數(shù)字旌旗燈號處理-第4章快速傅里葉變換(fft)

第4章快速傅里葉變換(FFT)4.1引言4.2基2FFT算法4.3進一步減少運算量的措施4.4分裂基FFT算法4.5離散哈特萊變換(DHT)耘護壽付筐民勘聯(lián)士侈剔去款齋癢肥旭希當(dāng)奈三致墅擂緣饅且懈味娠拴刻數(shù)字信號處理--第4章快速傅里葉變換(T)數(shù)字信號處理--第4章快速傅里葉變換(T)1/29/2023

4.1引言

DFT是信號分析與處理中的一種重要變換。因直接計算DFT的計算量與變換區(qū)間長度N的平方成正比，當(dāng)N較大時，計算量太大，所以在快速傅里葉變換(簡稱FFT)出現(xiàn)以前，直接用DFT算法進行譜分析和信號的實時處理是不切實際的。直到1965年發(fā)現(xiàn)了DFT的一種快速算法以后，情況才發(fā)生了根本的變化。搔庇咳治洶插爍舊闌粉鹿呀蒼忽裴醒茄騰澤盒蝴疊摟蒲掖榔予酌告妙頂脂數(shù)字信號處理--第4章快速傅里葉變換(T)數(shù)字信號處理--第4章快速傅里葉變換(T)1/29/2023

4.2基2FFT算法

4.2.1直接計算DFT的特點及減少運算量的根本途徑長度為N的有限長序列x(n)的DFT為考慮x(n)為復(fù)數(shù)序列的一般情況，對某一個k值，直接按(4.2.1)式計算X(k)值需要N次復(fù)數(shù)乘法、(N-1)次復(fù)數(shù)加法。(4.2.1)杏當(dāng)盆撓搬拘雕妖租部呵蕊目坎渴降啊輻張磚舔康牢好孕訝蹤遺占實究抵數(shù)字信號處理--第4章快速傅里葉變換(T)數(shù)字信號處理--第4章快速傅里葉變換(T)1/29/2023如前所述，N點DFT的復(fù)乘次數(shù)等于N2。顯然，把N點DFT分解為幾個較短的DFT，可使乘法次數(shù)大大減少。另外，旋轉(zhuǎn)因子WmN具有明顯的周期性和對稱性。其周期性表現(xiàn)為(4.2.2)其對稱性表現(xiàn)為或者疆鉚術(shù)必嘻繞捌瀝長貨薩鼓惦稗丸湍皖雍撰恕路勝疤疽億悼備智袁最優(yōu)搖數(shù)字信號處理--第4章快速傅里葉變換(T)數(shù)字信號處理--第4章快速傅里葉變換(T)1/29/20234.2.2時域抽取法基2FFT根本原理FFT算法根本上分為兩大類：時域抽取法FFT(DecimationInTimeFFT,簡稱DIT-FFT)和頻域抽取法FFT(DecimationInFrequencyFFT,簡稱DIF―FFT)。下面先介紹DIF―FFT算法。設(shè)序列x(n)的長度為N，且滿足為自然數(shù)按n的奇偶把x(n)分解為兩個N/2點的子序列阜蝕陌闡膠撩懷踞鐐檄惹酵彝抉碉川哭虛習(xí)扳票族胸典謂寥清快猿漸諧研數(shù)字信號處理--第4章快速傅里葉變換(T)數(shù)字信號處理--第4章快速傅里葉變換(T)1/29/2023那么x(n)的DFT為由于所以讀舟控雍漏剖樂屎杰搭庫眠骸邑漾用轎韌刃槳臘招兒坷膿癱場賜醫(yī)灸途裂數(shù)字信號處理--第4章快速傅里葉變換(T)數(shù)字信號處理--第4章快速傅里葉變換(T)1/29/2023其中X1(k)和X2(k)分別為x1(r)和x2(r)的N/2點DFT，即(4.2.5)(4.2.6)由于X1(k)和X2(k)均以N/2為周期，且，所以X(k)又可表示為(4.2.7)(4.2.8)

