阿波羅尼斯圓及其應(yīng)用

高考微專題——阿波羅尼斯圓及其應(yīng)用在近幾年的高考中，以阿波羅尼斯圓為背景的考題不斷出現(xiàn)，備受命題者的青睞，下面我們通過一例高考題，講解如何運(yùn)用阿波羅尼斯圓進(jìn)一步加強(qiáng)對與此圓與關(guān)試題的認(rèn)識。一、背景展示阿波羅尼斯是古希臘著名數(shù)學(xué)家，與歐幾里得、阿基米德被稱為亞歷山大時期數(shù)學(xué)三巨匠，他對圓錐曲線有深刻而系統(tǒng)的研究，主要研究成果集中在他的代表作《圓錐曲線》一書，阿波羅尼斯圓是他的研究成果之一.求證：到兩定點(diǎn)的距離的比值是不等于 1的常數(shù)的點(diǎn)的軌跡是圓 . P如圖，點(diǎn) A,B為兩定點(diǎn)，動點(diǎn) P滿足PA PB，則 1時，動點(diǎn)P的軌跡為直線；當(dāng) 1時，動點(diǎn)P的軌跡為圓，A B后世稱之為阿波羅尼斯圓 ．證明：設(shè)AB 2m（m 0）,PA PB．以AB中點(diǎn)為原點(diǎn)，直線 AB為x軸建立平面直角坐標(biāo)系，則A（ m，0），B（m，0）．又設(shè)C（x，y），則由PAPB得:(xm)2y2(xm)2y2，兩邊平方并化簡整理得（:2）x2（2）（2）y222）（12m1x1m1，當(dāng)1時，x0，軌跡為線段AB的垂直平分線；212242m221

2m當(dāng)1時，(x2m)y22，軌跡為以點(diǎn)(2m,0)為圓心，以

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長為半徑的1(1)1圓．二、問題呈現(xiàn)例1、（2015湖北理14）如圖，圓C與x軸相切于點(diǎn)T(1,0)，與y軸正半軸交于兩點(diǎn)A,B（B在A的上方），且AB2．（Ⅰ）圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為；（Ⅱ）過點(diǎn)A任作一條直線與圓．．MNAO:x2y2MA1相交于M,N兩點(diǎn)，下列三個結(jié)論：①；NBMB②NBMA2；③NBMA22．NAMBNAMB

1yBCNAO T x其中正確結(jié)論的序號是 .（寫出所有正確結(jié)論的序號）解析：（Ⅰ）易知半徑r2，所以圓的方程為x122y22；（Ⅱ）方法一：第1頁yB--------.CNM AO T

x因為圓心C(1,2)，E(0,2)又因為AB2，且E為AB中點(diǎn)，所以A0,21,B0,21因為M,N在圓O:x2y21上，可設(shè)M(cos,sin)，N(cos,sin)所以：NA(cos0)2[sin(21)]22(21)(2sin)NB(cos0)2[sin(21)]22(21)(2sin)所以：同理：

NA2(21)(2sin)NB21,2(21)(2sin)MA21NAMAMB，所以：NB2-1，①正確；MBNBMA1(21)2,②正確NA-2MB1NBMA1(21)22，③正確NAMB21所以：①、②、③正確方法一可以改進(jìn)為：設(shè)Px,y為圓C上任意一點(diǎn)，則有：PAx2(y21)24222(21)yPBx2(y21)221，①正確；4222(21)yNBMA21)(21)2，②正確；同理-(NAMBNBMA(21)(21)22，③正確.NAMB這里的第（Ⅰ）問并不很難,只要考生有一定平面幾何基礎(chǔ)既能輕易解出.但第（Ⅱ）問有第2頁難度.這是因為當(dāng)圓O的弦MN繞定點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)時,各有關(guān)線段的長度都在變化 ,從而相應(yīng)線段的比值也就難于確定，方法一運(yùn)算量較大?？墒?,如果你懂得阿波羅圓,且能看出圖中的圓 O正是一例阿波羅圓,則其解法同樣是輕而易舉的 .方法二:yB--------.CENM AO T

