多元函數(shù)微分學一

多元函數(shù)微分學一1第一頁，共五十一頁，2022年，8月28日一、主要內(nèi)容定義2(點函數(shù))設D是n維空間中的一個點集,如果對于D中的每一個點P,按照一定的法則有確定的數(shù)u與之對應,則稱對應法則是定義在D上的函數(shù).記為點集D稱為這個函數(shù)的定義域.第1節(jié)多元函數(shù)一.定義2第二頁，共五十一頁，2022年，8月28日二.多元函數(shù)定義域定義域為符合實際意義的自變量取值的全體.實際問題中的函數(shù):自變量取值的全體.純數(shù)學問題的函數(shù):定義域為使運算有意義的規(guī)定:分母不為0;負數(shù)不能開偶次方;0和負數(shù)沒有對數(shù);正弦,余弦的絕對值不超過1;00無意義.3第三頁，共五十一頁，2022年，8月28日記作定義2有成立.的極限.設二元函數(shù)P0(x0,y0)是D的聚點.的定義義域為D,如果存在常數(shù)A,也記作三.多元函數(shù)的極限4第四頁，共五十一頁，2022年，8月28日說明(1)定義中(2)二元函數(shù)的極限也叫(doublelimit)的方式是任意的；二重極限.5第五頁，共五十一頁，2022年，8月28日

相同點多元函數(shù)的極限與一元函數(shù)的極限的一元函數(shù)在某點的極限存在的充要?定義相同.差異為必需是點P在定義域內(nèi)以任何方式和途徑趨而多元函數(shù)于P0時,相同點和差異是什么條件是左右極限都存在且相等;都有極限,且相等.6第六頁，共五十一頁，2022年，8月28日確定極限

關于二元函數(shù)的極限概念可相應地推廣到n元函數(shù)上去.不存在的方法則可斷言極限不存在;若極限值與k有關,(1)(2)此時也可斷言找兩種不同趨近方式,但兩者不相等,處極限不存在.存在,沿直線7第七頁，共五十一頁，2022年，8月28日四、多元函數(shù)的連續(xù)性設二元函數(shù)則稱函數(shù)定義3P0(x0,y0)為D的聚點,且P0∈D.如果連續(xù).如果函數(shù)f(x,y)在開區(qū)域(閉區(qū)域)D內(nèi)的每一點連續(xù),則稱函數(shù)在D內(nèi)連續(xù),或稱函數(shù)是D內(nèi)的連續(xù)函數(shù).的定義域為D,8第八頁，共五十一頁，2022年，8月28日有界閉區(qū)域上連續(xù)的多元函數(shù)的性質(zhì)至少取得它的最大值和最小值各一次．介于這兩值之間的任何值至少一次．(1)最大值和最小值定理(2)介值定理在有界閉區(qū)域D上的多元連續(xù)函數(shù),在D上在有界閉區(qū)域D上的多元連續(xù)函數(shù),如果在D上取得兩個不同的函數(shù)值,則它在D上取得9第九頁，共五十一頁，2022年，8月28日第2節(jié)偏導數(shù)一、偏導數(shù)的定義及其計算法定義存在,內(nèi)有定義，函數(shù)有相應的增量如果極限則稱此極限為函數(shù)(稱為關于x的偏增量).記為對x的偏導數(shù),10第十頁，共五十一頁，2022年，8月28日記為或同理,可定義函數(shù)為記為或?qū)的偏導數(shù),對y的偏導數(shù),11第十一頁，共五十一頁，2022年，8月28日那么這個偏導數(shù)仍是的二元函數(shù),它就稱為函數(shù)如果函數(shù)對自變量x的偏導函數(shù)(簡稱偏導數(shù)),記作或同理,可定義函數(shù)對自變量y的偏導函數(shù)(簡稱偏導數(shù)),記作或在區(qū)域D內(nèi)任一點(x,y)處對x的偏導數(shù)都存在,12第十二頁，共五十一頁，2022年，8月28日結(jié)論:

