積化及差和及差化積公式(教員版)

...wd......wd......wd...積化和差與和差化積公式、和角、倍半角公式復(fù)習(xí)課基本公式復(fù)習(xí) 1、兩角和與差公式及規(guī)律2二倍角公式及規(guī)律3、積化和差與和差化積公式生動(dòng)的口訣：〔和差化積〕口訣生動(dòng)的口訣：〔和差化積〕口訣正加正，正在前，余加余，余并肩正減正，余在前，余減余，負(fù)正弦反之亦然和差化積公式是積化和差公式的逆用形式，要注意的是：

①其中前兩個(gè)公式可合并為一個(gè)：sinθ+sinφ=2sincos②積化和差公式的推導(dǎo)用了“解方程組〞的思想，和差化積公式的推導(dǎo)用了“換元〞思想。

③只有系數(shù)絕對(duì)值一樣的同名函數(shù)的和與差，才能直接運(yùn)用公式化成積的形式，如果一個(gè)正弦與一個(gè)余弦的和或差，那么要先用誘導(dǎo)公式化成同名函數(shù)后再運(yùn)用公式化積。

④合一變形也是一種和差化積。

⑤三角函數(shù)的和差化積，可以理解為代數(shù)中的因式分解，因此，因式分解在代數(shù)中起什么作用，和差化積公式在三角中就起什么作用。

3、積化和差與積差化積是一種孿生兄弟，不可別離，在解題過(guò)程中，要切實(shí)注意兩者的交替使用。如在一般情況下，遇有正、余弦函數(shù)的平方，要先考慮降冪公式，然后應(yīng)用和差化積、積化和差公式交替使用進(jìn)展化簡(jiǎn)或計(jì)算。和積互化公式其基本功能在于：當(dāng)和、積互化時(shí)，角度要重新組合，因此有可能產(chǎn)生特殊角；構(gòu)造將變化，因此有可能產(chǎn)生互消項(xiàng)或互約因式，從而利于化簡(jiǎn)求值。正因?yàn)槿绱恕昂?、積互化〞是三角恒等變形的一種基本手段。sinα+sinβ=2sin[(α+β)/2]·cos[(α-β)/2]的證明過(guò)程因?yàn)閟in(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ，sin(α-β)=sinαcosβ-cosαsinβ，將以上兩式的左右兩邊分別相加，得sin(α+β)+sin(α-β)=2sinαcosβ，設(shè)α+β=θ，α-β=φ那么α=(θ+φ)/2,β=〔θ-φ〕/2把α，β的值代入，即得sinθ+sinφ=2sin[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ〕/2]cos(α-β)-cos(α+β)=[(cosαcosβ+sinαsinβ)-(cosαcosβ-sinαsinβ)]=2sinαsinβsinαsinβ=-1/2[-2sinαsinβ]=-1/2[(cosαcosβ-sinαsinβ)-(cosαcosβ+sinαsinβ)]=-1/2[cos(α+β)-cos(α-β)]其他的3個(gè)式子也是一樣的證明方法。4、萬(wàn)能公式證：注意：1、上述三個(gè)公式統(tǒng)稱為萬(wàn)能公式。2、這個(gè)公式的本質(zhì)是用半角的正切表示正弦、余弦、正切，即：所以利用它對(duì)三角式進(jìn)展化簡(jiǎn)、求值、證明，可以使解題過(guò)程簡(jiǎn)潔3、上述公式左右兩邊定義域發(fā)生了變化，由左向右定義域縮小。應(yīng)注意的問(wèn)題1、兩角差的余弦公式是本章中其余公式的根基，應(yīng)記準(zhǔn)該公式的形式.2、倍角公式有升、降冪的功能，如果升冪，那么角減半，如果降冪，那么角加倍，根據(jù)條件靈活選用.3、公式的“三用〞〔順用、逆用、變用〕是熟練進(jìn)展三角變形的前提.3、整體原那么-------從角度關(guān)系、函數(shù)名稱差異、式子構(gòu)造特征分析入手，尋求三角變形的思維指向；4、角度配湊方法，其中是任意角。三、例題講解例1α，β均為銳角，sinα=，求α+β的值。解析：由條件有cosα=，且0＜α+β＜π。又cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ例2求假設(shè)求的值．解當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，故當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，例3求的值；當(dāng)時(shí)，求的值．解〔１〕 ［方法１］ 從而， ［方法２］設(shè)〔２〕由可得例4求的值.解例5求的值.解將兩條件式分別平方，得將上面兩式相加，得例6的值等于〔〕 A．B．C．D．解應(yīng)選B.例7cos(α－β)=都是銳角，求cos(α+β)的值。解析：由條件有因?yàn)?＜sin2α=，所以0＜2α＜，所以0＜α＜。 ①又因?yàn)?＜β＜，所以＜-β＜0 。 ②由①、②得＜α-β＜。又因?yàn)閏os〔α-β〕=，所以。=。從而cos(α+β)=cos[2α-(α-β)]=cos2αcos(α-β)+sin2αsin(α-β)評(píng)析：本例通過(guò)0＜sin2α=，發(fā)現(xiàn)了隱含條件：0＜α＜，將α-β的范圍縮小為，進(jìn)而由cos(α-β)=,將α-β的范圍確定為，從而防止了增解。例8，且tanα,tnaβ是一元二次方程的兩個(gè)根，求α+β的值。解析：由條件得tanα+tanβ=，tanαtanβ=4＞0，所以tanα＜0，tanβ＜0。