一元二次方程根的分布情況歸納

二次方程根的分布與二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值歸納1、一元二次方程ax2+bx+。=0根的分布情況設(shè)方程ax2+bx+c=0（"0）的不等兩根為x1,x2且x1<xj相應(yīng)的二次函數(shù)為f（x）=ax2+bx+c=0，方程的根即為二次函數(shù)圖象與x軸的交點(diǎn)，它們的分布情況見下面各表（每種情況對(duì)應(yīng)的均是充要條件）表一：（兩根與0的大小比較即根的正負(fù)情況）分布情況兩個(gè)負(fù)根即兩根都小于0兩個(gè)正根即兩根都大于0一正根一負(fù)根即一個(gè)根小于0,一個(gè)大于0（x<0<x）a象大（致>0圖:士得結(jié)侖的a<0象得出的結(jié)論綜合論結(jié)a論） （不討

表三：(根在區(qū)間上的分布)分布情況兩根都在(m,n)內(nèi)兩根有且僅有一根在(m,n)內(nèi)(圖象有兩種情況，只畫了一種)一根在(m,n)內(nèi)，另一根在(p,q)內(nèi)，m<n<p<q大致圖象(a>0)得出的結(jié)論!f(m)>0f(n)<0或f(P)<0或f(q)>0f(m)f(n)<0f(p)f(q)<0大致圖象(a<0)得出的結(jié)論1【j(m)<0f(n)>0-/、或f(P)>0f(q)<0f(m)f(n)<0f(P)f(q)<0

