2022-2023學(xué)年安徽省合肥市六校聯(lián)盟高二上學(xué)期期中聯(lián)考數(shù)學(xué)試題【含答案】

試卷第=page22頁(yè)，共=sectionpages44頁(yè)第Page\*MergeFormat23頁(yè)共NUMPAGES\*MergeFormat23頁(yè)2022-2023學(xué)年安徽省合肥市六校聯(lián)盟高二上學(xué)期期中聯(lián)考數(shù)學(xué)試題一、單選題1．過(guò)，兩點(diǎn)的直線的傾斜角是（

）A．45 B．60 C．120 D．135【答案】A【分析】首先根據(jù)兩點(diǎn)坐標(biāo)求出直線斜率，進(jìn)而根據(jù)求出直線的傾斜角.【詳解】已知，，則，設(shè)直線的傾斜角為，則，得.故選：A2．如圖，在四面體OABC中，，，.點(diǎn)M在OA上，且,為BC中點(diǎn)，則等于（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】根據(jù)向量的加法和減法的三角形法則得到.【詳解】連接,是的中點(diǎn)，,,.故選：B3．已知方程表示圓，則k的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】直接根據(jù)圓一般方程的判斷條件，解不等式即可得參數(shù)的取值范圍.【詳解】因?yàn)楸硎緢A，所以，解得，得的取值范圍是.故選：C4．橢圓的焦點(diǎn)為，，與y軸的一個(gè)交點(diǎn)為A，若，則m（

）A．1 B． C． D．2【答案】A【分析】首先根據(jù)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程求出，然后再根據(jù)橢圓的定義及等腰直角三角形的幾何性質(zhì)求出的值，進(jìn)而求出參數(shù).【詳解】在橢圓（）中，，，，如圖，易知，又，所以為等腰直角三角形，即，得，即.故選：A5．如圖，ABCD－EFGH是棱長(zhǎng)為1的正方體，若P在正方體內(nèi)部且滿足，則P到AB的距離為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】以為坐標(biāo)原點(diǎn)，AB，AD，AE所在直線分別為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，由題意，計(jì)算出和的坐標(biāo)，然后根據(jù)向量法求點(diǎn)到直線的距離公式即可求解.【詳解】如圖，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，AB，AD，AE所在直線分別為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，

因?yàn)椋?，?所以點(diǎn)P到AB的距離．故選：D.6．如圖，在四棱錐P－ABCD中，底面ABCD是邊長(zhǎng)為1的正方形，側(cè)棱PA的長(zhǎng)為1，且PA與AB，AD的夾角都等于60°.若M是PC的中點(diǎn)，則（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)空間向量基本定理得到，平方后，利用空間向量數(shù)量積公式計(jì)算出，從而求出模長(zhǎng).【詳解】因?yàn)槭堑闹悬c(diǎn)，所以，所以因?yàn)榈拈L(zhǎng)為1，且與，的夾角都等于60°．所以，所以.故選：D7．已知點(diǎn)P在直線l：上，過(guò)點(diǎn)P的兩條直線與圓O：分別相切于A，B兩點(diǎn)，則圓心O到直線AB的距離的最大值為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】設(shè)點(diǎn)，求出以為直徑的圓的方程，進(jìn)而可得直線的方程，再根據(jù)點(diǎn)到直線的距離公式，結(jié)合在直線l：上，可得圓心到直線的距離關(guān)于的表達(dá)式，進(jìn)而根據(jù)函數(shù)的最值求解即可.【詳解】設(shè)點(diǎn)，圓O：，其圓心，由題意知：是圓的切線，則，則點(diǎn)在以為直徑的圓上，又由，，則以為直徑的圓的方程為：，即，與圓O：聯(lián)立可得：，即直線的方程為.