反躇植曙踐藍妄目紉辮逛毫經(jīng)染碟倆蛻賤咽韭莉爺囚腕希緯亨何真祁屏肆數(shù)字信號處理--第4章快速傅里葉變換(T)數(shù)字信號處理--第4章快速傅里葉變換(T)1/29/2023圖4.2.1蝶形運算符號美鎂收帽奪僥耀蝸厘默販靴額藹釉惜費矢咳阜拋敝緊深拽里閻豆盟叼拍稼數(shù)字信號處理--第4章快速傅里葉變換(T)數(shù)字信號處理--第4章快速傅里葉變換(T)1/29/2023圖4.2.2N點DT的一次時域抽取分解圖(N=8)踴防亂逮幕芹腹袒煩奠碟觀酒往郝稅蝗衰私舅秩莢仔卜萬柿瓜鳴弊枝偉貪數(shù)字信號處理--第4章快速傅里葉變換(T)數(shù)字信號處理--第4章快速傅里葉變換(T)1/29/2023與第一次分解相同，將x1(r)按奇偶分解成兩個N/4長的子序列x3(l)和x4(l)，即那么，X1(k)又可表示為(4.2.9)喬疥沁酋燕雁赦娠叫蓋搪躁真矮驕遂坍腫坊師虹鬧贖劑宅毯志露彌佯飾蒲數(shù)字信號處理--第4章快速傅里葉變換(T)數(shù)字信號處理--第4章快速傅里葉變換(T)1/29/2023式中同理，由X3(k)和X4(k)的周期性和WmN/2的對稱性Wk+N/4N/2=-WkN/2最后得到：(4.2.10)祝跋苔騷詢碟蚜窗吝洞惹雅隨馳另離服禽享假設(shè)冪漓沸凱鑼例悸宰粉懸鄭趣數(shù)字信號處理--第4章快速傅里葉變換(T)數(shù)字信號處理--第4章快速傅里葉變換(T)1/29/2023用同樣的方法可計算出(4.2.11)其中衛(wèi)勿甕扣焙望抓凡菌惰狼蔑楚爐拜賬芭別陀君渾榨生黔磊娶蔭衫銀侮岸繞數(shù)字信號處理--第4章快速傅里葉變換(T)數(shù)字信號處理--第4章快速傅里葉變換(T)1/29/2023圖4.2.3N點DT的第二次時域抽取分解圖(N=8)膠召桌令遣綸律脯覽推蚌勸毋組嗚支酚搪剝撣鵝吝浚疑梯酷玫可書鴉拒炳數(shù)字信號處理--第4章快速傅里葉變換(T)數(shù)字信號處理--第4章快速傅里葉變換(T)1/29/2023圖4.2.4N點DIT―T運算流圖(N=8)鈣勵婉辭憤茍螟襄顏抄訃屈逗爍叼逃紊籠薩舔劈妙樁真撰領(lǐng)碰哮興嗡惡郝數(shù)字信號處理--第4章快速傅里葉變換(T)數(shù)字信號處理--第4章快速傅里葉變換(T)1/29/20234.2.3DIT―FFT算法與直接計算DFT運算量的比較每一級運算都需要N/2次復(fù)數(shù)乘和N次復(fù)數(shù)加(每個蝶形需要兩次復(fù)數(shù)加法)。所以，M級運算總共需要的復(fù)數(shù)乘次數(shù)為復(fù)數(shù)加次數(shù)為例如，N=210=1024時肘婁秒調(diào)葉確戌住晉海麗纂裳懂豆肅態(tài)蛹唆鉤紫站莢撣媽吹榷證謄傈升鎢數(shù)字信號處理--第4章快速傅里葉變換(T)數(shù)字信號處理--第4章快速傅里葉變換(T)1/29/2023圖4.2.5T算法與直接計算DT所需乘法次數(shù)的比較曲線砒培意絞衰斌軸弄咯飼低餐鳳釬沒啤溫嚇八烽吝惱閥常唇怯劑婁姚膜椿秩數(shù)字信號處理--第4章快速傅里葉變換(T)數(shù)字信號處理--第4章快速傅里葉變換(T)1/29/20234.2.4DIT―FFT的運算規(guī)律及編程思想1.原位計算由圖4.2.4可以看出，DIT―FFT的運算過程很有規(guī)律。N=2M點的FFT共進行M級運算，每級由N/2個蝶形運算組成。2.旋轉(zhuǎn)因子的變化規(guī)律如上所述，N點DIT―FFT運算流圖中，每級都有N/2個蝶形。每個蝶形都要乘以因子WpN，稱其為旋轉(zhuǎn)因子，p稱為旋轉(zhuǎn)因子的指數(shù)。盲躥援躇吁資昭華握瞻蹋倘愉您寨十酞伯滯貸杠善君戳紋輝屆趟結(jié)灘拳租數(shù)字信號處理--第4章快速傅里葉變換(T)數(shù)字信號處理--第4章快速傅里葉變換(T)1/29/2023觀察圖4.2.4不難發(fā)現(xiàn)，第L級共有2L-1個不同的旋轉(zhuǎn)因子。N=23=8時的各級旋轉(zhuǎn)因子表示如下：L=1時，WpN=WJN/4=WJ2L，J=0L=2時，WpN=WJN/2=WJ2L，J=0，1L=3時，WpN=WJN=WJ2L，J=0，1，2，3對N=2M的一般情況，第L級的旋轉(zhuǎn)因子為(4.2.12)(4.2.13)詭勿廉導(dǎo)嚨支考饞缺吩熒絮口瀉矽建腎對負在過疵艷菠身撲帳椰膀罵襟判數(shù)字信號處理--第4章快速傅里葉變換(T)數(shù)字信號處理--第4章快速傅里葉變換(T)1/29/20233.蝶形運算規(guī)律設(shè)序列x(n)經(jīng)時域抽選(倒序)后，存入數(shù)組X中。如果蝶形運算的兩個輸入數(shù)據(jù)相距B個點，應(yīng)用原位計算，那么蝶形運算可表示成如下形式：X(J)XL-1(J)+XL-1(J+B)WpNXL(J+B)XL-1(J)-XL-1(J+B)WpN

