2022年湖南省湘潭市中考數(shù)學(xué)試卷

第14頁（共14頁）2022年湖南省湘潭市中考數(shù)學(xué)試卷一、選擇題（本大題共8個(gè)小題，每小題3分，共24分．在每小題給出的4個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求，請(qǐng)將正確答案的選項(xiàng)代號(hào)涂在答題卡相應(yīng)的位置上）1．（3分）如圖，點(diǎn)A、B表示的實(shí)數(shù)互為相反數(shù)，則點(diǎn)B表示的實(shí)數(shù)是（A）A．2 B．﹣2 C． D．﹣2．（3分）下列整式與ab2為同類項(xiàng)的是（B）A．a(chǎn)2b B．﹣2ab2 C．a(chǎn)b D．a(chǎn)b2c3．（3分）“冰墩墩”是北京2022年冬季奧運(yùn)會(huì)的吉祥物．該吉祥物以熊貓為原型進(jìn)行設(shè)計(jì)創(chuàng)作，將熊貓形象與富有超能量的冰晶外殼相結(jié)合，體現(xiàn)了冬季冰雪運(yùn)動(dòng)和現(xiàn)代科技特點(diǎn)，冰墩墩玩具也很受歡迎．某玩具店一個(gè)星期銷售冰墩墩玩具數(shù)量如下：星期一星期二星期三星期四星期五星期六星期日玩具數(shù)量（件）35475048426068則這個(gè)星期該玩具店銷售冰墩墩玩具的平均數(shù)和中位數(shù)分別是（C）A．48，47 B．50，47 C．50，48 D．48，504．（3分）下列幾何體中，主視圖是三角形的是（A）A．B． C． D．5．（3分）為培養(yǎng)青少年的創(chuàng)新意識(shí)、動(dòng)手實(shí)踐能力、現(xiàn)場應(yīng)變能力和團(tuán)隊(duì)精神，湘潭市舉辦了第10屆青少年機(jī)器人競賽．組委會(huì)為每個(gè)比賽場地準(zhǔn)備了四條腿的桌子和三條腿的凳子共12個(gè)，若桌子腿數(shù)與凳子腿數(shù)的和為40條，則每個(gè)比賽場地有幾張桌子和幾條凳子？設(shè)有x張桌子，有y條凳子，根據(jù)題意所列方程組正確的是（B）A． B． C． D．6．（3分）在?ABCD中（如圖），連接AC，已知∠BAC＝40°，∠ACB＝80°，則∠BCD＝（C）A．80° B．100° C．120° D．140°7．（3分）在△ABC中（如圖），點(diǎn)D、E分別為AB、AC的中點(diǎn)，則S△ADE：S△ABC＝（D）A．1：1 B．1：2 C．1：3 D．1：48．（3分）中國古代數(shù)學(xué)家趙爽在為《周髀算經(jīng)》作注解時(shí)，用4個(gè)全等的直角三角形拼成正方形（如圖），并用它證明了勾股定理，這個(gè)圖被稱為“弦圖”．若“弦圖”中小正方形面積與每個(gè)直角三角形面積均為1，α為直角三角形中的一個(gè)銳角，則tanα＝（A）A．2 B． C． D．二、選擇題（本題共4小題，每小題3分，共12分．在每小題給出的4個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對(duì)的得3分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分，請(qǐng)將正確答案的選項(xiàng)代號(hào)涂在答題卡相應(yīng)的位置上）（多選）9．（3分）若a＞b，則下列四個(gè)選項(xiàng)中一定成立的是（AC）A．a(chǎn)+2＞b+2 B．﹣3a＞﹣3b C．＞ D．a(chǎn)﹣1＜b﹣1【解答】解：A．a(chǎn)+2＞b+2，∵a＞b，∴a+2＞b+2，故A選項(xiàng)符合題意；B．﹣3a＞﹣3b，∵a＞b，∴﹣3a＜﹣3b，故B選項(xiàng)不符合題意；C．＞，∵a＞b，∴＞，故C選項(xiàng)符合題意；D．a(chǎn)﹣1＜b﹣1，∵a＞b，∴a﹣1＞b﹣1，故D選項(xiàng)不符合題意；故選：AC．（多選）10．