應(yīng)用數(shù)理統(tǒng)計(jì)-回歸分析

第五章回歸分析回歸分析是對(duì)變量之間作相關(guān)分析，并由實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)建立因變量y（R.V）與多個(gè)變量（自變量）x1，x2，…，xk之間的數(shù)學(xué)模型，并對(duì)模型作檢驗(yàn)以及作短期的預(yù)測(cè)．1、一元線性回歸設(shè)y＝a+bx+ε，為y與x線性回歸的數(shù)學(xué)模型y~，…，，由散點(diǎn)圖大致描繪出y與x呈線性關(guān)系yi＝a+bxi+εi，εi~2，…，n．或ε~，由n組實(shí)測(cè)值，,i＝1，回歸分析是由n對(duì)實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)估計(jì)參數(shù)、建立線性回歸方程，稱εi為殘差，其殘差平方和Q(a，b)＝，由最小二乘法使誤差平方和達(dá)最小，即minQ(a，b)．＝－2＝0＝＝0或，得＝由，（表明、一定在回歸直線上）為二元一次線性方程組，其系數(shù)行列式＝－＝≠0，所以方程組有唯一組解，唯一的最小點(diǎn)，b＝＝＝一元回歸分析得所求線性回歸方程為其中，．＝，為x、y的交叉乘積和；＝＝－＝，為x的離差平方和；，為y的（總的）離差平方和．例6.1為研究建材產(chǎn)量與基建投資之間的相關(guān)關(guān)系以及建立他們的線性關(guān)系式，統(tǒng)計(jì)了某市一年12月相關(guān)數(shù)據(jù)，如下：基建投資x（億13.5514.3815.5215.1717.4817.6320.0523.1425.2525.8824.8327.40元）建材產(chǎn)量y（萬(wàn)7.658.098.317.888.908.419.5311.0111.1911.1310.7711.35噸）解：（1）建立y與x的回歸方程＝240.28，＝1111.01，＝114.22，＝5089.84，＝2367.19，n＝12，＝20.02，＝9.52，＝＝＝＝280.2352，＝80.1052，＝23.4452，則＝＝0.286，＝9.52－20.02×0.286＝3.79，所以所求一元線性回歸方程為回代原始數(shù)據(jù)．＝13.55，＝7.65，＝3.79+13.55×0.286＝7.6653；又對(duì)＝27.40，＝11.35，＝3.79+27.40×0.286＝11.6264，有一定誤差但在可控范圍內(nèi)．（2）給出x、y的樣本相關(guān)系數(shù)并檢驗(yàn)X、Y的相關(guān)系數(shù)＝＝，樣本相關(guān)系數(shù)為R，則R2＝＝＝0.9767，R＝0.9983．一般＜1，表明建材產(chǎn)量與基建投資以98.83%存在著相關(guān)關(guān)系，1.17%是由隨機(jī)誤差影響所致．H0：ρ＝0；H1：ρ≠0，可以證明T＝~t(n－2)，拒絕域T＞，對(duì)＝0.05查表＝2.2281，樣本值T＝0.9983×＝20.4742.2281，表明x、y有顯著的相關(guān)性，或由相關(guān)關(guān)系表R＝0.9983＞r0.05＝0.576．（3）回歸方程的顯著性檢驗(yàn)（線性顯著性）H0：b＝0，不顯著；H1：b≠0顯著．1°稱U＝為回歸平方和，＝＝＝＝．2°由＝＝＝－＝＝，其中故＝，＝，＝＝，＝＝＝1．3°由yi＝a+bxi+εi，yi~，＝，＝，由于正態(tài)分布的線性組合仍然服從正態(tài)分布，所以＝＝＝+＝b，＝＝＝，，標(biāo)準(zhǔn)化~．4°當(dāng)H0成立時(shí)，b＝0~(1)，即~(1)，殘差平方和Q＝＝＝+－＝+U—＝＝+U—－U（離差平方和的分解）又＝~及-分布的可加性（T檢驗(yàn)法）當(dāng)H0成立時(shí)，α＝0.05，拒絕域5°由樣本值＝＞．U＝Q＝＝0.286×80.1052＝22.91，－U＝23.4452－22.91＝0.5352，T＝＝＝20.669＞＝2.2281，拒絕H0表明y與x是有顯著的線性相關(guān)關(guān)系．（4）整個(gè)回歸方程的檢驗(yàn)H0：整體回歸方程不顯著；H1：整體回歸方程顯著F＝＝~F(1，n－2)（F檢驗(yàn)法）．方差分析表方差來(lái)源回歸平方和U＝22.91自由度1均方22.91F值428.01殘差總離差Q＝0.5352Lyy＝23.445100.0535211對(duì)α＝0.01，查表＝＝10.04，F(xiàn)＝428.01＝10.04整個(gè)回歸方程高度顯著．（5）對(duì)方差作估計(jì)，由＝＝n－2，＝令＝為的估計(jì)量，是的一個(gè)無(wú)偏估計(jì)量，由樣本值＝＝0.05352．（6）預(yù)測(cè)1°點(diǎn)預(yù)測(cè)若已知＝30.16，則＝3.79+0.286×30.16＝12.416．2°區(qū)間預(yù)測(cè)可以證明，，當(dāng)＝30.16，則＝[12.416±0.6206]＝[11.7954，13.0366]．2、多元線性回歸設(shè)y＝b0+b1x1+…+bkxk+ε，ε~，…，，k個(gè)自變量x1，x2…xk，n組實(shí)測(cè)值，，，εi~殘差平方和Q＝＝，分別對(duì)b0，b1，b2，…，bk求偏導(dǎo)數(shù)，并令其為零，得k+1個(gè)方程、k+1個(gè)未知數(shù)的正規(guī)線性方程組，其矩陣形式為XTXB＝XTY．若≠0，B＝，其中X＝，為一個(gè)k+1階矩陣，＝，為k+1維列向量，＝，為n維列向量，則為k+1維列向量．多元線性回歸方程．例1某銀行前5月的利潤(rùn)與兩個(gè)投資項(xiàng)目有相關(guān)關(guān)系．月份利潤(rùn)y（百萬(wàn)）項(xiàng)目一（億元）項(xiàng)目二（億元）12345318353152454646建立二元線性回歸方程，，＝20≠0，，，，，＝4+2.5－1.5．回代檢驗(yàn)當(dāng)