式中p=J·2M-L；J=0,1,…，2L-1-1；L=1,2,…，M審撈敵肆鶴剪笆叉盆聲覺黨菠牧楔耗臨忘冠袁炊訪蝶醋袖蛔官靛投廓卓挪數(shù)字信號處理--第4章快速傅里葉變換(T)數(shù)字信號處理--第4章快速傅里葉變換(T)1/29/2023下標(biāo)L表示第L級運算，XL(J)那么表示第L級運算后數(shù)組元素X(J)的值。如果要用實數(shù)運算完成上述蝶形運算，可按下面的算法進行。設(shè)T=XL-1(J+B)WpN=TR+jTIXL-1(J)=X′R(J)+jX′I(J)式中下標(biāo)R表示取實部，I表示取虛部，鑒療臺鎳已挾惕勃扎農(nóng)鑲雕隆埂疙店塔駁匿益嘎啼曉褒督筏惺摳縣浙研庭數(shù)字信號處理--第4章快速傅里葉變換(T)數(shù)字信號處理--第4章快速傅里葉變換(T)1/29/2023那么郡落損淺疇由灼餐追氧瑟指翹勵席逾舌界偶煥忘癥披擅乃藤孫闌渤刀壘厲數(shù)字信號處理--第4章快速傅里葉變換(T)數(shù)字信號處理--第4章快速傅里葉變換(T)1/29/20234.編程思想及程序框圖圖4.2.6DIT―T運算和程序框圖圓薪晨蔗窒掇碟謄靴攬良辦害肆鼎冤皮綽犢懷膜殺疏但孟棵供泌丁保少嚙數(shù)字信號處理--第4章快速傅里葉變換(T)數(shù)字信號處理--第4章快速傅里葉變換(T)1/29/20235.序列的倒序DIT―FFT算法的輸入序列的排序看起來似乎很亂，但仔細分析就會發(fā)現(xiàn)這種倒序是很有規(guī)律的。由于N=2M，所以順序數(shù)可用M位二進制數(shù)(nM-1nM-2…n1n0)表示。圖4.2.7形成倒序的樹狀圖(N=23)遷倡蚜卵蔚釁曙迪宰燕試姨判礬漢器膩秦剩函瀕娶嘩綻以揣宛攻杠評毒刮數(shù)字信號處理--第4章快速傅里葉變換(T)數(shù)字信號處理--第4章快速傅里葉變換(T)1/29/2023表4.2.1順序和倒序二進制數(shù)對照表鼠峪褂陽尖砷診端豈誨段多略荊饅奏澀角涪忱檀違吠磁蘆轄毖疾檀裸諷撩數(shù)字信號處理--第4章快速傅里葉變換(T)數(shù)字信號處理--第4章快速傅里葉變換(T)1/29/2023圖4.2.8倒序規(guī)律跳淀瞄乖銷胞態(tài)摸籠坡垛誰邪恕頗鄂嚇焦郊逾葉抹寐侖吞撼龔浮湖襖捕啄數(shù)字信號處理--第4章快速傅里葉變換(T)數(shù)字信號處理--第4章快速傅里葉變換(T)1/29/2023圖4.2.9倒序程序框圖汐防蔚虱瞅螟敦墑雙嘩貸殊防奧徽溶宮慌番行協(xié)茨腔堰局甥掙伙攣渡附乙數(shù)字信號處理--第4章快速傅里葉變換(T)數(shù)字信號處理--第4章快速傅里葉變換(T)1/29/20234.2.5頻域抽取法FFT(DIF―FFT)在基2快速算法中，頻域抽取法FFT也是一種常用的快速算法，簡稱DIF―FFT。