（3分）依據(jù)“雙減”政策要求，初中學(xué)生書面作業(yè)每天完成時(shí)間不超過90分鐘．某中學(xué)為了解學(xué)生作業(yè)管理情況，抽查了七年級(jí)（一）班全體同學(xué)某天完成作業(yè)時(shí)長情況，繪制出如圖所示的頻數(shù)分布直方圖：（數(shù)據(jù)分成3組：0＜x≤30，30＜x≤60，60＜x≤90）．則下列說法正確的是（）A．該班有40名學(xué)生 B．該班學(xué)生當(dāng)天完成作業(yè)時(shí)長在30＜x≤60分鐘的人數(shù)最多 C．該班學(xué)生當(dāng)天完成作業(yè)時(shí)長在0＜x≤30分鐘的頻數(shù)是5 D．該班學(xué)生當(dāng)天完成作業(yè)時(shí)長在0＜x≤60分鐘的人數(shù)占全班人數(shù)的80%【解答】解：A選項(xiàng)，10+25+5＝40（名），故該選項(xiàng)符合題意；B選項(xiàng)，該班學(xué)生當(dāng)天完成作業(yè)時(shí)長在30＜x≤60分鐘的人數(shù)最多，故該選項(xiàng)符合題意；C選項(xiàng)，該班學(xué)生當(dāng)天完成作業(yè)時(shí)長在0＜x≤30分鐘的頻數(shù)是10，故該選項(xiàng)不符合題意；D選項(xiàng)，該班學(xué)生當(dāng)天完成作業(yè)時(shí)長在0＜x≤60分鐘的人數(shù)占全班人數(shù)×100%＝87.5%，故該選項(xiàng)不符合題意；故選：AB．（多選）11．（3分）下列計(jì)算正確的是（）A．4a﹣2a＝2 B．a(chǎn)3?a2＝a5 C．（3a2）2＝6a4 D．a(chǎn)6÷a2＝a4【解答】解：A．4a﹣2a＝2，∵4a﹣2a＝2a，故A選項(xiàng)不符合題意；B．a(chǎn)3?a2＝a5，計(jì)算正確，故B選項(xiàng)符合題意；C．（3a2）2＝6a4，∵（3a2）2＝9a4，故C選項(xiàng)不符合題意；D．a(chǎn)6÷a2＝a4，計(jì)算正確，故D選項(xiàng)符合題意；故選：BD．（多選）12．（3分）如圖，小明在學(xué)了尺規(guī)作圖后，作了一個(gè)圖形，其作圖步驟是：①作線段AB＝2，分別以點(diǎn)A、B為圓心，以AB長為半徑畫弧，兩弧相交于點(diǎn)C、D；②連接AC、BC，作直線CD，且CD與AB相交于點(diǎn)H．則下列說法正確的是（）A．△ABC是等邊三角形 B．AB⊥CD C．AH＝BH D．∠ACD＝45°【解答】解：由作法得CD垂直平分AB，AC＝BC＝AB，∴△ABC為等邊三角形，AB⊥CD，AH＝BH，所以A、B、C選項(xiàng)符合題意；∴∠ACD＝∠ACB＝30°．所以D選項(xiàng)不符合題意；故選：ABC．三、填空題（本題共4個(gè)小題，每小題3分，共12分．請(qǐng)將答案寫在答題卡相應(yīng)的位置上）13．（3分）四個(gè)數(shù)﹣1，0，，中，為無理數(shù)的是．14．（3分）請(qǐng)寫出一個(gè)y隨x增大而增大的一次函數(shù)表達(dá)式y(tǒng)＝x﹣2（答案不唯一）．15．（3分）2022年6月5日，神舟十四號(hào)載人飛船在酒泉衛(wèi)星發(fā)射中心發(fā)射成功，飛船入軌后將按照預(yù)定程序與離地面約400000米的天宮空間站進(jìn)行對(duì)接．請(qǐng)將400000米用科學(xué)記數(shù)法表示為4×105米．16．（3分）如圖，一束光沿CD方向，先后經(jīng)過平面鏡OB、OA反射后，沿EF方向射出，已知∠AOB＝120°，∠CDB＝20°，則∠AEF＝40°．【解答】解：∵一束光沿CD方向，先后經(jīng)過平面鏡OB、OA反射后，沿EF方向射出，∴∠EDO＝∠CDB＝20°，∠AEF＝∠OED，在△ODE中，∠OED＝180°﹣∠AOB﹣∠EDO＝180°﹣120°﹣20°＝40°，∴∠AEF＝∠OED＝40°．故答案為：40°．