又因?yàn)辄c(diǎn)在直線l：上，故，所以圓心到直線的距離，所以當(dāng)時(shí)，取最大值，故選：.8．國(guó)家體育場(chǎng)“鳥(niǎo)巢”的鋼結(jié)構(gòu)鳥(niǎo)瞰圖如圖1所示，內(nèi)外兩圈的鋼骨架是離心率相同的橢圓；某校體育館的鋼結(jié)構(gòu)與“鳥(niǎo)巢”相同，其平面圖如圖2所示，若由外層橢圓長(zhǎng)軸一端點(diǎn)A和短軸一端點(diǎn)B分別向內(nèi)層橢圓引切線AC，BD，且兩切線斜率之積等于，則橢圓的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】設(shè)內(nèi)層橢圓方程為，則外層橢圓方程為（），分別列出過(guò)和的切線方程，聯(lián)立切線和內(nèi)層橢圓，由分別轉(zhuǎn)化出的表達(dá)式，結(jié)合可求與關(guān)系式，齊次化可求離心率.【詳解】設(shè)內(nèi)層橢圓方程為（），因?yàn)閮?nèi)、外層橢圓離心率相同，所以外層橢圓方程可設(shè)成（），設(shè)切線方程為，與聯(lián)立得，，由，化簡(jiǎn)得：，設(shè)切線方程為，同理可求得，所以，，所以，因此.故選：D二、多選題9．下列說(shuō)法正確的是（

）A．已知為平面的一個(gè)法向量，為直線l的一個(gè)方向向量，若，則l與所成角為B．P、A、B、C是空間中四點(diǎn)，若，則P、A、B、C四點(diǎn)共面C．過(guò)，兩點(diǎn)的直線方程為D．“”的一個(gè)必要不充分條件是“直線與直線平行”【答案】AB【分析】對(duì)于A：由線面角及的定義可知它們的關(guān)系；對(duì)于B：由可推出可以由線性表示，即可得出結(jié)論.對(duì)于C：直線兩點(diǎn)式方程使用的條件是直線不能與坐標(biāo)軸平行；對(duì)于D：先得出兩直線平行的充要條件再看它與的推出關(guān)系.【詳解】對(duì)于A：設(shè)直線與平面所成角為，，則與的關(guān)系為或，其中，所以當(dāng)時(shí)，則l與所成角為，故A正確；對(duì)于B：由得所以，所以，所以可以由線性表示，所以P、A、B、C四點(diǎn)共面，故B正確；對(duì)于C：當(dāng)或時(shí)，不能再用此方程，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D：直線與直線平行得且.故時(shí)推不出兩直線平行，而反之可以，所以“”的一個(gè)充分不必要條件是“直線與直線平行”，故D錯(cuò)誤；故選：AB10．下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是（

）A．是直線的一個(gè)單位方向向量B．直線與直線之間的距離是C．點(diǎn)到直線l：的距離為D．經(jīng)過(guò)點(diǎn)，且在兩坐標(biāo)軸上的截距的絕對(duì)值相等的直線條數(shù)共有2條【答案】ACD【分析】對(duì)于A：根據(jù)單位向量模長(zhǎng)為1判斷；對(duì)于B：先把兩平行直線的的系數(shù)化為相同后再代入平行直線距離公式；對(duì)于C：代入點(diǎn)到直線距離公式計(jì)算；對(duì)于D：截距的絕對(duì)值相等的直線還包括過(guò)原點(diǎn)直線.【詳解】對(duì)于A：的模長(zhǎng)為，不是單位向量，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B：化為，與的距離為，故B正確；對(duì)于C：點(diǎn)到直線l：的距離為，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D：在兩坐標(biāo)軸上的截距的絕對(duì)值相等的直線有斜率為的兩條，還有過(guò)原點(diǎn)的一條，故D錯(cuò)誤.故選：ACD.11．已知橢圓的左，右焦點(diǎn)分別為，長(zhǎng)軸長(zhǎng)為4，點(diǎn)在橢圓外，點(diǎn)在橢圓上，則（

