2018高考數(shù)學(xué)備考黃金易錯點專題06三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)(易錯起源)

2018高考數(shù)學(xué)備考黃金易錯點專題06三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)（易錯發(fā)源）1.【122π3A.把C1上各點的橫坐標伸長到本來的2倍，縱坐標不變，再把獲得的曲線向右平移π個單位長度，獲得曲6線2CB.把C1上各點的橫坐標伸長到本來的2倍，縱坐標不變，再把獲得的曲線向左平移π個單位長度，獲得12曲線2CC.把C1上各點的橫坐標縮短到本來的1倍，縱坐標不變，再把獲得的曲線向右平移π個單位長度，獲得曲26線C2D.把C1上各點的橫坐標縮短到本來的1倍，縱坐標不變，再把獲得的曲線向左平移π個單位長度，獲得212曲線C2【答案】D22.【2017課標1，理17】△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為aa，b，c，已知△ABC的面積為3sinA（1）求sinsin;BC（2）若6coscos=1，a=3，求△的周長.BCABC【答案】（1）2.（2）333.3【分析】1）由題設(shè)得由正弦定理得

121aaacsinB，即csinB.23sinA23sinA1sinAsinCsinB.23sinA2故sinBsinC.3（2）由題設(shè)及（1）得cosBcosC1,，即cosBC1sinBsinC.22所以BC2，故A.3312由題設(shè)得a，即bc8.bcsinA23sinA由余弦定理得2c29，即b29，得bc33.c3bcbbc故△ABC的周長為333.πππ3．已知函數(shù)f(x)＝sin(ωx＋φ)ω>0，|φ|≤2，x＝－4為f(x)的零點，x＝4為y＝f(x)圖象的對π5π稱軸，且f(x)在18，36上單一，則ω的最大值為( )A．11B．9C．7D．5答案B4．已知函數(shù)f(x)＝sinωx＋ππ.為了獲得函數(shù)g(x)(x∈R，ω>0)圖象的相鄰兩條對稱軸之間的距離為52＝cosωx的圖象，只需將y＝f(x)的圖象( )3πA．向左平移20個單位長度B．向右平移3π個單位長度20πC．向左平移5個單位長度πD．向右平移5個單位長度答案A分析先求出周期確立ω，求出兩個函數(shù)分析式，而后聯(lián)合平移法例求解．因為函數(shù)f(x)圖象的相鄰兩條對稱軸之間的距離為π2，則其最小正周期T＝π，2π(x)＝sin2x＋π所以ω＝T＝2，即f5，g(x)＝cos2x.2π3ππ把g(x)＝cos2x變形得g(x)＝sinx＋＝sin[2(x＋20)＋5]，所以要獲得函數(shù)g(x)的圖象，只需將2f(x)的圖象向左平移3π個單位長度．應(yīng)選A.205．如圖，函數(shù)f(x)＝Asin(ωx＋φ)(此中A>0，ω>0，|φ|≤π)與坐標軸的三個交點P、Q、R滿足P(2,0)，2∠PQR＝π4，M為QR的中點，PM＝25，則A的值為( )816A.33B.33C．8D．16答案B分析由題意設(shè)(0)，(0，－a)(a>0)．Qa,Ra則M(2，－2)，由兩點間距離公式得，a2a2TπPM＝－2＋2＝25，解得a1＝8，a2＝－4(舍去)，由此得，2＝8－2＝6，即T＝12，故ω＝6，由(2,0)得φ＝－π，代入f(x)＝sin(ω＋φ)得，P3Ax(x)＝Asin(πx－π)，63π16從而f(0)＝Asin(－3)＝－8，得A＝33.6．義在區(qū)間[0,3π]上的函數(shù)y＝sin2x的圖象與y＝cosx的圖象的交點個數(shù)是________．答案7分析在區(qū)間[0,3π]上分別作出y＝sin2x和y＝cosx的簡圖以下：由圖象可得兩圖象有7個交點．7．已知函數(shù)f(x)＝2asinωx·cosωx＋23cos2ω－3(a>0，ω>0)的最大值為，1，2是會合＝x2xxM{x∈R|f( )＝0}中的隨意兩個元素，且|x1－2|的最小值為6.xx求函數(shù)f(x)的分析式及其圖象的對稱軸方程；(2)將函數(shù)y＝f(x)的圖象向右平移2個單位后獲得函數(shù)y＝g(x)的圖象，當(dāng)x∈(－1,2]時，求函數(shù)h(x)＝(x)·g(x)的值域．解(1)f()＝2sinω·cosω＋23cos2－3＝sin2ω＋3cos2ω.xaxx由題意知f(x)的最小正周期為12，2ππ則2ω＝12，得ω＝12.由f(x)的最大值為2，得a2＋3＝2，又a>0，所以a＝1.于是所求函數(shù)的分析式為f(x)＝sin