四、解答題（本大題共10個(gè)小題，共72分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟，請(qǐng)將解答過程寫在答題卡相應(yīng)位置上）17．（6分）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A（﹣1，1），B（﹣4，0），C（﹣2，2）．將△ABC繞原點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°后得到△A1B1C1．（1）請(qǐng)寫出A1、B1、C1三點(diǎn)的坐標(biāo)：A1（1，1），B1（0，4），C1（2，2）；（2）求點(diǎn)B旋轉(zhuǎn)到點(diǎn)B1的弧長．解：（1）由圖知，A1（1，1），B1（0，4），C1（2，2），故答案為：（1，1），（0，4），（2，2）；（2）由題意知，點(diǎn)B旋轉(zhuǎn)到點(diǎn)B1的弧所在的圓的半徑為4，弧所對(duì)的圓心角為90°，∴弧長為：＝2π．18．（6分）先化簡，再求值：÷﹣?，其中x＝2．解：原式＝?（x+3）（x﹣3）﹣?＝x+3﹣1＝x+2，當(dāng)x＝2時(shí)，原式＝2+2＝4．19．（6分）如圖，在⊙O中，直徑AB與弦CD相交于點(diǎn)E，連接AC、BD．（1）求證：△AEC∽△DEB；（2）連接AD，若AD＝3，∠C＝30°，求⊙O的半徑．（1）證明：∵∠C＝∠B，∠AEC＝∠DEB，∴△AEC∽△DEB；（2）解：∵∠C＝∠B，∠C＝30°，∴∠B＝30°，∵AB是⊙O的直徑，AD＝3，∴∠ADB＝90°，∴AB＝6，∴⊙O的半徑為3．20．（6分）5月30日是全國科技工作者日，某校準(zhǔn)備舉辦“走近科技英雄，講好中國故事”的主題比賽活動(dòng)．八年級(jí)（一）班由A1、A2、A3三名同學(xué)在班上進(jìn)行初賽，推薦排名前兩位的同學(xué)參加學(xué)校決賽．（1）請(qǐng)寫出在班上初賽時(shí)，這三名同學(xué)講故事順序的所有可能結(jié)果；（2）若A1、A2兩名同學(xué)參加學(xué)校決賽，學(xué)校制作了編號(hào)為A、B、C的3張卡片（如圖，除編號(hào)和內(nèi)容外，其余完全相同），放在一個(gè)不透明的盒子里．先由A1隨機(jī)摸取1張卡片記下編號(hào)，然后放回，再由A2隨機(jī)摸取1張卡片記下編號(hào)，根據(jù)模取的卡片內(nèi)容講述相關(guān)英雄的故事．求A1、A2兩人恰好講述同一名科技英雄故事的概率（請(qǐng)用“畫樹狀圖”或“列表”等方法寫出分析過程）．解：（1）這三名同學(xué)講故事的順序是：A1、A2、A3；A1、A3、A2；A2、A1、A3；A2、A3、A1；A3、A1、A2；A3、A2、A1；共6種等可能的情況數(shù)；（2）根據(jù)題意畫圖如下：共有9種等可能的情況數(shù)，其中A1、A2兩人恰好講述同一名科技英雄故事的有3種，則A1、A2兩人恰好講述同一名科技英雄故事的概率是＝．21．（6分）湘潭縣石鼓油紙傘因古老工藝和文化底蘊(yùn)，已成為石鼓鄉(xiāng)村旅游的一張靚麗名片．某中學(xué)八年級(jí)數(shù)學(xué)興趣小組參觀后，進(jìn)行了設(shè)計(jì)傘的實(shí)踐活動(dòng)．小文依據(jù)黃金分割的美學(xué)設(shè)計(jì)理念，設(shè)計(jì)了中截面如圖所示的傘骨結(jié)構(gòu)（其中≈0.618）：傘柄AH始終平分∠BAC，AB＝AC＝20cm，當(dāng)∠BAC＝120°時(shí)，傘完全打開，此時(shí)∠BDC＝90°．請(qǐng)問最少需要準(zhǔn)備多長的傘柄？（結(jié)果保留整數(shù)，參考數(shù)據(jù)：≈1.732）解：作BE⊥AH于點(diǎn)E，∵∠BAC＝120°，AH平分∠BAC，∴∠BAE＝60°，∴AE＝AB?cos60°＝20×＝10（cm），BE＝AB?sin60°＝20×＝10≈17.32（cm），∵BD＝CD，∠BDC＝90°，∴∠BDE＝45°，∴DE＝BE＝17.32cm，∴AD＝AE+DE＝10+17.32＝27.32（cm），∵，即，解得AH≈72，∴最少需要準(zhǔn)備72cm長的傘柄．