13第十三頁，共五十一頁，2022年，8月28日偏導數(shù)的概念可以推廣到二元以上函數(shù)設則求多元函數(shù)對某個變元的偏導數(shù)時,作關于該變元的一元函數(shù)來求導即可.只要把其他變元當作常量,而把函數(shù)當14第十四頁，共五十一頁，2022年，8月28日二、偏導數(shù)的幾何意義設二元函數(shù)在點有如圖,為曲面偏導數(shù).上的一點,過點作平面此平面與曲面相交得一曲線,曲線的方程為由于偏導數(shù)等于一元函數(shù)的導數(shù)故由一元函數(shù)導數(shù)的幾何意義15第十五頁，共五十一頁，2022年，8月28日可知:偏導數(shù)在幾何上表示曲線在點處的切線對x軸的斜率;偏導數(shù)在幾何上表示曲線在點處的切線對y軸的斜率.16第十六頁，共五十一頁，2022年，8月28日純偏導混合偏導定義三、高階偏導數(shù)高階偏導數(shù).二階及二階以上的偏導數(shù)統(tǒng)稱為17第十七頁，共五十一頁，2022年，8月28日多元函數(shù)的高階混合偏導數(shù)如果連一般地,續(xù)就與求導次序無關.如果函數(shù)的兩個二階混合偏在區(qū)域D內(nèi)定理連續(xù)，那么在導數(shù)該區(qū)域內(nèi)18第十八頁，共五十一頁，2022年，8月28日第3節(jié)全微分及其應用處的全微分.可表示為可微分,在點則稱函數(shù)稱為函數(shù)記作即函數(shù)若在某平面區(qū)域D內(nèi)處處可微時,則稱可微函數(shù).這函數(shù)在D內(nèi)的而不依賴于一、全微分的定義19第十九頁，共五十一頁，2022年，8月28日可微與偏導數(shù)存在有何關系呢？?微分系數(shù)注全微分有類似一元函數(shù)微分的A=?B=?兩個性質(zhì):全微分全微分的定義可推廣到三元及三元以上函數(shù).的線性函數(shù);高階無窮小.20第二十頁，共五十一頁，2022年，8月28日1.可微分的必要條件(可微一定有偏導數(shù)存在).定理1(可微必要條件)如果函數(shù)可微分,且函數(shù)的全微分為二、可微的條件21第二十一頁，共五十一頁，2022年，8月28日都不能保證函數(shù)在該點連續(xù).多元函數(shù)在某點可微是否保證事實上,顯然,答:由全微分的定義有可得多元函數(shù)可微必連續(xù)

連續(xù)的定義?不連續(xù)的函數(shù)上一節(jié)指出,多元函數(shù)在某點各個偏導數(shù)即使都存在,函數(shù)在該點連續(xù)如果函數(shù)可微分,則函數(shù)在該點連續(xù).一定是不可微的.22第二十二頁，共五十一頁，2022年，8月28日根據(jù)可微的定義有下面結(jié)論:23第二十三頁，共五十一頁，2022年，8月28日2.可微分的充分條件定理2(微分充分條件)偏導數(shù)通常把二元函數(shù)的全微分等于它的兩個偏微分之和疊加原理也適用于二元以上函數(shù)的情況.稱為二元函數(shù)的微分符合疊加原理．如三元函數(shù)則24第二十四頁，共五十一頁，2022年，8月28日考慮二元函數(shù)f(x,y)的下面4條性質(zhì):選擇題①f(x,y)在點(x0,