π6x＋

3cos

π6x＝2sin

ππ6x＋3

，令πx＋π＝π＋kπ(k∈Z)，632解得x＝1＋6k(k∈Z)，即函數(shù)f(x)圖象的對稱軸方程為x＝1＋6k(k∈Z)．πππ(2)由題意可得g(x)＝2sin[6(x－2)＋3]＝2sin6x，所以(x)＝(x)·()＝4sinπx＋π·sinπhfgx636x2sin2π6x＋23sinπ6x·cosπ6xππ1－cos3x＋3sin3x＝1＋2sinπ－π3x6.ππππ當(dāng)x∈(－1,2]時，3x－6∈(－2，2]，ππ所以sin3x－6∈(－1,1]，即1＋2sin

πx－π36

∈(－1,3]

，于是函數(shù)

h(x)的值域為

(－1,3]

．易錯發(fā)源1、三角函數(shù)的看法、引誘公式及同角關(guān)系式222π例1、(1)點P從(1,0)出發(fā)，沿單位圓x＋y＝1逆時針方向運動3弧長抵達Q點，則Q點的坐標為( )1331A．(－，)B．(－，－)22221331C．(－，－)D．(－，)2222已知sinα＋2cosα＝0，則2sinαcosα－cos2α的值是________．答案(1)A(2)－1(1)已知點Psin3π3π【變式研究】，cos落在角θ的終邊上，且θ∈[0,2π)，則θ的值為()44π3π5π7πA.4B.4C.4D.4(2)如圖，以O(shè)x為始邊作角α(0<α<π)，終邊與單位圓訂交于點P，已知點P的坐標為34－，5，則5sin2α＋cos2α＋1＝________.1＋tanα18答案(1)D(2)25cos3－cosπ4π4分析(1)tanθ＝3＝π＝－1，sin4πsin43π3π又sin4>0，cos4<0，7π所以θ為第四象限角且θ∈[0,2π)，所以θ＝4.由三角函數(shù)定義，34得cosα＝－5，sinα＝5，2＝2cos∴原式＝2sinαcosα＋2cosααα＋cosαsinαsinα＋cosα1＋cosαcosα＝2cos2α＝2×－32＝18.525【名師點睛】波及與圓及角相關(guān)的函數(shù)建模問題(如鐘表、摩天輪、水車等)，常常借助三角函數(shù)的定義求解．應(yīng)用定義時，注意三角函數(shù)值僅與終邊地點相關(guān)，與終邊上點的地點沒關(guān)．應(yīng)用引誘公式時要弄清三角函數(shù)在各個象限內(nèi)的符號；利用同角三角函數(shù)的關(guān)系化簡過程要依據(jù)必定的原則，如切化弦、化異為同、化高為低、化繁為簡等．【神機秒術(shù)，戰(zhàn)勝自我】1．三角函數(shù)：設(shè)α是一個隨意角，它的終邊與單位圓交于點P(x，y)，則sinα＝y(tǒng)，cosα＝x，tanα＝y(tǒng)x.各象限角的三角函數(shù)值的符號：一全正，二正弦，三正切，四余弦．22sinα2．同角關(guān)系：sinα＋cosα＝1，＝tanα.kπ3．引誘公式：在2＋α，k∈Z的引誘公式中“奇變偶不變，符號看象限”．易錯發(fā)源2、三角函數(shù)的圖象及應(yīng)用例、要獲得函數(shù)y＝sin4x－π的圖象，只需將函數(shù)y＝sin4x的圖象( )2(1)3A．向左平移πB．向右平移π12個單位12個單位ππC．向左平移3個單位D．向右平移3個單位(2)函數(shù)f(x)＝sin(ω＋φ)(，ω，φ為常數(shù)，>0，ω>0，0<φ<π)的圖象以以下圖，則f(π)的值為AxAA3________．答案(1)B(2)1(1)∵y＝sin4x－π4x－π分析3＝sin12，∴要獲得yπ的圖象，只需將函數(shù)y＝sin4x的圖象向右平移π個單位．＝sin4x－312依據(jù)圖象可知，A＝2，34T＝1112π－π6，所以周期T＝π，由ω＝2πT＝2.π又函數(shù)過點(6，2)，所以有sin(2×π＋φ)＝1，而0<φ<π，6所以φ＝π，則f(x)＝2sin(2x＋π)，66π2ππ所以f(3)＝2sin(3＋6)＝1.【變式研究】(1)已知函數(shù)f(x)＝sinωx＋π(x∈R，ω>0)的最小正周期為π，為了獲得函數(shù)g(x)＝cosωx3的圖象，只需將y＝f(x)的圖象( )A．向左平移π12個單位長度πB．向右平移12個單位長度C．向左平移π個單位長度3D．向右平移π3個單位長度(2)如圖，某港口一天6時到18時的水深變化曲線近似滿足函數(shù)y＝3sinπx＋φ＋k，據(jù)此函數(shù)可知，這6段時間水深(單位：m)的最大值為( )A．5B．6C．8D．10答案(1)A(2)C【名師點睛】已知函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的圖象求分析式時，常采納待定系數(shù)法，由圖中的最高點、最低點或特別點求A；由函數(shù)的周期確立ω；確立φ常依據(jù)“五點法”中的五個點求解，此中一般把第一個零點作為打破口，能夠從圖象的起落找準第一個零點的地點．(2)在圖象變換過程中務(wù)必分清是先相位變換，還是先周期變換．變換不過相關(guān)于此中的自變量x而言的，假如x的系數(shù)不是1，就要把這個系數(shù)提取后再確立變換的單位長度和方向．【神機秒術(shù)，戰(zhàn)勝自我】函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)的圖象“五點法”作圖：π3π設(shè)z＝ωx＋φ，令z＝0，2，π，2，2π，求出x的值與相應(yīng)的y的值，描點、連線可得．(2)圖象變換：向左φ或向右φy＝sin(x＋φ)y＝sinx―――――――――→平移|φ|個單位10)倍橫坐標變成本來的(縱坐標不變y＝sin(x＋)縱坐標變成本來的AA倍―――――――――――→y＝Asin(ωx＋φ)．橫坐標不變易錯發(fā)源3、三角函數(shù)的性質(zhì)例、已知函數(shù)f(x)＝sinπ－xsinx－2323cosx.求f(x)的最小正周期和最大值；2π談?wù)揻(x)在6，3上的單一性．解

