多元函數(shù)極值

多元函數(shù)極值第一頁(yè)，共二十五頁(yè)，2022年，8月28日一、多元函數(shù)的極值1.二元函數(shù)的極值定義1

設(shè)函數(shù)z=f(x,y)在點(diǎn)(x0,y0)的某個(gè)鄰域內(nèi)有定義，

如果對(duì)于該鄰域內(nèi)異于(x0,y0)的點(diǎn)(x,y)都有(或)，

極大值和極小值統(tǒng)稱為極值.則稱f(x0,y0)為函數(shù)f(x,y)的極大值(minimalextremum

)(或極小值maximalextremum

).第二頁(yè)，共二十五頁(yè)，2022年，8月28日

設(shè)函數(shù)z=f(x,y

)在點(diǎn)P0(x0,y0)的偏導(dǎo)數(shù)

極大值點(diǎn)和極小值點(diǎn)統(tǒng)稱為極值點(diǎn).稱為極大值點(diǎn)(或極小值點(diǎn))，使函數(shù)取得極大值的點(diǎn)(或極小值的點(diǎn))(x0,y0)，定理1(極值存在的必要條件)且在點(diǎn)P0

處有極值，

則在該點(diǎn)的偏導(dǎo)數(shù)必為零，即使得偏導(dǎo)數(shù)為0點(diǎn)稱為函數(shù)的駐點(diǎn)(stationarypoint).存在，第三頁(yè)，共二十五頁(yè)，2022年，8月28日例1函數(shù)處有極小值．在例２函數(shù)處有極大值．在處有極大值．在第四頁(yè)，共二十五頁(yè)，2022年，8月28日例3處無(wú)極值．在函數(shù)鞍點(diǎn)saddlepoint

第五頁(yè)，共二十五頁(yè)，2022年，8月28日設(shè)P0(x0,y0)是函數(shù)z=f

(x,y)的駐點(diǎn)，

且函數(shù)在點(diǎn)P0

的某個(gè)鄰域內(nèi)二階偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)，定理2(極值存在的充分條件)令則，(1)

當(dāng)

<0

且A<0

時(shí),f(x0,y0)是極大值，當(dāng)

<0

且A>0

時(shí)，

f(x0,y0)是極小值；也可能沒(méi)有極值.

函數(shù)f(x,y)在點(diǎn)P0(x0,y0)可能有極值，(3)

當(dāng)

=0

時(shí)，(2)

當(dāng)

>0

時(shí)，不是極值；第六頁(yè)，共二十五頁(yè)，2022年，8月28日(1)先求偏導(dǎo)數(shù)

(2)解方程組求出駐點(diǎn)；(3)確定駐點(diǎn)處據(jù)此判斷出極值點(diǎn)，并求出極值.若函數(shù)z=f(x,y)的二階偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)，

就可以按照下列步驟求該函數(shù)的極值：

及的符號(hào)，的值第七頁(yè)，共二十五頁(yè)，2022年，8月28日例4.求函數(shù)解:

第一步求駐點(diǎn).得駐點(diǎn):(1,0),(1,2),(–3,0),(–3,2).第二步判別.在點(diǎn)(1,0)處為極小值;解方程組的極值.求二階偏導(dǎo)數(shù)第八頁(yè)，共二十五頁(yè)，2022年，8月28日在點(diǎn)(3,0)處不是極值;在點(diǎn)(3,2)處為極大值.在點(diǎn)(1,2)處不是極值;第九頁(yè)，共二十五頁(yè)，2022年，8月28日2012年考研數(shù)一練習(xí)：求函數(shù)的極值。先求駐點(diǎn)：得駐點(diǎn)x=e,y=0.再確定A、B、C：最后確定取得極值情況：取得極大值.第十頁(yè)，共二十五頁(yè)，2022年，8月28日練習(xí)：

求函數(shù)的極值.解(1)

求偏導(dǎo)數(shù)(2)

解方程組

得(0,0)及(2,2).第十一頁(yè)，共二十五頁(yè)，2022年，8月28日(3)列表判斷極值點(diǎn).駐點(diǎn)(x0,y0)(0,0)(2,2)結(jié)論極大值f(0,0)=1

f(2,2)不是極值A(chǔ)4B22C+駐點(diǎn)（0,0）（2,2）.第十二頁(yè)，共二十五頁(yè)，2022年，8月28日二、多元函數(shù)的最大值及最小值例

5

使它到三點(diǎn)P1(0,0)、P2(1,0)、P3(0,1)距離的平方和為最小.解l為P

到P1、P2、P3

三點(diǎn)距離的平方和，即因?yàn)樵趚y坐標(biāo)面上找出一點(diǎn)P，設(shè)P(x,y)為所求之點(diǎn)，第十三頁(yè)，共二十五頁(yè)，2022年，8月28日對(duì)x