xF如上圖所示, 在（Ⅰ）的基礎(chǔ)上易得A(0,21)，B(0,21)，E(0,1),F(0,1)，于是EA2-2，EBEA2-1，2，所以EBFA2，F(xiàn)B2FA2-1，2，所以FB所以：圓O是以A,B為兩定點(diǎn),且比值為21的阿波羅尼斯圓,NA MA故： 2-1，①正確NB MBNBMA1(21)2,②正確NA-2MB1NBMA1(21)22，③正確NAMB21因此：①，②，③3個結(jié)論都成立.方法三：先引進(jìn)一個概念----圓的反演點(diǎn)：己知圓O的半徑為r，從圓心O出發(fā)任作一射線，在射線上任取兩點(diǎn)M，N，OMm,ONn且OMONr2，則稱M，N是關(guān)于圓O的反演點(diǎn)。圓的反演點(diǎn)也可由以下幾何方法獲得，若M在圓外，過M作圓的兩條切線，兩切點(diǎn)的連線與OM的交點(diǎn)就是M的反演點(diǎn)N；若M在圓內(nèi)，則連接OM，過點(diǎn)M作OM的垂線與圓交點(diǎn)處的兩切線的交點(diǎn)即為M的反演點(diǎn)N.在（Ⅰ）的基礎(chǔ)上易得：A(0,21)，B(0,21)，則有OAOB1r2，則點(diǎn)A，B是圓O:x2y21的一對反演點(diǎn)，第3頁DA2221,取圓O上一點(diǎn)D(0,1)，則有2DB所以圓O是以A，B為反演點(diǎn)，比例系數(shù)為21的阿波羅尼斯圓.2y2上任一點(diǎn)P，均有PA21，即對圓O:x1PB故有：NAMA2-1，①正確NBMBNBMA1(21)2,②正確-MB2NA1NBMA1(21)22，③正確.NAMB21練習(xí)1：（2008江蘇卷13）若AB2，AC2BC，則SABC的最大值為解法一：利用余弦定理和函數(shù)的最值問題處理設(shè)AC2BC2x，所以：cosC3x24x424x21622x222x2，1absinCx424x216，則：S42所以：當(dāng)x212時，SABC的最大值為22.該方法從余弦定理入手，雖然入手簡單，但計算量較大，得分率不高 .解法二： 建立平面直角坐標(biāo)系處理最值問題以AB中點(diǎn)為原點(diǎn)，直線AB為x軸建立平面直角坐標(biāo)系，則A（1，0），B（1，0），設(shè)C（x，y），由AC2BC得（x2y22（x2y21）1），2261（288，∴，整理得：3）yxxxy22則SABC12y22，所以SABC的最大值是22．2解法三：利用阿波羅尼斯圓顯然這是一例阿波羅尼斯圓，建立如圖的直角坐標(biāo)系，則A（1，0），B（1，0），因為AC2，得C的軌跡是一個阿波羅尼斯圓，計算得方程：x28，3y2BC設(shè)圓心為M,，顯然當(dāng)CMx軸時，ABC面積最大，此時CM22,第4頁SABCmax122222.2yCA O PB M Q x評注：既然ABC存在，說明其軌跡不包括與x軸的兩個交點(diǎn)P，Q，現(xiàn)在問：P，Q這兩點(diǎn)究竟有什么性質(zhì)？由于PACA2，PBCB∴CP為ABC的內(nèi)角平分線；同理，CQ為ABC的外角平分線.這就是說，P，Q分別是線段AB的內(nèi)分點(diǎn)和外分點(diǎn)，而PQ正是阿氏圓的直徑，于是“阿波羅尼斯圓”在我國又被稱為“內(nèi)外圓”．因此該題又有如下的簡潔解法：因為動點(diǎn)C到定點(diǎn)A（1，0），B（1，0）距離之比為2,則有x12x1，解得：x1322或x23-22，所以x1322為內(nèi)分點(diǎn)，x2322為外分點(diǎn)，圓半徑r1x2x122，即為三角形高的最大值，2即ABC高的最大值是22，故ABC的面積的最大值是22.阿波羅尼斯圓是一個重要的題根 ,在歷次高考中累累出現(xiàn)。我們在學(xué)習(xí)過程中應(yīng)該強(qiáng)化對這一知識點(diǎn)的整理。如果掌握這一知識背景，可以主動引導(dǎo)求解的方向，降低求解的難度。但有些問題中，阿氏圓并不那么明顯，需要對圖形分析后才能找到對應(yīng)的動點(diǎn)具有阿氏圓的特點(diǎn).yA

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x練習(xí)2：（2013江蘇