又因?yàn)?，所以所?π＜α+β＜0。又因?yàn)閠an(α+β)==所以α+β=。評(píng)析：本例根據(jù)韋達(dá)定理tanα+tanβ=，tanαtanβ=4，挖掘出了隱含條件tanα＜0,tanβ＜0，知，，得出了α+β確實(shí)切范圍，從而順利求解。例9，求①；②．解：①=；②．例10，的值．解：，又因?yàn)椤病臣?，所以，即，所以．注：“〞與“未知〞的聯(lián)系是“=〞，從而目標(biāo)是求出的值．例11且是第二象限的角，求．解：∵是第二象限的角，∴，即，∴==．注：“未知〞與“〞和“〞的聯(lián)系顯然是“〞．例12．解：∵∴又所以可知是第一象限的角，是第三象限的角．∴∴，．注：“未知〞與“〞和“〞的聯(lián)系顯然是“〞．例13求〔１〕〔２〕．解：解法一：……①……②①＋②得：＝；②－①得：，即，所以＝．解法二：把和差化積得：……③……④③２＋④２得：即∴．③÷④得：∴＝．注：求利用方法一簡(jiǎn)單，求利用方法二簡(jiǎn)單．一般地，兩角的正余弦的和與差，求兩角和與差的正余弦，往往采用和差化積或者平方后求和與差．【課堂練習(xí)1】1．cos105°的值為〔〕A．eq\f(eq\r(6)＋eq\r(2),4)B．eq\f(eq\r(6)－eq\r(2),4)C．eq\f(eq\r(2)－eq\r(6),4)D．eq\f(－eq\r(6)－eq\r(2),4)2．對(duì)于任何α、β∈〔0，eq\f(π,2)〕，sin(α+β)與sinα+sinβ的大小關(guān)系是〔〕A．sin(α+β)＞sinα+sinβB．sin(α+β)＜sinα+sinβC．sin(α+β)=sinα+sinβD．要以α、β的具體值而定3．π＜θ＜eq\f(3π,2)，sin2θ=a，那么sinθ+cosθ等于〔〕A．eq\r(a+1)B．－eq\r(a+1)C．eq\r(a2+1)D．±eq\r(a2+1)4．tanα=eq\f(1,3)，tanβ=eq\f(1,3)，那么cot(α+2β)=．5．tanx=eq\f(1,2)，那么cos2x=．【課堂練習(xí)2】求以下各式的值1．cos200°cos80°+cos110°cos10°=．2．eq\f(1,2)〔cos15°+eq\r(3)sin15°〕=．3．化簡(jiǎn)1+2cos2θ－cos2θ=．4．cos(20°+x)cos(25°－x)－cos(70°－x)sin(25°－x)=．5．eq\f(1,1－tanθ)－eq\f(1,1＋tanθ)=．【課后反響1】1．0＜α＜eq\f(π,2)＜β＜π，sinα=eq\f(3,5)，cos(α+β)=－eq\f(4,5)，那么sinβ等于〔〕A．0B．0或eq\f(24,25)C．eq\f(24,25)D．0或－eq\f(24,25)2．eq\f(sin7°+cos15°sin8°,cos7°－sin15°sin8°)的值等于〔〕A．2+eq\r(3)B．eq\f(2+eq\r(3),2)C．2－eq\r(3)D．eq\f(2－eq\r(3),2)3．△ABC中，3sinA+4cosB=6，4sinB+3cosA=1，那么∠C的大小為〔〕A．eq\f(π,6)B．eq\f(5π,6)C．eq\f(π,6)或eq\f(5π,6)D．eq\f(π,3)或eq\f(2π,3)4．假設(shè)α是銳角，且sin(α－eq\f(π,6))=eq\f(1,3)，那么cosα的值是．5．coseq\f(π,7)coseq\f(2π,7)coseq\f(3π,7)=．6．tanθ=eq\f(1,2)，tanφ=eq\f(1,3)，且θ、φ都是銳角．求證：θ+φ=45°．7．cos(α－β)=－eq\f(4,5)，cos(α+β)=eq\f(4,5)，且〔α－β〕∈〔eq\f(π,2)，π〕，α+β∈〔eq\f(3π,2)，2π〕，求cos2α、cos2β的值．sin(α+β)=eq\f(1,2)，且sin(π+α－β)=eq\f(1,3)，求eq\f(tanα,tanβ)．【課后反響2】1．cos75°+cos15°的值等于〔〕A．eq\f(eq\r(6),2)B－eq\f(eq\r(6),2)C．－eq\f(eq\r(2),2)D．eq\f(eq\r(2),2)2．a(chǎn)=eq\f(eq\r(2),2)〔sin17°+cos17°〕，b=2cos213°－1，c=eq\f(eq\r(2),2)，那么〔〕A．c＜a＜bB．b＜c＜aC．a(chǎn)＜b＜cD．b＜a＜c3．化簡(jiǎn)eq\f(1+sin2θ-cos2θ,1+sin2θ+cos2θ)=．4．化簡(jiǎn)sin(2α+β)－2sinαcos(α+β)=．在△ABC中，A、B、C成等差數(shù)列，那么taneq\f(A,2)+taneq\f(C,2)+eq\r(3)taneq\f(A,2)taneq\f(C,2)的值為．化簡(jiǎn)sin2A+sin2B+2sinAsinBcos(A+B)．7化簡(jiǎn)sin50°(1+eq\r(3)tan10°)．8sin(α+β)=1，求證：sin(2α+β)+sin(2α+3β)=0．參考答案：【課堂練習(xí)1】C2．B3．B4．eq\f(1,2)5．eq\f(3,5)【課堂練習(xí)2】1．－eq\f(1,2)2．eq\f(eq\r(2),2)3．24．eq\f(eq\r(2),2)5．tan2θ【課后反響1】1．C2．C3．A4．eq\f(2eq\r(6)－1,6)5．eq\f(1,8)6．略7．cos2α=－eq\f(7,25)，cos2β=－1