）A．橢圓的離心率的取值范圍是B．當(dāng)橢圓的離心率為時(shí)，的取值范圍是C．存在點(diǎn)使得D．的最小值為2【答案】ABC【分析】根據(jù)點(diǎn)在橢圓外，即可求出的取值范圍，即可求出離心率的取值范圍，從而判斷A；根據(jù)離心率求出，則，即可判斷B；設(shè)上頂點(diǎn)，得到，即可判斷C；根據(jù)利用基本不等式判斷D.【詳解】由題意得，又點(diǎn)在橢圓外，則，解得，所以橢圓的離心率，即橢圓的離心率的取值范圍是，故A正確；當(dāng)時(shí)，，，所以的取值范圍是，即，故B正確；設(shè)橢圓的上頂點(diǎn)為，，，由于，所以存在點(diǎn)使得，故C正確；，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，又，所以，故D不正確．故選：ABC12．如下圖，正方體中，為線段上的動(dòng)點(diǎn)，平面，則下面說(shuō)法正確的是（

）A．直線與平面所成角的正弦值范圍為B．已知為中點(diǎn)，當(dāng)?shù)暮妥钚r(shí)，C．點(diǎn)為的中點(diǎn)時(shí)，若平面經(jīng)過(guò)點(diǎn)，則平面截正方體所得截面圖形是等腰梯形D．點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)，平面截正方體所得的截面，其面積越大，周長(zhǎng)就越大.【答案】ABC【分析】對(duì)于A選項(xiàng)，以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，、、所在直線分別為、、軸建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量法可判斷A選項(xiàng)的正誤；對(duì)于B選項(xiàng)，將矩形與矩形延展為一個(gè)平面，利用、、三點(diǎn)共線得知最短，利用平行線分線段成比例定理求得，可判斷B選項(xiàng)的正誤.對(duì)于C選項(xiàng)，利用空間向量法找出平面與棱、的交點(diǎn)、，判斷四邊形的形狀可判斷C選項(xiàng)的正誤；對(duì)于D選項(xiàng)，證明出平面，分別取棱、、、、、的中點(diǎn)、、、、、，比較和六邊形的周長(zhǎng)和面積的大小，可判斷D選項(xiàng)的正誤；【詳解】對(duì)于A選項(xiàng)，設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為2，以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，、、所在直線分別為、、軸建立空間直角坐標(biāo)系，則點(diǎn)、、設(shè)點(diǎn)，平面，則為平面的一個(gè)法向量，且，，，所以，直線與平面所成角的正弦值范圍為，A選項(xiàng)正確；對(duì)于B選項(xiàng)，將矩形與矩形延展為一個(gè)平面，如下圖所示：若最短，則、、三點(diǎn)共線，，，B選項(xiàng)正確.對(duì)于C選項(xiàng)，設(shè)平面交棱于點(diǎn)，點(diǎn)，，平面，平面，，即，得，，所以，點(diǎn)為棱的中點(diǎn)，同理可知，點(diǎn)為棱的中點(diǎn)，則，，而，，且，由空間中兩點(diǎn)間的距離公式可得，，，所以，四邊形為等腰梯形，C選項(xiàng)正確；對(duì)于D選項(xiàng)，當(dāng)與重合時(shí)，連接、、、，在正方體中，平面，平面，，四邊形是正方形，則，，平面，平面，，同理可證，，平面，易知是邊長(zhǎng)為的等邊三角形，其面積為，周長(zhǎng)為.設(shè)、、、、、分別為棱、、、、、的中點(diǎn)，易知六邊形是邊長(zhǎng)為的正六邊形，且平面平面，正六邊形的周長(zhǎng)為，面積為，則的面積小于正六邊形的面積，它們的周長(zhǎng)相等，D選項(xiàng)錯(cuò)誤；故選：ABC【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：涉及幾何體中動(dòng)點(diǎn)按規(guī)律移動(dòng)問(wèn)題，可以建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量的運(yùn)算解決，針對(duì)立體幾何中線段長(zhǎng)度和的最小值問(wèn)題，可以通過(guò)將直線所在兩個(gè)平面延展成一個(gè)平面，然后找到三點(diǎn)共線的位置即為取得最小值的位置.