22．（6分）百年青春百年夢(mèng)，初心獻(xiàn)黨向未來．為熱烈慶祝中國共產(chǎn)主義青年團(tuán)成立10周年，繼承先烈遺志，傳承“五四”精神．某中學(xué)在“做新時(shí)代好少年，強(qiáng)國有我”的系列活動(dòng)中，開展了“好書伴我成長”的讀書活動(dòng)．為了解5月份八年級(jí)學(xué)生的讀書情況，隨機(jī)調(diào)查了八年級(jí)20名學(xué)生讀書數(shù)量（單位：本），并進(jìn)行了以下數(shù)據(jù)的整理與分析：數(shù)據(jù)收集25354615343675834734數(shù)據(jù)整理本數(shù)0＜x≤22＜x≤44＜x≤66＜x≤8組別ABCD頻數(shù)2m63數(shù)據(jù)分析繪制成不完整的扇形統(tǒng)計(jì)圖：依據(jù)統(tǒng)計(jì)信息回答問題：（1）在統(tǒng)計(jì)表中，m＝9；（2）在扇形統(tǒng)計(jì)圖中，C部分對(duì)應(yīng)的圓心角的度數(shù)為108°；（3）若該校八年級(jí)學(xué)生人數(shù)為200人，請(qǐng)根據(jù)上述調(diào)查結(jié)果，估計(jì)該校八年級(jí)學(xué)生讀書在4本以上的人數(shù)．解：（1）由已知數(shù)據(jù)得B組的頻數(shù)m＝20﹣（2+6+3）＝9，故答案為：9；（2）在扇形統(tǒng)計(jì)圖中，C部分對(duì)應(yīng)的圓心角的度數(shù)為360°×＝108°，故答案為：108°；（3）200×＝90（人），答：估計(jì)該校八年級(jí)學(xué)生讀書在4本以上的有90人．23．（8分）為落實(shí)國家《關(guān)于全面加強(qiáng)新時(shí)代大中小學(xué)勞動(dòng)教育的意見》，某校準(zhǔn)備在校園里利用圍墻（墻長12m）和21m長的籬笆墻，圍成Ⅰ、Ⅱ兩塊矩形勞動(dòng)實(shí)踐基地．某數(shù)學(xué)興趣小組設(shè)計(jì)了兩種方案（除圍墻外，實(shí)線部分為籬笆墻，且不浪費(fèi)籬笆墻），請(qǐng)根據(jù)設(shè)計(jì)方案回答下列問題：（1）方案一：如圖①，全部利用圍墻的長度，但要在Ⅰ區(qū)中留一個(gè)寬度AE＝1m的水池，且需保證總種植面積為32m2，試分別確定CG、DG的長；（2）方案二：如圖②，使圍成的兩塊矩形總種植面積最大，請(qǐng)問BC應(yīng)設(shè)計(jì)為多長？此時(shí)最大面積為多少？解：（1）∵（21﹣12）÷3＝3（m），∴Ⅰ、Ⅱ兩塊矩形的面積為12×3＝36（m2），設(shè)水池的長為am，則水池的面積為a×1＝a（m2），∴36﹣a＝32，解得a＝4，∴DG＝4m，∴CG＝CD﹣DG＝12﹣4＝8（m），即CG的長為8m、DG的長為4m；（2）設(shè)BC長為xm，則CD長度為21﹣3x，∴總種植面積為（21﹣3x）?x＝﹣3（x2﹣7x）＝﹣3（x﹣）2+，∵﹣3＜0，∴當(dāng)x＝時(shí)，總種植面積有最大值為m2，即BC應(yīng)設(shè)計(jì)為m總種植面積最大，此時(shí)最大面積為m2．24．（8分）已知A（3，0）、B（0，4）是平面直角坐標(biāo)系中兩點(diǎn)，連接AB．（1）如圖①，點(diǎn)P在線段AB上，以點(diǎn)P為圓心的圓與兩條坐標(biāo)軸都相切，求過點(diǎn)P的反比例函數(shù)表達(dá)式；（2）如圖②，點(diǎn)N是線段OB上一點(diǎn)，連接AN，將△AON沿AN翻折，使得點(diǎn)O與線段AB上的點(diǎn)M重合，求經(jīng)過A、N兩點(diǎn)的一次函數(shù)表達(dá)式．