2023中考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)難點(diǎn)突破：最值問題練習(xí)（含解析）

2023中考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)難點(diǎn)突破：最值問題練習(xí)一、單選題1．如圖，為正方形邊上一點(diǎn)，，，為對(duì)角線上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為（

）A．5 B． C． D．102．已知線段AB及直線l，在直線上確定一點(diǎn)，使最小，則下圖中哪一種作圖方法滿足條件（

）．A． B．C． D．3．如圖，等邊△ABC的邊長為6，AD是BC邊上的中線，M是AD上的動(dòng)點(diǎn)，E是邊AC上一點(diǎn)，若AE＝2，則EM＋CM的最小值為（

）A． B．3 C．2 D．44．如圖，如圖，的半徑為2，圓心的坐標(biāo)為，點(diǎn)是上的任意一點(diǎn)，，，與x軸分別交于A，B兩點(diǎn)，若點(diǎn)A、點(diǎn)B關(guān)于原點(diǎn)O對(duì)稱，則的最小值為（

）A．3 B．4 C．5 D．65．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)y＝x2﹣2x＋c的圖象與x軸交于A、C兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)B（0，﹣3），若P是x軸上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)D（0，1）在y軸上，連接PD，則PD＋PC的最小值是（

）A．4 B．2＋2 C．2 D．6．如圖，凸四邊形中，，若點(diǎn)M、N分別為邊上的動(dòng)點(diǎn)，則的周長最小值為（

）A． B． C．6 D．37．如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CB＝7，AC＝9，以C為圓心、3為半徑作⊙C，P為⊙C上一動(dòng)點(diǎn)，連接AP、BP，則AP＋BP的最小值為（

）A．7 B．5 C． D．8．如圖，在中，，cm，cm．是邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接，過點(diǎn)作于，連接，在點(diǎn)變化的過程中，線段的最小值是（

）A．1 B． C．2 D．二、填空題9．如圖，是⊙O的弦，點(diǎn)C在⊙O內(nèi)，，連接，若⊙O的半徑是4，則長的最小值為______．10．如圖，拋物線與x軸分別交于兩點(diǎn)（點(diǎn)在點(diǎn)的左側(cè)），與軸交于點(diǎn)，在其對(duì)稱軸上有一動(dòng)點(diǎn)，連接，則周長的最小值是______．11．如圖所示，，半徑為2的圓內(nèi)切于．為圓上一動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)作、分別垂直于的兩邊，垂足為、，則的取值范圍為___________．12．如圖，直線與軸，軸分別交于和，點(diǎn)、分別為線段、的中點(diǎn)，為上一動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)?shù)闹底钚r(shí)，點(diǎn)的坐標(biāo)為___________．三、解答題13．如圖，正方形的邊長為4，點(diǎn)是正方形內(nèi)部一點(diǎn)，求的最小值．14．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為，，．(1)畫，使與關(guān)于y軸對(duì)稱；(2)求的面積；(3)在y軸上作一點(diǎn)P，使得最短；15．拋物線分別交x軸于點(diǎn)，，交y軸于點(diǎn)C，拋物線的對(duì)稱軸與x軸相交于點(diǎn)D，點(diǎn)M為線段OC上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)N為線段AC上的動(dòng)點(diǎn)，且．(1)求拋物線的表達(dá)式；(2)線段MN，NC在數(shù)量上有何關(guān)系，請(qǐng)寫出你的理由；(3)在M，N移動(dòng)的過程中，DM＋MC是否有最小值，如果有，請(qǐng)寫出理由．16．如圖，四邊形ABCD中，AD∥BC，∠B＝90°，AB＝8，BC＝20，AD＝18，點(diǎn)Q為BC中點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P在線段AD邊上以每秒2個(gè)單位的速度由點(diǎn)A向點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)，設(shè)動(dòng)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒．(1)當(dāng)t為何值時(shí)，四邊形PBQD是平行四邊形，請(qǐng)說明理由?(2)在AD邊上是否存在一點(diǎn)R，使得B、Q、R、P四點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形是菱形？若存在，請(qǐng)直接寫出t的值：若不存在，請(qǐng)說明理由．(3)在線段PD上有一點(diǎn)M，且PM＝10，當(dāng)點(diǎn)P從點(diǎn)A向右運(yùn)動(dòng)_________秒時(shí)，四邊形BCMP的周長最小，其最小值為_________．17．已知拋物線（a，b，c是常數(shù)，）的頂點(diǎn)為P，與x軸相交于點(diǎn)和點(diǎn)B．(1)若，①求點(diǎn)P的坐標(biāo)；②直線（m是常數(shù)，）與拋物線相交于點(diǎn)M，與相交于點(diǎn)G，當(dāng)取得最大值時(shí)，求點(diǎn)M，G的坐標(biāo)；(2)若，直線與拋物線相交于點(diǎn)N，E是x軸的正半軸上的動(dòng)點(diǎn)，F(xiàn)是y軸的負(fù)半軸上的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)?shù)淖钚≈禐?時(shí)，求點(diǎn)E，F(xiàn)的坐標(biāo)．18．定義：若三角形的一條邊上的高線與這條邊相等，則稱這個(gè)三角形為“標(biāo)準(zhǔn)三角形”．如：在，于點(diǎn)，，則為標(biāo)準(zhǔn)三角形．(1)【概念感知】判斷：對(duì)的打“√”，錯(cuò)的打“×”．①等腰直角三角形是標(biāo)準(zhǔn)三角形．（