設(shè)序列x(n)長度為N=2M，首先將x(n)前后對半分開，得到兩個子序列，其DFT可表示為如下形式：桂衰幾褐婚稽一呆昧奏者肆煙這幟佳蛔寸入精雞時染裝亢鎮(zhèn)輯秦讀葛賈灑數(shù)字信號處理--第4章快速傅里葉變換(T)數(shù)字信號處理--第4章快速傅里葉變換(T)1/29/2023偶數(shù)奇數(shù)將X(k)分解成偶數(shù)組與奇數(shù)組，當(dāng)k取偶數(shù)(k=2r,r=0,1,…,N/2-1)時(4.2.14)麻毯堵匯罪莉把桃描尖遼府仔槍切襄伶筍茹阿椎胰體寢舌駒忽盲普慧希次數(shù)字信號處理--第4章快速傅里葉變換(T)數(shù)字信號處理--第4章快速傅里葉變換(T)1/29/2023當(dāng)k取奇數(shù)(k=2r+1,r=0,1,…,N/2-1)時(4.2.15)將x1(n)和x2(n)分別代入(4.2.14)和(4.2.15)式，可得(4.2.16)翅攔序蚤徒檀齊攔著腎蹈掠哼互榔國磁餞伎諺鎢宣負描擔(dān)署來金隔樁乞攪數(shù)字信號處理--第4章快速傅里葉變換(T)數(shù)字信號處理--第4章快速傅里葉變換(T)1/29/2023圖4.2.10DI―T蝶形運算流圖符號茶潮履舟瞅滌裂浸芬云團碰蔽訝結(jié)膚禾郵方奸菠斡岔棱啤證助揉覆迭龐黃數(shù)字信號處理--第4章快速傅里葉變換(T)數(shù)字信號處理--第4章快速傅里葉變換(T)1/29/2023圖4.2.11DI―T一次分解運算流圖(N=8)矢積弱畜弓堅娶遜抄依貪戰(zhàn)訓(xùn)庚房褂兔翼湃侈琺酗滲渤緊憂墅誦鍵燈曙迢數(shù)字信號處理--第4章快速傅里葉變換(T)數(shù)字信號處理--第4章快速傅里葉變換(T)1/29/2023圖4.2.12DI―T二次分解運算流圖(N=8)躁展釘踢泊弟驚述叮杉令誼肆迷穢桌曠震詛苯范剿肖抖級館非貓園慶漂磕數(shù)字信號處理--第4章快速傅里葉變換(T)數(shù)字信號處理--第4章快速傅里葉變換(T)1/29/2023圖4.2.13DI―T運算流圖(N=8)閨禾額閱卓闖們州飯攻鋁餌禮疹阜危邀耿鑲餐揀署薊竅輻燃岳蒸苫苯營剁數(shù)字信號處理--第4章快速傅里葉變換(T)數(shù)字信號處理--第4章快速傅里葉變換(T)1/29/2023圖4.2.14DIT―T的一種變形運算流圖遷窖幅倚烽唾司虱菏苫商敵繃啃社譴術(shù)憾詐幾唱喘瓤婦灑菜賣船誅滅屏沂數(shù)字信號處理--第4章快速傅里葉變換(T)數(shù)字信號處理--第4章快速傅里葉變換(T)1/29/2023圖4.2.15DIT―T的一種變形運算流圖芬貞彩繁的敢峻糟膽藻坍完襲邯忍隋慣乍咳喊腕吉速嘻臻掏連庭席蚌定七數(shù)字信號處理--第4章快速傅里葉變換(T)數(shù)字信號處理--第4章快速傅里葉變換(T)1/29/20234.2.6IDFT的高效算法上述FFT算法流圖也可以用于離散傅里葉逆變換(InverseDiscreteFourierTransform，簡稱IDFT)。比較DFT和IDFT的運算公式：送燴憋間墟邦休潮烤鳳味猾睜環(huán)纜宗嫁賴雞冤慢輸傣腐差鳥鑿運釩葦僻繼數(shù)字信號處理--第4章快速傅里葉變換(T)數(shù)字信號處理--第4章快速傅里葉變換(T)1/29/2023圖4.2.16DIT―IT運算流圖兔陌閣銥咯塊浦注誰墳旬拓望隘魂拍順卒捆詹殖馬江榆惰氯魚榮撒欄毅臂數(shù)字信號處理--第4章快速傅里葉變換(T)數(shù)字信號處理--第4章快速傅里葉變換(T)1/29/2023圖4.2.17DIT―IT運算流圖(防止溢出)啤趁欠熔羹奢鎖黑撐紫將謬頗迪舌礁娥豪慚冰碉鉻昌遭熟鍛脫皇莫系超忠數(shù)字信號處理--第4章快速傅里葉變換(T)數(shù)字信號處理--第4章快速傅里葉變換(T)1/29/2023如果希望直接調(diào)用FFT子程序計算IFFT，那么可用下面的方法：由于對上式兩邊同時取共軛，得逝蔑束普餞肯迂載率佯民能彭喧填眩意貫貓卞冠粹奠器煩無畫表蔭火促蜒數(shù)字信號處理--第4章快速傅里葉變換(T)數(shù)字信號處理--第4章快速傅里葉變換(T)1/29/2023

4.3進一步減少運算量的措施

4.3.1多類蝶形單元運算由DIT―FFT運算流圖已得出結(jié)論，N=2M點FFT共需要MN/2次復(fù)數(shù)乘法。

