|12|2＋|2|2－|1|2202＋42－1625＝，故選C.以cos∠AF2F1＝2|FF||FA|2×25a×2a＝5122x2y2＞0)的離心率為3F6．(2019·天津和平一模)已知雙曲線2－2＝1(＞0，，過(guò)右焦點(diǎn)abab2作漸近線的垂線，垂足為.若△的面積為5，其中O為坐標(biāo)原點(diǎn)，則雙曲線的方程為MFOM()24y2x22y2A．x－5＝1B.2－5＝1x2y2x2y2C.4－5＝1D.16－20＝1c3b5解析：選C由題意可知e＝a＝2，可得a＝2，b取一條漸近線為 y＝ax，bbc可得F到漸近線y＝ax的距離d＝a2＋b2＝b，在Rt△FOM中，由勾股定理可得|OM|＝|OF|2－|MF|2＝c2－b2＝a，b5由題意可得1＝5，聯(lián)立a＝2，解得a＝2，2ab1＝5，b＝5，2ab4x2y2所以雙曲線的方程為4－5＝1.故選C.x2y27．(2019·湘中名校聯(lián)考)過(guò)雙曲線a2－b2＝1(a＞0，b＞0)的右焦點(diǎn)且垂直于x軸的直線與雙曲線交于A，B兩點(diǎn)，與雙曲線的漸近線交于3C，D兩點(diǎn)，若|AB|≥|CD|，則雙曲線5離心率的取值范圍為()5B.5，＋∞，＋∞A.345D.5C.1，1，34解析：選Bx2y2b2將x＝c代入2－2＝1得y＝±，abab2b222不妨取Ac，a，Bc，－a，所以|AB|＝a.bbc將x＝c代入雙曲線的漸近線方程y＝±ax，得y＝±a，不妨取Cc，bc，Dc，－bc，所以||＝2bc.aaCDa32b232bc因?yàn)閨AB|≥5|CD|，所以a≥5×a，32922292即b≥5c，則b≥25c，即c－a≥25c，即16c2≥a2，所以e2≥25，所以e≥5.25164x2y2＝1(a＞0，b＞0)上存在一點(diǎn)P滿足以|OP|為邊長(zhǎng)8．(2019·桂林模擬)若雙曲線a2－b2的正方形的面積等于2ab(其中O為坐標(biāo)原點(diǎn))，則雙曲線離心率的取值范圍是()A.5B.71，21，2C.5D.72，＋∞2，＋∞解析：選C由條件得||2＝2.又∵P為雙曲線上一點(diǎn)，∴||≥，∴2≥a2，∴OPabOPaab2222a252c52b≥a.又∵c＝a＋b≥a＋4＝4a，∴e＝a≥2.∴雙曲線離心率的取值范圍是5.2，＋∞59．(2019·惠州調(diào)研)已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，設(shè)F1，F(xiàn)2分別是雙曲線x2－y2＝1的左、右焦點(diǎn)，為雙曲線左支上任一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)1作∠12的平分線的垂線，垂足為，則||＝()PFFPFHOHA．1B．21C．4D．2解析：選A如圖，延長(zhǎng)1交2于點(diǎn)Q，由為∠12的平FHPFPHFPF分線及PH⊥F1Q，可知|PF1|＝|PQ|，根據(jù)雙曲線的定義，得|PF2|－|PF1|＝2，從而|QF2|＝2，在△F1QF2中，易知OH為中位線，故|OH|＝1.故選A.x2y210．(2019·鄭州模擬)設(shè)1，2分別是雙曲線：2－2＝1(FFabaC＞0，＞0)的左、右焦點(diǎn)，P是C上一點(diǎn)，若|1|＋|2|＝6，且△12的最小內(nèi)角的大bPFPFaPFF小為30°，則雙曲線C的漸近線方程是()A．±2y＝0B．2±＝0xxyC．x±2y＝0D．2x±y＝0解析：選B假設(shè)點(diǎn)P在雙曲線的右支上，|PF1|＋|PF2|＝6a，則|PF1|－|PF2|＝2a，|PF1|＝4a，|PF2|＝2a.|F1F2|＝2c＞2a，∴△PF1F2最短的邊是PF2，∴△PF1F2的最小內(nèi)角為∠PF1F2.