）②頂角為的等腰三角形是標(biāo)準(zhǔn)三角形．（

）(2)【概念理解】若一個(gè)等腰三角形為標(biāo)準(zhǔn)三角形，則此三角形的三邊長之比為______．(3)【概念應(yīng)用】如圖，若為標(biāo)準(zhǔn)三角形，于點(diǎn)，，求的最小值．(4)若一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)三角形的其中一邊是另一邊的倍，求最小角的正弦值．19．已知，平面直角坐標(biāo)系中有一個(gè)邊長為6的正方形，為線段上的動(dòng)點(diǎn)，將沿直線對(duì)折，使點(diǎn)落在處．(1)如圖①，當(dāng)時(shí)，求點(diǎn)的坐標(biāo)；(2)如圖②，連接，當(dāng)時(shí)．①求點(diǎn)的坐標(biāo)；②連接，求與重疊部分的面積；(3)當(dāng)點(diǎn)在線段（不包括端點(diǎn)）上運(yùn)動(dòng)時(shí)，請(qǐng)直接寫出線段的取值范圍．20．在中，，CA＝2CB．將線段CA繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)得到線段CD．(1)如圖1，當(dāng)點(diǎn)D落在AB的延長線上時(shí)，過點(diǎn)D作交AC的延長線于點(diǎn)E，若BC＝2，求DE的長；(2)如圖2，當(dāng)點(diǎn)D落在CB的延長線上時(shí)，連接AD，過點(diǎn)C作CF⊥AB于點(diǎn)F，延長CF交AD于點(diǎn)E，連接BE，求證：；(3)如圖3，在（2）的條件下，將沿AC翻折得到，M為直線AD上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)．連接BM，將沿BM翻折得到．當(dāng)最小時(shí)，直接寫出的值．參考答案1．A連接，交于P點(diǎn)∵四邊形為正方形∴A點(diǎn)和C點(diǎn)關(guān)于對(duì)稱根據(jù)“兩點(diǎn)之間線段最短”，可知的最小值即為線段的長.∵，∴的最小值為5故選：A