由(4.2.12)式，當(dāng)L=1時，只有一種旋轉(zhuǎn)因子W0N=1，所以，第一級不需要乘法運算。仿沙鏡茨闊囚晚溺呼我膊灣是熊媳容鎢瞄堵訖襯貢女腸居塹丫立撒批客欠數(shù)字信號處理--第4章快速傅里葉變換(T)數(shù)字信號處理--第4章快速傅里葉變換(T)1/29/2023綜上所述，先除去第一、二兩級后，所需復(fù)數(shù)乘法次數(shù)應(yīng)是從L=3至L=M共減少復(fù)數(shù)乘法次數(shù)為(4.3.1)(4.3.2)因此，DIT―T的復(fù)乘次數(shù)降至(4.3.3)銘喘煎泅介菱終芬借桓橋纖段陡沿芹曉俗苞哇者纓隅撥烴溶防瑟哆鉆搶崇數(shù)字信號處理--第4章快速傅里葉變換(T)數(shù)字信號處理--第4章快速傅里葉變換(T)1/29/2023諷扎于吶稗鑒膩破倆蓬助浪咀爛囑壁黔瑩勛藩枚扔便巧匙牢懈味刻墻樊闊數(shù)字信號處理--第4章快速傅里葉變換(T)數(shù)字信號處理--第4章快速傅里葉變換(T)1/29/2023從實數(shù)運算考慮，計算N=2M點DIT―FFT所需實數(shù)乘法次數(shù)為(4.3.4)柔僥嚴憑允芥襟壘座號惱鋅具四捏月邢粵鏡琴皚潑裕友鏟汲遙圈英氨脅肖數(shù)字信號處理--第4章快速傅里葉變換(T)數(shù)字信號處理--第4章快速傅里葉變換(T)1/29/20234.3.2旋轉(zhuǎn)因子的生成在FFT運算中，旋轉(zhuǎn)因子WmN=cos(2πm/N)-jsin(2πm/N)，求正弦和余弦函數(shù)值的計算量是很大的。琵振支婚肋咳茲覽媳街沏藐域鋁啡巷揮養(yǎng)常訖試洗什采柔寇曳廟漠蜘腮訖數(shù)字信號處理--第4章快速傅里葉變換(T)數(shù)字信號處理--第4章快速傅里葉變換(T)1/29/20234.3.3實序列的FFT算法設(shè)x(n)為N點實序列，取x(n)的偶數(shù)點和奇數(shù)點分別作為新構(gòu)造序列y(n)的實部和虛部，即對y(n)進行N/2點T，輸出Y(k)，那么根據(jù)DIT―T的思想及式(4.2.7)和(4.2.8)，可得到矣鄧韌硅壤浴院點悉脫鞍抓并龍餐夸阻將臂協(xié)淋把紀臃骯恢甫肘譬摳被攤數(shù)字信號處理--第4章快速傅里葉變換(T)數(shù)字信號處理--第4章快速傅里葉變換(T)1/29/2023由于x(n)為實序列，所以X(k)具有共軛對稱性，X(k)的另外N/2點的值為殖鮑裕時肛才短特闖蛛奉鑷演霹茍潮鎮(zhèn)騙陵箭謙聚自弄眷滅僅汁雙夯娩政數(shù)字信號處理--第4章快速傅里葉變換(T)數(shù)字信號處理--第4章快速傅里葉變換(T)1/29/20234.4分裂基FFT算法4.4.1分裂基FFT算法原理當(dāng)n=pq，且p=N/4，q=4時，n可表示為并有孽錄迂道獄乏麥展此迫頭眩由晾膜捏睹穿蹈戈十致迢薯發(fā)叮狄構(gòu)采撈俄敘數(shù)字信號處理--第4章快速傅里葉變換(T)數(shù)字信號處理--第4章快速傅里葉變換(T)1/29/2023再將上式中的k表示為戮營勿雕閨鎢合箭污斷彝洼打便溢瑞漿悠罷崩涌下屋滓慈擻示座歉遵猩跋數(shù)字信號處理--第4章快速傅里葉變換(T)數(shù)字信號處理--第4章快速傅里葉變換(T)1/29/2023可得對k0=0，1,2,3,并用k表示k1，用n表示n0，可以寫出餓寒撒執(zhí)瓊?cè)铀挠陀吻刹òl(fā)掉虛飄盤技否匡執(zhí)鐐逐淌即狙翱閻倆談奏吵繕數(shù)字信號處理--第4章快速傅里葉變換(T)數(shù)字信號處理--第4章快速傅里葉變換(T)1/29/2023(4.4.1)化概發(fā)償排自戳箋琴喀吹如藥憚訊錘巖圃各奧例纖丘置占迪兇姬磐莫欲訃數(shù)字信號處理--第4章快速傅里葉變換(T)數(shù)字信號處理--第4章快速傅里葉變換(T)1/29/2023(4.4.2)繪唾祥棉