二次函數(shù)與一元二次方程和一元二次不等式

1.知識系統(tǒng)二次函數(shù)是主體，一元二次方程和一元二次不等式分別為二次函數(shù)函數(shù)值為零（零點(diǎn)）和不為零的兩種情況，一般討論二次函數(shù)主要是將其通過一元二次方程和一元二次不等式來討論，而討論一元二次方程和一元二次不等式又要將其與相應(yīng)的二次函數(shù)相聯(lián)，通過二次函數(shù)圖象揭示解（集）的幾何特征.即零〃I二校函數(shù)影論數(shù)零〃I二校函數(shù)影論數(shù)V討V 根的討論、v一元二次方程 一元二淡不等式'求解集1.1二次函數(shù)的幾何特征:設(shè)二次函數(shù)￥=短口+版+1==自6+5）口+”薩，Q盧0）△=b2—4ac,則（1）二次函數(shù)的圖象.⑵拋物線張口方向與極值.況>。=張口向上，有最小值；y=一晶一;況<0一張口向下，有最大值:￥二"薩.(3)對稱軸：區(qū)二對稱軸在原點(diǎn)左側(cè)oa、b同號；對稱軸在原點(diǎn)右側(cè)oa、b異號;對稱軸與y軸重合ob=0.4ac-b4aM在x軸上方oa、△異號；M在x軸下方oa、△同號；M在x軸上<=>△=。，M在直線y=ks+t_tmkb4ac-/---+￡=.(5)圖象過點(diǎn)(m,n)圖象過點(diǎn)(m,n)am2+bm+c=n.特別地：m=0oc=n(c為截距)；m=n=0oc=0；m=±1,n=0oa±b+c=0.1.2二次函數(shù)與一元二次方程:

函數(shù)y=ax2+bx+c(aW0),當(dāng)y=0時(shí)，即為一元二次方程ax2+bx+c=0,故，一元二次方程的解又叫二次函數(shù)的零點(diǎn)，令方程‘y=0"，根為外x2,則有：二次函數(shù)的零點(diǎn)o拋物線與x軸的交點(diǎn)o方程y=0的根.⑴交點(diǎn)個(gè)數(shù):有兩個(gè)交點(diǎn)（x1，0）、（x2,0）o方程y=0有不等實(shí)根oA>0；有一個(gè)交點(diǎn)（x1,0）0方程y=0,有等實(shí)根oA=0；無交點(diǎn)o方程y=0,無實(shí)根o△V0；⑵交點(diǎn)位置:兩交點(diǎn)在原點(diǎn)兩側(cè)一方程y方程y=0有異號根=A>o,0；兩交點(diǎn)在原點(diǎn)同惻U=方程y方程y=。有同號根<=>A>0,兩交點(diǎn)在原點(diǎn)右側(cè)0fA>0,方程y=0有兩正根=Jac>0,ab05兩交點(diǎn)在原點(diǎn)左側(cè)=>fA>07方程y=0有兩負(fù)根=卜〉0,讓70；兩交點(diǎn)在兩數(shù)a、p之間或之外兩交點(diǎn)一個(gè)在兩數(shù)a、p之間=d+c）（aP2+bP+c）<0方程y=。滿足*—口）（町—口）（q,馬—P）（盯—8）兩交點(diǎn)在數(shù)口的兩側(cè)C=>a（ad2-FbCl+（?）<^0==>方程y=0滿足*/ 1/廠、兩交點(diǎn)在數(shù)口的同惻C=>a（ad2H-bCl+（?）卜方程y=0滿足M'a）a3〉c|（3）兩交點(diǎn)間距離二氏-%產(chǎn)彳，（A>0）1.3二次函數(shù)與一元二次不等式：二次函數(shù)y=ax2+bx+c（aW0）,當(dāng)討論函數(shù)值y〉0或y<0的自變量x的取值范圍時(shí)，即為解不等式ax2+bx+c〉0或ax2+bx+c<0（aW0）,即：二次函數(shù)y〉0或y<0的自變量取值范圍 拋物線上在x軸上方