2．C解：∵點(diǎn)A，B在直線l的同側(cè)，∴作B點(diǎn)關(guān)于l的對(duì)稱點(diǎn)B'，連接AB'與l的交點(diǎn)為P，由對(duì)稱性可知BP=B'P，∴PA+PB=PB′+PA=AB′為最小故選：C．3．C解：連接BE，交AD于點(diǎn)M，過點(diǎn)E作EF⊥BC交于點(diǎn)F，∵△ABC是等邊三角形，AD是BC邊上的中線，∴B點(diǎn)與C點(diǎn)關(guān)于AD對(duì)稱，∴BM＝CM，∴EM＋CM＝EM＋BM＝BE，此時(shí)EM＋CM的值最小，∵AC＝6，AE＝2，∴EC＝4，在Rt△EFC中，∠ECF＝60°，∴FC＝2，EF＝2，在Rt△BEF中，BF＝4，∴BE＝2，故選：C．4．D解：連接，，，，，若要使取得最小值，則需取得最小值，連接，交于點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)位于位置時(shí)，取得最小值，過點(diǎn)作軸于點(diǎn)，則、，，又，，，故選：D．5．A解：過點(diǎn)P作PJ⊥BC于J，過點(diǎn)D作DH⊥BC于H．∵二次函數(shù)y＝x2﹣2x+c的圖象與y軸交于點(diǎn)B（0，﹣3），∴c＝﹣3，∴二次函數(shù)的解析式為y＝x2﹣2x﹣3，令y＝0，x2﹣2x﹣3＝0，解得x＝﹣1或3，∴A（﹣1，0），B（0，-3），∴OB＝OC＝3，∵∠BOC＝90°，∴∠OBC＝∠OCB＝45°，∵D（0，1），∴OD＝1，BD＝4，∵DH⊥BC，∴∠DHB＝90°，設(shè)，則,∵，∴，∴，∴，∵PJ⊥CB，∴，∴，∴，∵，∴，∴DP+PJ的最小值為，∴的最小值為4．故選：A．6．C解：作點(diǎn)關(guān)于、的對(duì)稱點(diǎn)分別為點(diǎn)和點(diǎn)，連接交和于點(diǎn)和點(diǎn)，，連接、；再和上分別取一動(dòng)點(diǎn)和（不同于點(diǎn)和，連接，，和，如圖1所示：，，，，又，，，，時(shí)周長最小；連接，過點(diǎn)作于的延長線于點(diǎn)，如圖示2所示：在中，，，，，，，又，，，，，，又，，，，在△中，由勾股定理得：．，故選：C．7．B如圖，在CA上截取CM，使得CM＝1，連接PM，PC，BM．∵PC＝3，CM＝1，CA＝9，∴PC2＝CM?CA，∴，∵∠PCM＝∠ACP，∴△PCM∽△ACP，∴，∴PMPA，∴AP+BP＝PM+PB，∵PM+PB≥BM，在Rt△BCM中，∵∠BCM＝90°，CM＝1，BC＝7，∴BM5，∴AP+BP≥5，∴AP+BP的最小值為5．故選：B．8．A如圖，由題意知，，在以為直徑的的上（不含點(diǎn)、可含點(diǎn)，最短時(shí)，即為連接與的交點(diǎn)（圖中點(diǎn)點(diǎn)），在中，，，則．，長度的最小值，故選：．9．解：如圖，延長交圓O于點(diǎn)D，連接，過O點(diǎn)作交于點(diǎn)E，∵，∴，∵，∴是等邊三角形，∵，∴，∵，∴，∵，∴，∴點(diǎn)C在以E為圓心，為半徑的圓上，在中，，∴，∴的最小值為，故答案為：．10．解：拋物線與x軸分別交于兩點(diǎn)（點(diǎn)在點(diǎn)的左側(cè)），與軸交于點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，解得或，即；當(dāng)時(shí)，，即，由二次函數(shù)對(duì)稱性，關(guān)于對(duì)稱軸對(duì)稱，即，，，周長的最小值就是的最小值，根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短即可得到的最小值為三點(diǎn)共線時(shí)線段長，，周長的最小值為，故答案為：．11．解：作于，作于，如圖所示：，，，，，，，，當(dāng)與相切時(shí)，取得最大和最小，①連接，，，如圖1所示：可得：四邊形是正方形，，在中，，，在中，，，即；②連接，，，如圖2所示：可得：四邊形是正方形，，由上同理可知：在中，，，在中，，，即，．