綜合結(jié)%(彳討論A.i 根在區(qū)間上的分布還有一種情況：兩根分別在區(qū)間 (m,n)外，即在區(qū)間兩側(cè)f(m)>0f(n)>0f(m)>0f(n)>0f(m)<0f(n)<0對(duì)以上的根的分布表中一些特殊情況作說明:(1)兩根有且僅有一根在(m,n)內(nèi)有以下特殊情況：若f(m)=0或f(n)=0，則此時(shí)f(m).f(n)<0不成立，但對(duì)于這種情況是知道了方程有一根為m或n，可以求出另外一根，然后可以根據(jù)另一根在區(qū)間(m,n)內(nèi)，從而可以求出參數(shù)的值。如方程mx2-(m+2)x+2=0在區(qū)間(1,3)上有一根，因?yàn)閒(1)=0，所以mx2-(m+2)x+2=(x—1)(mx-2)，另一根為J由1<2<3得2<m<2即為所求；m m3方程有且只有一根，且這個(gè)根在區(qū)間(m,n)內(nèi)，即A=0，此時(shí)由A=0可以求出參數(shù)的值，然后再將參數(shù)的值帶入方程，求出相應(yīng)的根，檢驗(yàn)根是否在給定的區(qū)間內(nèi)，如若不在，舍去相應(yīng)的參數(shù)。如方程x2-4mx+2m+6=0有且一根在區(qū)間(-3,0)內(nèi)，求m的取值范圍。分析：①由f(-3).f(0)<0即(14m+15)(m+3)<0得出-3<m<-*②由A=0即16m2-4(2m+6)=0得出m=-1或m=)，當(dāng)m=-1時(shí)，根x=-2式-3,0)，即m=-1滿足2題意；當(dāng)m=3時(shí)，根x=34-3,0)，故m=3不滿足題意；綜上分析，得出-3<m<-"2 2 14或m=-1根的分布練習(xí)題例1、已知二次方程(2m+1)x2-2mx+(m-1)=0有一正根和一負(fù)根，求實(shí)數(shù)m的取值范圍。解：由（2加+1）./（0）＜0即（2根+l）Gn-1）＜0，從而得-；＜加＜1即為所求的范圍。例2、已知方程2尤2—Gn+l）x+/n=O有兩個(gè)不等正實(shí)根，求實(shí)數(shù)加的取值范圍。解：由0＜根＜3-2點(diǎn)或加＞3+2亦即為所求的范圍。例3、已知一■次函數(shù)y=（小+2）4-（2m+4）x+（3/n+3）與x軸有兩個(gè)父點(diǎn)，~■個(gè)大于1,一個(gè)小于1,求實(shí)數(shù)冽的取值范圍。解：由（力+2）?/（1）＜0即（9+2）?（2機(jī)+1）＜0=-2＜根＜；即為所求的范圍。例4、已知二次方程m%2+（2根-3）x+4=0只有一個(gè)正根且這個(gè)根小于L求實(shí)數(shù)機(jī)的取值范圍。解：由題意有方程在區(qū)間（0,1）上只有一個(gè)正根，則/（0）./（1）＜0^＞4.（3m+l）＜0n根＜」即為所求范圍。（注：本題對(duì)于可能出現(xiàn)的特殊情況方程有且只有一根且這個(gè)根在（0,1）內(nèi)，由A=0計(jì)算檢驗(yàn)，均不復(fù)合題意，計(jì)算量稍大）例1、當(dāng)關(guān)于、的方程的根滿足下列條件時(shí)，求實(shí)數(shù)〃的取值范圍：（1）方程%2—QX+Q2—7=0的兩個(gè)根一個(gè)大于2,另一個(gè)小于2；（2）方程7心—（q+13）無+Q2—〃—2=0的一個(gè)根在區(qū)間（0,1）上，另一根在區(qū)間（1,2）上；（3）方程m+儀+2=0的兩根都小于0；變題：、方程X2+（2X+2=0的兩根都小于？L 、（4）方程心―（〃+4）x-2〃2+5q+3=0的兩根都在區(qū)間［-1,3］上;（5）方程〃%+4=0在區(qū)間（？1，1）上有且只有一解；例2、已知方程心—房+4=0在區(qū)間［?1，1］上有解，求實(shí)數(shù)m的取值范圍.例3、已知函數(shù)段）=必2+（租—3）x+l的圖像與X軸的交點(diǎn)至少有一個(gè)在原點(diǎn)右側(cè)，求實(shí)數(shù)m的取值范圍.檢測反饋：..若二次函數(shù)/（乃=心一（〃一雄+5在區(qū)間（工1）上是增函數(shù)，則”2）的取值范圍是2.右a、p是關(guān)于X的方程x2—2kx+k+6=0的兩個(gè)實(shí)根,貝U（a-I”+（0-1）2的最小值為..右關(guān)于元的方程心+（加一2）%+2根-1=0只有一^根在（0,1）內(nèi),則機(jī)￡ ?.對(duì)于關(guān)于x的方程x2+（2m?l）x+4?2m=0求滿足下列條件的m的取值范圍：（1）有兩個(gè)負(fù)根（2）兩個(gè)根都小于?1(3)一個(gè)根大于2,一個(gè)根小于2(4)兩個(gè)根都在(0,2)內(nèi)(5)一個(gè)根在(?2,0)內(nèi)，另一個(gè)根在(1,3)內(nèi)(6)一個(gè)根小于2,一個(gè)根大于4(7)在(0,2)內(nèi)有根(8)一個(gè)正根，一個(gè)負(fù)根且正根絕對(duì)值較大5.已知函數(shù)f(x)=mx2+x-1的圖像與X軸的交點(diǎn)至少有一個(gè)在原點(diǎn)的右側(cè)，求實(shí)數(shù)m的取值范圍。2、二次函數(shù)在閉區(qū)間m,n］上的最大、最小值問題探討設(shè)f(x)=ax2+bx+c=0(a>0)則二次函數(shù)在閉區(qū)間Im,n］上的最大、最小值有如下的分布情況:m〈一b—<nBP-b—e|m,n]2a 2a圖象*最、大1、對(duì)于開口向下的情況，討論類似。其實(shí)無論開口向上還是向下，都只有以下兩種結(jié)論:(1)若-be|m,n]，則f(x) =max；f(m),ff-2amin2a max2amin(2)若-b②,n],則f(x)二max{f(m)f(n兒f(x)二min{f(m)f(n)}2a max min另外，當(dāng)二次函數(shù)開口向上時(shí)，自變量的取值離開x軸越遠(yuǎn)，則對(duì)應(yīng)的函數(shù)值越大；反過來，當(dāng)二次函數(shù)開口向下時(shí)，自變量的取值離開x軸越遠(yuǎn)，則對(duì)應(yīng)的函數(shù)值越小。二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值練習(xí)二次函數(shù)在閉區(qū)間上求最值，討論的情況無非就是從三個(gè)方面入手：開口方向、對(duì)稱軸以及閉區(qū)間，以下三個(gè)例題各代表一種情況。例1、函數(shù)/（Q=g-2儀+2+從"0）在［2,3］上有最大值5和最小值2,求〃，〃的值。解：對(duì)稱軸x="［2,3］，故函數(shù)/（Q在區(qū)間［2,3］上單調(diào)。0（1）當(dāng)”>0時(shí)，函數(shù)/（Q在區(qū)間［2,3］上是增函數(shù)，故f/（x）=/（3） \3a+b+2=5 （a=l.= 2+b=2=%=（）'min（2）當(dāng)〃<0時(shí)，函數(shù)/（Q在區(qū)間b,3］上是減函數(shù)，故f/G）=/（2）fb+2=5 （a=-l1/（?"=/（3尸：3〃+"2=2= =3min例2、求函數(shù)/（%）=工2-2“x+l,xe［1,3］的最小值。解：對(duì)稱軸x=a0（工）當(dāng)a<l時(shí),y=J（l）=2—2a（2）當(dāng)時(shí),y=/（a）=l-康；（3）當(dāng)°>3時(shí),min miny=/（3）=10-6z2min改：1.本題若修改為求函數(shù)的最大值，過程又如何？解：(1)當(dāng)〃<2時(shí),/(%)=/(3)=10-6〃；max(2)當(dāng)"22時(shí),f(x)=f(1)=2—2a°max2.本題若修改為求函數(shù)的最值，討論又該怎樣進(jìn)行？TOC\o"1-5"\h\zI?：(1)當(dāng)“<1時(shí)，fG)=/(3)=10—6〃，fG)=f(y)=2-2a；max min(2)當(dāng)lw〃<2時(shí),/(x)=/(3)=10-6〃，/G)=/Q)=l-〃2；max min(3)當(dāng)2V“<3時(shí)，fG)=/(l)=2-2”，f(x)=/(q)=l-g；max min(4)當(dāng)"23時(shí)'f(%)=f(X)=2-2a?f(x)=/(3)=10-6〃。max min例3、求函數(shù)y=x2-4x+3在區(qū)間”十1］上的最小值。解：對(duì)稱軸X=20（1）當(dāng)2</即/>2時(shí)，y=/G）=%2—由+3；（2）當(dāng)/V2V/+1即IV時(shí)，y=/（2）=-1；min min（3）當(dāng)2>/+l即/<1時(shí),y= +=-2tmin例4、討論函數(shù)/（X）=X2+X-4+l的最小值。解：fQ=x2+x-a+l