解：（1）作PC⊥x軸于C，PD⊥y軸于D，則四邊形OCPD是矩形，∵以點(diǎn)P為圓心的圓與兩條坐標(biāo)軸都相切，∴PC＝PD，∴矩形OCPD是正方形，設(shè)PD＝PC＝x，∵A（3，0）、B（0，4），∴OA＝3，OB＝4，∴BD＝4﹣x，∵PD∥OA，∴△PDB∽△AOB，∴，∴，解得x＝，∴P（，），設(shè)過點(diǎn)P的函數(shù)表達(dá)式為y＝，∴k＝xy＝＝，∴y＝；（2）方法一：∵將△AON沿AN翻折，使得點(diǎn)O與線段AB上的點(diǎn)M重合，∴ON＝NM，MN⊥AB，由勾股定理得，AB＝5，∴S△AOB＝S△AON+S△ABN，∴＝+，解得ON＝，∴N（0，），設(shè)直線AN的函數(shù)解析式為y＝mx+，則3m+＝0，∴m＝﹣，∴直線AN的函數(shù)解析式為y＝﹣x+．方法二：利用△BMN∽△BOA，求出BN的長度，從而得出ON的長度，與方法一同理得出答案．25．（10分）在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，直線l經(jīng)過點(diǎn)A，過點(diǎn)B、C分別作l的垂線，垂足分別為點(diǎn)D、E．（1）特例體驗(yàn)：如圖①，若直線l∥BC，AB＝AC＝，分別求出線段BD、CE和DE的長；（2）規(guī)律探究：（Ⅰ）如圖②，若直線l從圖①狀態(tài)開始繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)α（0＜α＜45°），請(qǐng)?zhí)骄烤€段BD、CE和DE的數(shù)量關(guān)系并說明理由；（Ⅱ）如圖③，若直線l從圖①狀態(tài)開始繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)α（45°＜α＜90°），與線段BC相交于點(diǎn)H，請(qǐng)?jiān)偬骄€段BD、CE和DE的數(shù)量關(guān)系并說明理由；（3）嘗試應(yīng)用：在圖③中，延長線段BD交線段AC于點(diǎn)F，若CE＝3，DE＝1，求S△BFC．解：（1）在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB＝45°，∵l∥BC，∴∠DAB＝∠ABC＝90°，∠CAE＝∠ACB＝45°，∴∠DAB＝∠ABD＝45°，∠EAC＝∠ACE＝45°，∴AD＝BD，AE＝CE，∵AB＝AC＝，∴AD＝BD＝AE＝CE＝1，∴DE＝2；（2）（Ⅰ）DE＝BD+CE．理由如下：在Rt△ADB中，∠ABD+∠BAD＝90°，∵∠BAC＝90°，∴∠BAD+∠CAE＝90°，∴∠ABD＝∠CAE，在△ABD和△CAE中，，∴△ABD≌△CAE（AAS）；∴CE＝AD，BD＝AE，∴DE＝AE+AD＝BD+CE．（Ⅱ）DE＝BD﹣CE．理由如下：在Rt△ADB中，∠ABD+∠BAD＝90°，∵∠BAC＝90°，∴∠BAD+∠CAE＝90°，∴∠ABD＝∠CAE，在△ABD和△CAE中，，∴△ABD≌△CAE（AAS）；∴CE＝AD，BD＝AE，∴DE＝AE﹣AD＝BD﹣CE．（3）由（2）可知，∠ABD＝∠CAE，DE＝AE﹣AD＝BD﹣CE∵∠BAC＝∠ADB＝90°，∴△ABD∽△FBA，∴AB：FB＝BD：AB，∵CE＝3，DE＝1，∴AE＝BD＝4，∴AB＝5．∴BF＝．∴S△BFC＝S△ABC﹣S△ABF＝×52﹣×3×＝．26．（10分）已知拋物線y＝x2+bx+c．（1）如圖①，若拋物線圖象與x軸交于點(diǎn)A（3，0），與y軸交點(diǎn)B（0，﹣3），連接AB．（Ⅰ）求該拋物線所表示的二次函數(shù)表達(dá)式；（Ⅱ）若點(diǎn)P是拋物線上一動(dòng)點(diǎn)（與點(diǎn)A不重合），過點(diǎn)P作PH⊥x軸于點(diǎn)H，與線段AB交于點(diǎn)M，是否存在點(diǎn)P使得點(diǎn)M是線段PH的三等分點(diǎn)？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．（2）如圖②，直線y＝x+n與y