或下方的點(diǎn)對應(yīng)的橫坐標(biāo)o不等式ax2+bx+c〉0或ax2+bx+c<0(aW0)的解集.故設(shè)a〉0(a<0時(shí)可仿此討論)，方程ax2+bx+c=0兩根為x1、x2且x1<x2于是：(1)拋物線上在x軸上方的點(diǎn)的橫坐標(biāo)oax2+bx+c〉0的或笈>％ ,解集切展1=叼的一切實(shí)數(shù)，(△=0),解集因?yàn)橐磺袑?shí)數(shù)；(2)拋物線上在x軸下方的點(diǎn)的橫坐標(biāo)oax2+bx+c<0的六1<區(qū)<叼CA>0)，解窄集(A<0)..舉例：例1已知二次函數(shù)y=ax2+bx+c(aW0)的圖象如圖所示:(1)試判斷a、b、c及b2-4ac的符號;(2)若IOAI=IOBI,試證明ac+b+1=0.

分析：解本題，主要是應(yīng)用拋物線的幾何特征（張口方向，對稱軸，截距，與x軸交點(diǎn)個(gè)數(shù)）及函數(shù)零點(diǎn)（方程）的有關(guān)知識，即⑴由拋物線張口方向、對稱軸位置、截距及與x軸交點(diǎn)個(gè)數(shù)，立即可得:a〉°,b<0,c<0,b2-4ac>0.（2）由方程ax2+bx+c=0==[0閨=區(qū)/]一結(jié)論.|OB|=-C）|OA|=|OB| J例2已知二次函數(shù)y=4x2+4x+m的圖象與x軸兩交點(diǎn)和對稱軸的交點(diǎn)構(gòu)成一個(gè)正三角形的三個(gè)頂點(diǎn)，求函數(shù)解析式.分析：求解析式，即求m,主要是應(yīng)用拋物線的頂點(diǎn)、對稱軸與x軸的交點(diǎn)（即解方程）和三角形的有關(guān)知識，即:由方程4/+ 由方程4/+ m=Q=>溝，口-l+TTm =悝1-叼|二Jl-m,由拋物線頂點(diǎn)C（ m-1）,由兩點(diǎn)間距離公式求出m由兩點(diǎn)間距離公式求出m-l）和AL1一環(huán)2,口）的距離;隰C|二|4-町戶m=],（tn=l舍去）例3m為何值時(shí)，關(guān)于x的方程8x2-（m-1）x+（m-7）=0的兩根：⑴為正數(shù)根，（2）為異號根且負(fù)根絕對值大于正根，（3）都大于1,（4）一根大于2,一根小于2,（5）兩根在0，2之間.分析：關(guān)于方程根的討論，結(jié)合二次函數(shù)圖象與x軸的交點(diǎn)位置的充要條件即可求：即設(shè)方程兩根為x『x2,則fA>oQ）卜l+句>0=> 9嬴卜「叼>口rA>o（2）wg]+芯0=■笈]*町亡0rA>o（3）《宜=■m以2多（4）4 =^-tn>27；（笈]-2）（叼-2）0（區(qū)1-2）（町-2）〉。7<m<9或25<m<27.

例4證明關(guān)于x的不等式(3k-2)x2+2kx+k-1V0與(ka+ 1>0,當(dāng)k為任意實(shí)數(shù)時(shí)，至少有一個(gè)恒成立.分析：證明不等式恒成立，實(shí)質(zhì)證明對應(yīng)拋物線恒在軸的上方或下方的問題，故只要求拋物線恒在x軸上方或下方的充要條件即可.即由(業(yè)-2)1+2kn+k-l<0恒成立un對應(yīng)拋物線恒在蚌由 |3k-2<0(弘-2)0一1)<0由(ka-/十lez+1〉口恒成立<=>對應(yīng)拋物線恒在塔由上方-4Ck2-^)<0 5弓因此，當(dāng)k為任意實(shí)數(shù)時(shí)，上述兩充要條件至少有一個(gè)成立，命題得證.例5已知關(guān)于x的方程x2-2mx+4m2-6=0兩根為a、0，試求：(a-1)2+(0-1)2的極值.分析：求(a-1)2+(p-1)2的極值，即應(yīng)用方程根與系數(shù)的關(guān)系和判別式，求二次函數(shù)的條件極值