故答案為：．12．解：作點(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)，連接交x軸于點(diǎn)，此時(shí)值最小，最小值為，如圖．令中，則，∴點(diǎn)的坐標(biāo)為；令中，則，解得：，∴點(diǎn)的坐標(biāo)為．∵點(diǎn)、分別為線段、的中點(diǎn)，∴點(diǎn)，點(diǎn)．∵點(diǎn)和點(diǎn)關(guān)于軸對(duì)稱，∴點(diǎn)的坐標(biāo)為．設(shè)直線的解析式為，∵直線過點(diǎn)，，∴，解得，∴直線的解析式為．令，則，解得：，∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為．故答案為：．13．解：延長到，使得，則，在的內(nèi)部作射線，使得，使得，連接，，．，，，，，，，，，，，，，的值最小，最小值為．14．（1）如圖所示；即為所求；（2）的面積；（3）連接交y軸于P，點(diǎn)P即為所求．15．（1）把點(diǎn)，代入拋物線中得：，解得：，∴拋物線的解析式為：；（2），理由是：如圖1，令，則，即，∵，，∴，，，在中，，，∵，∴，∴，∴，∴；（3）在M，N移動(dòng)的過程中，有最小值是，理由如下：由（2）知：，∴，即，∴，∴的最小值是的最小值，即D、M、N三點(diǎn)共線時(shí)，點(diǎn)D到AC的垂線段DN的長，如圖2，拋物線解析式為：；∴對(duì)稱軸是：，即，∴，在中，，∴，即，∴在M，N移動(dòng)的過程中，有最小值是．16．（1）解：連接BP、DQ，∵BC＝20，點(diǎn)Q為BC中點(diǎn)，∴，要使四邊形PBQD是平行四邊形，則，∴，∴，此時(shí)，且，則四邊形PBQD是平行四邊形，∴當(dāng)t為4時(shí)，四邊形PBQD是平行四邊形．（2）存在，；假設(shè)R點(diǎn)在圖中所示位置，則連接BP、QR，要使得B、Q、R、P四點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形是菱形，則有，在Rt△ABP中，，∴，（舍去），此時(shí)，符合題意；∴在AD邊上存在一點(diǎn)R，使得B、Q、R、P四點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形是菱形，且．（3）；如圖，連接BP、QM，因?yàn)椋嗲?，∴四邊形PBQM是平行四邊形，∴，∵四邊形BCMP的周長，∴當(dāng)?shù)闹底钚r(shí)，四邊形BCMP的周長最小，作Q點(diǎn)關(guān)于AD的對(duì)稱點(diǎn)G，連接CG，則，四邊形ABQE是矩形，∴AE=BQ=10，AB=EQ=8，當(dāng)C、M、G三點(diǎn)共線時(shí)（即M點(diǎn)位于圖中的F點(diǎn)處），的值最小等于CG，∴Rt△GQC中，，此時(shí)，四邊形BCMP的周長最小值為，∵E點(diǎn)為QG中點(diǎn)，EF∥QC，∴，∴AF=15，∴AP=15-10=5,∴．∴當(dāng)點(diǎn)P從點(diǎn)A向右運(yùn)動(dòng)秒時(shí)，四邊形BCMP的周長最小，其最小值為．故答案為：；．17．（1）①∵拋物線與x軸相交于點(diǎn)，∴．又，得．∴拋物線的解析式為．∵，∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為．②當(dāng)時(shí)，由，解得．∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為．設(shè)經(jīng)過B，P兩點(diǎn)的直線的解析式為，有解得∴直線的解析式為．