三、填空題13．已知圓與圓有四條公切線，寫(xiě)出一個(gè)實(shí)數(shù)a的可能取值是______．【答案】4（答案不唯一）【分析】根據(jù)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，確定圓心和半徑，由四條公切線，確定圓與圓的位置關(guān)系為外離，可得答案.【詳解】圓的圓心，半徑，圓的圓心，半徑，因?yàn)閮蓤A有四條公切線，所以兩圓外離，又兩圓的圓心距，所以，解得或，所以實(shí)數(shù)a的可能取值為4．故答案為：4（答案不唯一）14．向量，，且，則向量在上的投影向量的坐標(biāo)為_(kāi)_____．【答案】【分析】向量在上的投影向量為，利用公式求解.【詳解】因?yàn)橄蛄浚?，且，所以，解得，所以，所?則向量在上的投影向量的坐標(biāo)為.故答案為：.15．已知圓，直線.若圓上恰有三個(gè)點(diǎn)到直線的距離等于1，則的值為_(kāi)_____.【答案】【分析】由題可知，圓的半徑是2，圓上點(diǎn)到直線距離為1，該距離為半徑的一半，則要使圓上恰有三個(gè)點(diǎn)到直線的距離等于1，則圓心到l的距離為1，據(jù)此即可求解．【詳解】由題可知，圓的圓心為(0，0)，半徑為2，故要使圓上恰有3個(gè)點(diǎn)到l的距離為1，則圓心到直線l的距離為1，即．故答案為：．16．已知橢圓C：的左?右焦點(diǎn)分別是，，過(guò)點(diǎn)的直線交橢圓于A，B兩點(diǎn)，則的內(nèi)切圓面積的最大值為_(kāi)__________.【答案】【分析】設(shè)直線AB的方程為，，，直線方程代入橢圓方程應(yīng)用韋達(dá)定理得，由示面積，并變形后應(yīng)用基本不等式得最大值，從而可得內(nèi)切圓半徑最大值，即得面積最大值．【詳解】解：直線AB的斜率不能為0，但可不存在.設(shè)直線AB的方程為，，，由，得，，，則（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立）.設(shè)的內(nèi)切圓半徑為r，，則，，則的內(nèi)切圓面積的最大值為.故答案為：．四、解答題17．已知點(diǎn)，________，從條件①、條件②、條件③中選擇一個(gè)作為已知條件補(bǔ)充在橫線處，并作答．(1)求直線的方程；(2)求直線：關(guān)于直線的對(duì)稱直線的方程．條件①：點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)為；條件②：點(diǎn)的坐標(biāo)為，直線過(guò)點(diǎn)且與直線垂直；條件③點(diǎn)的坐標(biāo)為，直線過(guò)點(diǎn)且與直線平行．注：如果選擇多個(gè)條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分．【答案】(1)(2)【分析】（1）計(jì)算直線的斜率，根據(jù)直線的平行或垂直關(guān)系得到斜率，代入點(diǎn)得到直線方程.（2）計(jì)算直線的交點(diǎn)，在直線上取一點(diǎn)，求其關(guān)于對(duì)稱的點(diǎn)，根據(jù)交點(diǎn)和對(duì)稱點(diǎn)得到直線方程.【詳解】（1）選擇條件：因?yàn)辄c(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)為，所以是線段的垂直平分線．因?yàn)?，所以直線的斜率為，又線段的中點(diǎn)坐標(biāo)為，所以直線的方程為，即．選擇條件：因?yàn)?，直線與直線垂直，所以直線的斜率為，又直線過(guò)點(diǎn)，所以直線的方程為，即．選擇條件，因?yàn)?，直線與直線平行，所以直線的斜率為，又直線過(guò)點(diǎn)，所以直線的方程為，即．（2），解得，故，的交點(diǎn)坐標(biāo)為，因?yàn)樵谥本€：上，設(shè)關(guān)于對(duì)稱的點(diǎn)為，則，解得，直線關(guān)于直線對(duì)稱的直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，，代入兩點(diǎn)式方程得，即，所以：關(guān)于直線的對(duì)稱直線的方程為．18．如圖，在直三棱柱中，，點(diǎn)分別在棱和棱上，且．