(1)f(x)＝sin

π2－x

sin

x－

23cosx31332x－π3＝cosxsinx－2(1＋cos2x)＝2sin2x－2cos2x－2＝sin3－2，所以f(x)的最小正周期為π，最大值為2－3.2【變式研究】設(shè)函數(shù)f(x)＝2cos2x＋sin2x＋a(a∈R)．求函數(shù)f(x)的最小正周期和單一遞加區(qū)間；π(2)當(dāng)x∈[0，6]時，f(x)的最大值為2，求a的值，并求出y＝f(x)(x∈R)的對稱軸方程．解(1)f()＝2cos2＋sin2x＋＝1＋cos2x＋sin2x＋＝2sin(2x＋π)＋1＋，42π則f(x)的最小正周期T＝2＝π，πππ且當(dāng)2kπ－2≤2x＋4≤2kπ＋2(k∈Z)，3ππ即kπ－8≤x≤kπ＋8(k∈Z)時，f(x)單一遞加．3ππ所以[kπ－8，kπ＋8](k∈Z)為f(x)的單一遞加區(qū)間．當(dāng)x∈[0，π]時?π≤2x＋π≤7π，64412當(dāng)2＋π＝π，即x＝π時，sin(2x＋π)＝1.x4284所以f(x)max＝2＋1＋＝2?a＝1－2.a由

ππ2x＋4＝kπ＋2(k∈Z)，kππ得x＝2＋8(k∈Z)，故y＝f()的對稱軸方程為x＝kπ＋π，∈Z.28【名師點睛】函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)的性質(zhì)及應(yīng)用的求解思路第一步：先借助三角恒等變換及相應(yīng)三角函數(shù)公式把待求函數(shù)化成y＝Asin(ωx＋φ)＋B的形式；第二步：把“ωx＋φ”視為一個整體，借助復(fù)合函數(shù)性質(zhì)求y＝Asin(ωx＋φ)＋B的單一性及奇偶性、最值、對稱性等問題．【神機秒術(shù)，戰(zhàn)勝自我】1．三角函數(shù)的單一區(qū)間：πππ3πy＝sinx的單一遞加區(qū)間是[2kπ－2，2kπ＋2](k∈Z)，單一遞減區(qū)間是[2kπ＋2，2kπ＋2](k∈Z)；y＝cosx的單一遞加區(qū)