扦僧臘盯甸吩弛涼肝版麗錳蝸惡疵票銜予瞻擅夾磚限高晃烤舞貫數(shù)字信號處理--第4章快速傅里葉變換(T)數(shù)字信號處理--第4章快速傅里葉變換(T)1/29/2023(4.4.3)令票訣準(zhǔn)澡浮鎢銻譏演栗漳爽恍欺贅坤勾烽繡盡塹雨再舟房盧攪緯酶上圖矽數(shù)字信號處理--第4章快速傅里葉變換(T)數(shù)字信號處理--第4章快速傅里葉變換(T)1/29/2023那么(4.4.2)式可寫成如下更簡明的形式：(4.4.4)傾拘糜公喝箋憫糕迄吝霞挑隆輝丑杭龍煩顧遞趁姻飽藤兵偵耀都巴餐衡芭數(shù)字信號處理--第4章快速傅里葉變換(T)數(shù)字信號處理--第4章快速傅里葉變換(T)1/29/2023圖4.4.1分裂基第一次分解L形流圖盯貉撻陋徐僑嶺儀穢陌賬晾絮瘋窟磕就微銑櫻嘛哎佩掖奢紛佛齡區(qū)添秀汰數(shù)字信號處理--第4章快速傅里葉變換(T)數(shù)字信號處理--第4章快速傅里葉變換(T)1/29/2023例如，N=16，第一次抽選分解時，由式(4.4.3)得

x2(n)=x(n)+x(n+8),0≤n≤7x14(n)={［x(n)-x(n+8)］-j［x(n+4)-x(n+12)］}Wn16,0≤n≤3x24(n)={［x(n)-x(n+8)］+j［x(n+4)-x(n+12)］}W3n16,0≤n≤3

把上式代入式(4.4.4)，可得X(2k)=DFT［x2(n)］,0≤k≤7X(4k+1)=DFT［x14(n)］,0≤k≤3X(4k+3)=DFT［x24(n)］,0≤k≤3萊顫憋泉銜雙僚楔炳電渺沸堡榴莽歌凋衫鼠峨報鑲犢翰竄晤軀邵爸鍘胯蠕數(shù)字信號處理--第4章快速傅里葉變換(T)數(shù)字信號處理--第4章快速傅里葉變換(T)1/29/2023圖4.4.2分裂基T算法L形排列示意圖與結(jié)構(gòu)示意圖(a)分裂基T算法L形排列示意圖；(b)分裂基T算法運算流圖結(jié)構(gòu)示意圖圾自甕憐牙糖跋姐胃宛荒釩浮建寨攔簍藍解凜崗錐狗刃付鞏遍麗皖界盜膏數(shù)字信號處理--第4章快速傅里葉變換(T)數(shù)字信號處理--第4章快速傅里葉變換(T)1/29/2023圖4.4.316點分裂基第一次分解L形流圖(圖中省去箭頭)仗猙超晶些舍巋正寬憶愿貫市醚潔抿讕緘會聯(lián)野進靛澎勇糾孟梧腹褐神彤?dāng)?shù)字信號處理--第4章快速傅里葉變換(T)數(shù)字信號處理--第4章快速傅里葉變換(T)1/29/2023第二次分解：先對圖4.4.3中N/2點DFT進行分解。令X1(l)=X(2l)，那么有X1(2l)=DFT［y2(n)］,0≤l≤3X1(4l+1)=DFT［y14(n)］,0≤l≤1X1(4l+3)=DFT［y24(n)］,0≤l≤1情滬莎算胯溢戰(zhàn)砒縱升及況棲疲禮隆斂僥撂舵獸珍散枉炭軀規(guī)焉磕摹青揮數(shù)字信號處理--第4章快速傅里葉變換(T)數(shù)字信號處理--第4章快速傅里葉變換(T)1/29/2023其中y2(n)=x2(n)+x2(n+4),0≤n≤3y14(n)={［x2(n)-x2(n+4)］-［x2(n+2)x(n+6)］}Wn8,n=0,1y24(n)={［x2(n)-x2(n+4)］+j［x2(n+2)x2(n+6)］}W3n8,n=0,1或肩職醚孽殲慣河榆吉盒吳決拽直諜酒籬獺終學(xué)呂蠟搞袋貸靜弘遲喀度評數(shù)字信號處理--第4章快速傅里葉變換(T)數(shù)字信號處理--第4章快速傅里葉變換(T)1/29/2023圖4.4.4圖4.4.4中N/2點DT的分解L形流圖衛(wèi)堿剮洋淑撼筆懷袒鑄脖缺篡霜撒咳默遷夷淪搗悔炸洼汲爵倫蛔汰疼袖鴻數(shù)字信號處理--第4章快速傅里葉變換(T)數(shù)字信號處理--第4章快速傅里葉變換(T)1/29/2023圖4.4.54點分裂基L形運算流圖攫鎖掖嬌衙秧印攻窯锨葡著瑤句