，y

求偏導(dǎo)數(shù)，有令即解方程組得駐點(diǎn)所以由問(wèn)題的實(shí)際意義，

到三點(diǎn)距離平方和最小的點(diǎn)一定存在，l

可微，又只有一個(gè)駐點(diǎn)，

因此即為所求之點(diǎn).第十四頁(yè)，共二十五頁(yè)，2022年，8月28日練習(xí)：某工廠生產(chǎn)甲乙兩種產(chǎn)品，出售單價(jià)分別為10元和9元，生產(chǎn)x單位的甲和y單位的乙總成本C(x,y)為

400+2x+3y+0.01(3x2+xy+3y2)求兩種產(chǎn)品應(yīng)該如何安排生產(chǎn)量，以使得總利潤(rùn)最大？解：設(shè)P(x,y)為表示產(chǎn)品甲與乙分別生產(chǎn)x與y單位時(shí)所得的總利潤(rùn)．因?yàn)榭偫麧?rùn)等于總收入減去總成本，所以P(x,y)=(10x+9y)-[400+2x+3y+0.01(3x2+xy+3y2)]=8x+6y-0.01(3x2+xy+3y2)-400第十五頁(yè)，共二十五頁(yè)，2022年，8月28日由Px(x,y)=8－0.01(6x+y)=0

Py(x,y)=6－

0.01(x+6y)=0得駐點(diǎn)（120,80）再由Pxx(x,y)=－

0.06<0,Pxy(x,y)=－

0.01<0

Pyy(x,y)=－

0.06<0得B2－AC=(0.01)2－(－

0.06)2<0

所以當(dāng)x=120,y=80時(shí)，P

(120,80)=320為極大值，也是最大值，即甲乙兩產(chǎn)品分別生產(chǎn)120單位和80單位時(shí)，總利潤(rùn)最大。第十六頁(yè)，共二十五頁(yè)，2022年，8月28日練習(xí)：

某廠要用鐵板做成一個(gè)體積為2的有蓋長(zhǎng)方體水箱，問(wèn)長(zhǎng)寬高各取怎樣的尺寸時(shí)，才能使用料最?。看怂涞挠昧厦娣e解：設(shè)水箱的長(zhǎng)為x,寬為y,則其高為求偏導(dǎo)數(shù)第十七頁(yè)，共二十五頁(yè)，2022年，8月28日時(shí)，A取得最小值，根據(jù)題意可知，水箱所用材料的面積的最小值一定存在，并在開(kāi)區(qū)域D(x>0,y>0)內(nèi)取得。又函數(shù)在D內(nèi)只有唯一的駐點(diǎn)，因此可斷定當(dāng)就是說(shuō)，當(dāng)水箱的長(zhǎng)、寬、高均為時(shí)，水箱所用的材料最省。第十八頁(yè)，共二十五頁(yè)，2022年，8月28日三、條件極值極值問(wèn)題無(wú)條件極值:條件極值:條件極值的求法:方法1代入法.求一元函數(shù)的無(wú)條件極值問(wèn)題對(duì)自變量只有定義域限制對(duì)自變量除定義域限制外,還有其它條件限制例如,轉(zhuǎn)化第十九頁(yè)，共二十五頁(yè)，2022年，8月28日方法2拉格朗日乘數(shù)法.如方法1所述,則問(wèn)題等價(jià)于一元函數(shù)可確定隱函數(shù)的極值問(wèn)題,極值點(diǎn)必滿足設(shè)記例如,故故有第二十頁(yè)，共二十五頁(yè)，2022年，8月28日引入輔助函數(shù)輔助函數(shù)F

稱為拉格朗日(Lagrange)函數(shù).利用拉格極值點(diǎn)必滿足則極值點(diǎn)滿足:朗日函數(shù)求極值的方法稱為拉格朗日乘數(shù)法.第二十一頁(yè)，共二十五頁(yè)，2022年，8月28日可用下面步驟來(lái)求：(1)構(gòu)造輔助函數(shù)(2)解聯(lián)立方程組

在實(shí)際問(wèn)題中，往往就是所求的極值點(diǎn).即得可能的極值點(diǎn)(x,y)，第二十二頁(yè)，共二十五頁(yè)，2022年，8月28日例6

將正數(shù)12分成三個(gè)正數(shù)zyx,,之和

使得zyxu23=為最大.解解得唯一駐點(diǎn))2,4,6(，則故最大值為第二十三頁(yè)，共二十五頁(yè)，2022年，8月28日

哪一個(gè)平面例

9經(jīng)過(guò)點(diǎn)(1,1,1)的所有平面中