在△PF1F2中，由余弦定理得 4a2＝16a2＋4c2－2×4a×2c×cos30°，c2－23ac＋3a2＝0，2c∴e－23e＋3＝0，∴e＝3，∴a＝3，∴c2＝3a2，∴a2＋b2＝3a2，∴b2＝2a2，b2x±y＝0，故選B.∴a＝2，∴雙曲線的漸近線方程為x2y2311．(2017·全國(guó)卷Ⅲ)雙曲線a2－9＝1(a＞0)的一條漸近線方程為y＝5x，則a＝________.22解析：∵雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2－y＝1(＞0)，∴雙曲線的漸近線方程為y＝±3.又a9aax3雙曲線的一條漸近線方程為y＝5x，∴a＝5.答案：56x2y212．(2017·山東高考)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，雙曲線a2－b2＝1(a＞0，b＞0)的右支與焦點(diǎn)為F的拋物線x2＝2(p＞0)交于，B兩點(diǎn)．若||＋||＝4||，則該雙曲線的pyAAFBFOF漸近線方程為________．解析：設(shè)A(x，y)，B(x，y)，由拋物線的定義可知1122ppp22212由|AF|＋|BF|＝y(tǒng)＋2＋y＋2＝y(tǒng)＋y＋p＝4|OF|＝2p，得y＋y＝p.1p2p1212x2y2聯(lián)立a2－b2＝1，消去x，得a2y2－2pb2y＋a2b2＝0，x2＝2py所以y1＋2pb22pb2yaapb21b2即a2＝2，故a＝2，2所以雙曲線的漸近線方程為y＝±2x.答案：y＝±2x2x2y2213．(2019·成都畢業(yè)班摸底測(cè)試)已知雙曲線a2－2＝1(a＞0)和拋物線y＝8x有相同的焦點(diǎn)，則雙曲線的離心率為________．2x2y22解析：易知拋物線y＝8x的焦點(diǎn)為(2,0)，所以雙曲線a2－2＝1的焦點(diǎn)為(2,0)，則a2c2＋2＝2，即a＝2，所以雙曲線的離心率e＝a＝2＝2.答案：2x2y214．(2019·南昌調(diào)研)已知雙曲線C：a2－b2＝1(a＞0，b＞0)的右焦點(diǎn)為F，過(guò)點(diǎn)F作圓(22c2的切線，若該切線恰好與的一條漸近線垂直，則雙曲線的離心率為x－)＋y＝CCa16________．ba解析：不妨取與切線垂直的漸近線方程為y＝ax，由題意可知該切線方程為y＝－b(x22c2c－c)，即ax＋by－ac＝0.又圓(x－a)＋y＝16的圓心為(a,0)，半徑為4，則圓心到切線的7|a2－ac|ac－a2cc2距離d＝a2＋b2＝c＝4，又e＝a，則e－4e＋4＝0，解得e＝2.答案：22y215．(2019·西安鐵一中模擬)已知點(diǎn)F1，F(xiàn)2分別是雙曲線C：x－b2＝1(b＞0)的左、右焦點(diǎn)，過(guò)2作垂直于x軸的直線，在x軸上方交雙曲線C于點(diǎn)，∠12＝30°.FMMFF求雙曲線C的方程；(2)過(guò)雙曲線 C上任意一點(diǎn) P作該雙曲線兩條漸近線的垂線，垂足分別為 P1，P2，求―→ ―→PP1·PP2的值．解：(1)由題易知F2(1＋b2，0)，可設(shè)M(1＋b2，y1)．2因?yàn)辄c(diǎn)在雙曲線上且在軸上方，所以1＋2y1＝2|＝2MCxb－2＝1，得yb，所以|b.b12在Rt△21中，∠12＝30°，|2|＝b2，所以|1|＝22.由雙曲線的定義可知，|1|－MFFMFFMFMFbMF|2|＝b2C的方程為x2y2＝2，故雙曲線－＝1.MF2(2)易知兩條漸近線方程分別為l1：2x－y＝0，l2：2x＋y＝0.設(shè)雙曲線C上的點(diǎn)P(x0，y0)，兩條漸近線的夾角為θ，不妨設(shè)1在l1上，2在l2上，PP則點(diǎn)P到兩條漸近線的距離分別為