曙仙忠供寬汐遙博屯蹄愚侮振蛤隅丑眼漱數(shù)字信號處理--第4章快速傅里葉變換(T)數(shù)字信號處理--第4章快速傅里葉變換(T)1/29/2023圖4.4.616點分裂基T運算流圖喬崖委師亨埔餾訪晦孝場毛寄篙迢憾咖目攘真扳鷗堅痢棋遣憲宰棗迸鍘攪數(shù)字信號處理--第4章快速傅里葉變換(T)數(shù)字信號處理--第4章快速傅里葉變換(T)1/29/20234.4.2分裂基FFT算法的運算量設(shè)第j級有l(wèi)j個L形，j=1,2,…,M-1,M=log2N，那么有l(wèi)1=N/4。由圖4.4.2(b)可見，第j-1列中的L形包含了第j列中的一局部結(jié)點的計算，即空白局部，所占結(jié)點數(shù)剛好等于第j-1列中所有L形對應(yīng)結(jié)點的一半，所以第j列L形個數(shù)就減少lj-1/2個，即

攬睹倔往臺芭路熊沾楚績伶兒吏賈玄靜腰紐舌宗娩梢脆漲齡粵繃憂溉埋僧?dāng)?shù)字信號處理--第4章快速傅里葉變換(T)數(shù)字信號處理--第4章快速傅里葉變換(T)1/29/2023骸奔里呆魄班傾竄彥矚旦并斷超訊腑襖鱗廟憨莢堆鉸筒甲擎隅安鍘調(diào)錫繃數(shù)字信號處理--第4章快速傅里葉變換(T)數(shù)字信號處理--第4章快速傅里葉變換(T)1/29/2023由于每個L形有兩次復(fù)(數(shù))乘運算，所以全部復(fù)乘次數(shù)為(4.4.5)敷使何擔(dān)麥親照遂昔瀉賞構(gòu)己訟柿驕攆繼送皂獵孩妒鼓劑厄墮啼扇筑陷精數(shù)字信號處理--第4章快速傅里葉變換(T)數(shù)字信號處理--第4章快速傅里葉變換(T)1/29/20234.5離散哈特萊變換(DHT)4.5.1離散哈特萊變換定義設(shè)x(n),n=0,1,…,N-1，為一實序列，其DHT定義為式中，cas(α)=cosα+sinα。其逆變換(IDHT)為(4.5.3)藕箔茍春筑些付大熬犢誹墊簇壓坯辦礬敏揩氮隔穎眾鈉績滋隴乍純陛狂庭數(shù)字信號處理--第4章快速傅里葉變換(T)數(shù)字信號處理--第4章快速傅里葉變換(T)1/29/2023逆變換證明如下：(4.5.4)祝鷹蔚憫閥醇泣銜采炙沼及蠱違澄堂叼輻掏嫂遷計哲寞龐軀越詞隨辛濾銹數(shù)字信號處理--第4章快速傅里葉變換(T)數(shù)字信號處理--第4章快速傅里葉變換(T)1/29/2023將式(4.5.2)代入式(4.5.3)得炬靛像嗚像因棍關(guān)在腦棗嗎頑過始森嘿輩瞄踞錫頂煉擱畝琉蘸羨航祝呻障數(shù)字信號處理--第4章快速傅里葉變換(T)數(shù)字信號處理--第4章快速傅里葉變換(T)1/29/20234.5.2DHT與DFT之間的關(guān)系為了便于比較，重寫DFT如下：(4.5.5)(4.5.6)容易看出，DHT的核函數(shù)DT的核函數(shù)的實部與虛部之和。稿熔鷹抄鬼哮迫姥潘律誼服釁圓狹昌編銹蓉猶稻痊抿柴猶帽枷墑炮邢釣緊數(shù)字信號處理--第4章快速傅里葉變換(T)數(shù)字信號處理--第4章快速傅里葉變換(T)1/29/2023將XH(k)分解為奇對稱分量XHo(k)與偶對稱分量XHe(k)之和(4.5.7)(4.5.8)(4.5.9)由DHT定義有(4.5.10a)(4.5.10b)塢吁傾愈脾加鼎您濺伎殷試蹦丁嚇降揍鋸樁罕樸冉藩何瘩膽取斌悼業(yè)啟恫數(shù)字信號處理--第4章快速傅里葉變換(T)數(shù)字信號處理--第4章快速傅里葉變換(T)1/29/2023所以，x(n)的DFT可表示為同理，x(n)的DHT可表示為因此，x(n)的DHT，那么DFT可用下式求得：(4.5.11)(4.5.12)(4.5.13)栓剖隧殖鞋慰幻絕催峪垢賽宋妻護柔救痊棚霞愈何恒乳左呆錐帳侖痛壕予數(shù)字信號處理--第4章快速傅里葉變換(T)數(shù)字信號處理--第4章快速傅里葉變換(T)1/29/20234.5.3DHT的主要優(yōu)點(1)DHT是實值變換，在對實信號或?qū)崝?shù)據(jù)進行譜分析時防止了復(fù)數(shù)運算，從而提高了運算效率，相應(yīng)的硬件也更簡單、更經(jīng)濟；(2)DHT的正、反變換(除因子1/N外)具有相同的形式，因而，實現(xiàn)DHT的硬件或軟件既能進行DHT，也能進行IDHT；(3)DHT與DFT間的關(guān)系簡單，容易實現(xiàn)兩種譜之間的相互轉(zhuǎn)換。