∵直線（m是常數(shù)，）與拋物線相交于點(diǎn)M，與相交于點(diǎn)G，如圖所示：∴點(diǎn)M的坐標(biāo)為，點(diǎn)G的坐標(biāo)為．∴．∴當(dāng)時(shí)，有最大值1．此時(shí)，點(diǎn)M的坐標(biāo)為，點(diǎn)G的坐標(biāo)為．（2）由（1）知，又，∴．∴拋物線的解析式為．∵，∴頂點(diǎn)P的坐標(biāo)為．∵直線與拋物線相交于點(diǎn)N，∴點(diǎn)N的坐標(biāo)為．作點(diǎn)P關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)，作點(diǎn)N關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)，如圖所示：得點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)的坐標(biāo)為．當(dāng)滿足條件的點(diǎn)E，F(xiàn)落在直線上時(shí)，取得最小值，此時(shí)，．延長與直線相交于點(diǎn)H，則．在中，．∴．解得（舍）．∴點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)的坐標(biāo)為．則直線的解析式為．∴點(diǎn)和點(diǎn)．18．（1）①如圖所示，等腰直角三角形ABC中，∠C=90°，∵AC是BC邊上的高，且AC=BC，∴為標(biāo)準(zhǔn)三角形．故：①√②如解圖，△ABC是等腰三角形，且∠BAC=30°，AB=AC如解圖1，過點(diǎn)A作AD⊥BC，垂足為D，則AD是BC邊上的高，顯然，；如解圖2，過點(diǎn)B作BD⊥AC，垂足為D，則BD是AC邊上的高，顯然，．故：②×（2）①如圖所示，若△ABC是等腰直角三角形，則．②如圖所示，若△ABC是等腰三角形，AB=AC，AD是BC邊上的高，且AD=BC，則△ABC為標(biāo)準(zhǔn)三角形．∵AB=AC，AD是BC邊上的高∴BD=CD∴設(shè)，則，在Rt△ABD中，∴．故：或；（3）如圖所示，過點(diǎn)C作CMAB，作點(diǎn)A關(guān)于CM的對(duì)稱點(diǎn)E，連接BE．∴AC=CE∴AC+BC=EC+BC∴當(dāng)B、C、E三點(diǎn)共線時(shí)，EC+BC的最最?。藭r(shí)AE=2CD=2，在Rt△ABE中，∴AC+BC的最小值為（4）由題意，AB=CD，∠CDA=∠CDB=90°∴，即，∴△ABC的最小角為∠ACB．①當(dāng)時(shí)，，如圖甲所示，過點(diǎn)B作BE⊥AC于點(diǎn)E設(shè)，則∵∴∴在Rt△ADC中，∴在Rt△BDC中，在Rt△BEC中，②當(dāng)時(shí)，，如圖乙所示，過點(diǎn)B作BE⊥AC于點(diǎn)E設(shè)，則在Rt△BDC中，∴在Rt△ADC中，∵∴∴在Rt△BEC中，．綜上所述，求最小角的正弦值或．

圖甲

圖乙19(1)解：如圖，連接交于過作于由對(duì)折可得：是等邊三角形，，(2)①而②如圖，連接交于交于過作交于過于由①得：設(shè)則解得：（不符合題意的根舍去）而設(shè)為則解得：∴為同理可得：AM為OB為解得：即所以即同理可得：與重疊部分的面積為：(3)如圖，由對(duì)折可得∴在以為圓心，為半徑的上運(yùn)動(dòng)，與不重合，連接AC，交于當(dāng)重合時(shí)，取得最小值，此時(shí)所以的取值范圍為：20．（1）解：∵CA＝2CB，BC＝2，∴CA＝4，∵，∴．∵將線段CA繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)得到線段CD，∴，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∵CA=4，BC＝2，∴，∴，∵，∴．（2）證明：過D作DG⊥CD交CE延長線于點(diǎn)G，∵