y0)處連續(xù),②f(x,y)在點(x0,

y0)處的兩個偏導數(shù)連續(xù),③f(x,y)在點(x0,

y0)處可微,④f(x,y)在點(x0,

y0)處的兩個偏導數(shù)存在.若用“”表示可由性質(zhì)P推出性質(zhì)Q,則有(A)②③①.(B)③②①.(C)③④①.(D)③①④.25第二十五頁，共五十一頁，2022年，8月28日二、典型例題例1求下面函數(shù)的定義域26第二十六頁，共五十一頁，2022年，8月28日設函數(shù)證明:當P(x,y)沿x軸的方向當P(x,y)沿y軸的方向也有證函數(shù)的極限不存在.無限接近點(0,0)時,同樣,無限接近點(0,0)時,例227第二十七頁，共五十一頁，2022年，8月28日函數(shù)的極限存在且相等.當P(x,y)沿直線y=kx的方向其值隨k的不同而變化.所以,極限不存在．說明函數(shù)取上面兩個無限接近于點(0,0)時,另一方面,無限接近點(0,0)時,設函數(shù)證明:函數(shù)的極限不存在.特殊方向28第二十八頁，共五十一頁，2022年，8月28日極限是否存在？練習取解當P(x,y)沿x軸的方向無限接近點(0,0)時,當P(x,y)沿y軸的方向無限接近點(0,0)時,29第二十九頁，共五十一頁，2022年，8月28日

極限不存在.取極限是否存在？30第三十頁，共五十一頁，2022年，8月28日例3證明函數(shù)分別對于每個自變量x和y都連續(xù),但作為二元函數(shù)在點卻不連續(xù).31第三十一頁，共五十一頁，2022年，8月28日例4求極限解其中32第三十二頁，共五十一頁，2022年，8月28日例5求極限解將分母有理化,得

33第三十三頁，共五十一頁，2022年，8月28日求多元函數(shù)的偏導數(shù)

例6求的偏導數(shù).利用一元函數(shù)只需將y的求導法對x求導即可.看作常量,并不需要新的方法,例7求的偏導數(shù).34第三十四頁，共五十一頁，2022年，8月28日三個偏導數(shù).解

求某一點的偏導數(shù)時,例8變?yōu)橐辉瘮?shù),代入,在點(1,0,2)處的可將其它變量的值再求導,常常較簡單.35第三十五頁，共五十一頁，2022年，8月28日證

偏導數(shù)的記號只是一個整體記號,不能像一元函數(shù)的導數(shù)那樣可看成是分子與分母的微分的商.例936第三十六頁，共五十一頁，2022年，8月28日思考曲線在點(2,4,5)處的切線與x軸正向所成的傾角是多少?解在點(2,4,5)處的切線與y軸正向所成的傾角是多少?思考曲線37第三十七頁，共五十一頁，2022年，8月28日解例10按定義得38第三十八頁，共五十一頁，2022年，8月28日注

但前面已證,此函數(shù)在點(0,0)是不連續(xù)的.按定義得

由以上計算可知,

在點

處可偏導,39第三十九頁，共五十一頁，2022年，8月28日

二元函數(shù)f(x,y)在點(x0,y0)處兩個偏導數(shù)fx(x0,y0),f

y(x0,y0)存在是f(x,y)在該點連續(xù)的().A.充分條件而非必要條件B.必要條件而非充分條件C.充分必要條件D.既非充分條件又非必要條件D40第四十頁，共五十一頁，2022年，8月28日偏導數(shù)例11驗證函數(shù)滿足拉普拉斯方程:41第四十一頁，共五十一頁，2022年，8月28日例12解有42第四十二頁，共五十一頁，2022年，8月28日按定義得43第四十三頁，共五十一頁，2022年，8月28日例1344第四十四頁，共五十一頁，2022年，8月28日例14.設函數(shù)證明:(1)函數(shù)例15.設函數(shù)證明:(1)函數(shù)(2)函數(shù)45第四十五頁，共五十一頁，2022年，8月28日三、堂上練習1.函數(shù)的連續(xù)范圍是____.2.已知函數(shù)3.函數(shù)在_________處間斷.46第四十六頁，共五十一頁，2022年，8月28日4.討論函數(shù)的連續(xù)性.

5.設47第四十七頁，共五十一頁，2022年，8月28日

答案:0解6.設48第四十八頁，共五十