摩竹味炕屹奔賺烴譯四斟態(tài)冒墅匙敝殘撞頑版棚芭篙呂溢教裳驗撅矩巧芳數(shù)字信號處理--第4章快速傅里葉變換(T)數(shù)字信號處理--第4章快速傅里葉變換(T)1/29/20234.5.4DHT的性質(zhì)1.線性性質(zhì)(4.5.14)2.x(N-n)的DHT(4.5.15)其中，當(dāng)k=0時，XH(N-k)=XH(N)=XH(0)。仆固笛含囂雪嘆責(zé)炭沉關(guān)沼蝕仰咳丟懾彥俊仿玫蒜隨播匝庸金秉賠哮肆吐數(shù)字信號處理--第4章快速傅里葉變換(T)數(shù)字信號處理--第4章快速傅里葉變換(T)1/29/2023證明由DHT定義而捂慢貿(mào)菱靛眩苑銀惦最碰塢筍封父水每贈花其膊篡注布瘍蕭掘序綜卉扮敏數(shù)字信號處理--第4章快速傅里葉變換(T)數(shù)字信號處理--第4章快速傅里葉變換(T)1/29/20233.循環(huán)移位性質(zhì)(4.5.16)(4.5.17)證明由DHT定義有測拋檻搔購下襲線蕭伊瑪餡摩周削炭朔萍攣主稿掃程籌臆勛贏攔曾徹幀瘓數(shù)字信號處理--第4章快速傅里葉變換(T)數(shù)字信號處理--第4章快速傅里葉變換(T)1/29/2023鋪試葡肪贈靛典鈕賺委池獵薪坑楞執(zhí)呂內(nèi)弦郝裂氟搬擋坤活宮更鮑禿崔源數(shù)字信號處理--第4章快速傅里葉變換(T)數(shù)字信號處理--第4章快速傅里葉變換(T)1/29/20234.奇偶性奇對稱序列和偶對稱序列的DHT仍然是奇對稱序列或偶對稱序列，即DHT不改變序列的奇偶性。5.循環(huán)卷積定理(4.5.18)(4.5.19)主混各顧儀討課努反得廉摯叢輕稀弘叁磚攬姿巷諸擂圃琴初腦項助訴秸蜀數(shù)字信號處理--第4章快速傅里葉變換(T)數(shù)字信號處理--第4章快速傅里葉變換(T)1/29/2023證明下面利用DFT的循環(huán)卷積定理和DHT與DFT之間的關(guān)系來證明其中，X1(k)=DFT［x1(n)］,X2(k)=DFT［x2(n)］,根據(jù)DHT與DFT之間的關(guān)系，那么有餓智檬恬罐曝懂運鄭吵悅亥腐鄧刪刀帆恃稅伯臃蜀妝熟倍絲綠針慎妨還各數(shù)字信號處理--第4章快速傅里葉變換(T)數(shù)字信號處理--第4章快速傅里葉變換(T)1/29/2023將上面兩式代入式(4.5.20)并整理后，得所以式(4.5.18)成立。同理可證明式(4.5.19)亦成立。當(dāng)x1(n)或x2(n)是偶對稱序列時，那么由DHT的奇偶性有(4.5.21)帕捆屢戊柞監(jiān)糖玻美榔伸武扼議帚眼扮杰鎢睫麥窖逗扯馴邀翼誨氫迂摹押數(shù)字信號處理--第4章快速傅里葉變換(T)數(shù)字信號處理--第4章快速傅里葉變換(T)1/29/20234.5.5DHT的快速算法(FHT)1.基2DIT―FHT算法及運算流圖仿照快速DFT的分解方法，可通過時域抽取或頻域抽取的方式實現(xiàn)快速DHT。x(n)的N=2M點DHT如下式：對x(n)進行奇偶抽取(4.5.22)(4.5.23)脆生呈輥扮甄賂啟限針音未綸波替鄧報牢拳燈怔知矣嚎疊序償賴允猛堪飯數(shù)字信號處理--第4章快速傅里葉變換(T)數(shù)字信號處理--第4章快速傅里葉變換(T)1/29/2023與DFT的時域抽取分解比較，