(1)設(shè)為中點(diǎn)，求證：平面；(2)求直線與平面所成角的正弦值．【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)【分析】（1）取中點(diǎn)，連接、，即可得到且，從而得到，即可得證；（2）建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量法求出線面角的正弦值；【詳解】（1）證明：取中點(diǎn)，連接、，則，且，所以且，所以四邊形為平行四邊形，所以．又平面，平面，所以平面．（2）解：因?yàn)橹比庵?，所以、、兩兩垂直．分別以、、的方向?yàn)檩S、軸、軸的正方向建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，所以，，，設(shè)平面法向量為，則，，即，令，得到平面的一個(gè)法向量．設(shè)直線與平面所成的角為，則，所以直線與平面所成角的正弦值為．19．已知圓的圓心為原點(diǎn)，且與直線相切，直線過(guò)點(diǎn).(1)若直線與圓相切，求直線的方程；(2)若直線被圓所截得的弦長(zhǎng)為，求直線的方程.【答案】(1)或(2)或【分析】（1）首先根據(jù)圓與直線相切的幾何特征求解圓的方程，再分別討論斜率存在與斜率不存在兩種情況，采用待定系數(shù)法，根據(jù)圓心到直線的距離等于半徑求解切線方程即可；（2）首先根據(jù)弦長(zhǎng)求出圓心到直線的距離，再分別討論斜率存在與斜率不存在兩種情況，采用待定系數(shù)法，根據(jù)圓心到直線的距離求解直線方程即可.【詳解】（1）圓心到直線的距離，圓的半徑為2，所以圓的方程為；當(dāng)直線斜率不存在時(shí)，圓心到直線的距離為，不相切.直線斜率存在，設(shè)直線，由，得或所以切線方程為，或.（2）設(shè)圓心到直線的距離為，則，由，解得.當(dāng)直線斜率不存在時(shí)，直線方程為，圓心到直線的距離，即直線被圓所截得的弦長(zhǎng)為，符合題意；當(dāng)直線斜率存在時(shí)，設(shè)直線，則，解得：，故的方程是，即，綜上所述，直線的方程為或.20．已知橢圓，直線被橢圓截得的線段長(zhǎng)為.(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)過(guò)橢圓的右頂點(diǎn)作互相垂直的兩條直線.分別交橢圓于兩點(diǎn)（點(diǎn)不同于橢圓的右頂點(diǎn)），證明：直線過(guò)定點(diǎn).【答案】(1)(2)證明見(jiàn)解析【分析】（1）根據(jù)直線被橢圓截得的線段長(zhǎng)為可求得交點(diǎn)坐標(biāo)后代入橢圓方程求得值，從而得到橢圓方程.（2）設(shè)互相垂直的兩條直線方程求出它們與橢圓交點(diǎn)的坐標(biāo)，寫(xiě)出直線的方程得到直線恒過(guò)定點(diǎn).【詳解】（1）根據(jù)題意，設(shè)直線與題意交于兩點(diǎn).不妨設(shè)點(diǎn)在第一象限，又長(zhǎng)為，∴，∴∴，故的標(biāo)準(zhǔn)方程為（2）顯然直線的斜率存在且不為0，設(shè)，由得，∴，同理可得當(dāng)時(shí)，，所以直線的方程為整理得，所以直線當(dāng)時(shí)，直線的方程為，直線也過(guò)點(diǎn)所以直線過(guò)定點(diǎn).21．如下圖，在四棱錐中，已知平面，且四邊形為直角梯形，，，．（1）求平面與平面夾角的余弦值；（2）定義：兩條異面直線之間的距離是指其中一條直線上任意一點(diǎn)到另一條直線距離的最小值，利用此定義求異面直線與之間的距離．【答案】（1）；（2）【分析】（1）以為正交基底建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，求出平面PAB和平面PCD的法向量，利用夾角公式求解即可；（2）設(shè)為直線PB上一點(diǎn)，且，利用坐標(biāo)運(yùn)算求出點(diǎn)到直線的距離，求出最值即可.【詳解】解：以為正交基底建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則各點(diǎn)的坐標(biāo)為B（1,0,0），，，（1）因?yàn)槠矫妫颐?，，又，且，AD⊥平面PAB，所以是平面PAB