2020高考數(shù)學(xué)考點預(yù)測12立體幾何初步

2020高考數(shù)學(xué)考點預(yù)測12立體幾何初步立體幾何初步一、考點介紹09考試大綱中，對本節(jié)的要求如下：〔1〕空間幾何體認(rèn)識柱、錐、臺、球及其簡單組合體的結(jié)構(gòu)特點，并能運用這些特點描述現(xiàn)實生活中簡單物體的結(jié)構(gòu) .能畫出簡單空間圖形〔長方體、球、圓柱、圓錐、棱柱等的簡易組合〕的三視圖，能識不上述的三視圖所表示的立體模型，會用斜二測法畫出它們的直觀圖.會用平行投影與中心投影兩種方法，畫出簡單空間圖形的三視圖與直觀圖，了解空間圖形的不同表示形式 .會畫某些建筑物的視圖與直觀圖〔在不阻礙圖形特點的基礎(chǔ)上，尺寸、線條等不作嚴(yán)格要求〕.了解球、棱柱、棱錐、臺的表面積和體積的運算公式〔不要求經(jīng)歷公式〕.〔2〕點、直線、平面之間的位置關(guān)系①明白得空間直線、平面位置關(guān)系的定義，并了解如下能夠作為推理依據(jù)的公理和定理.TOC\o"1-5"\h\z公理1:假如一條直線上的兩點在一個平面內(nèi)， 那么這條直線上所有的點在此平面內(nèi) .公理2:過不在同一條直線上的三點，有且只有一個平面 ^公理3:假如兩個不重合的平面有一個公共點，那么它們有且只有一條過該點的公共直線.公理4:平行于同一條直線的兩條直線互相平行 .定理：空間中假如一個角的兩邊與另一個角的兩邊分不平行， 那么這兩個角相等或互補.以立體幾何的上述定義、公理和定理為動身點，認(rèn)識和明白得空間中線面平行、垂直的有關(guān)性質(zhì)與判定定理 .明白得以下判定定理 .?假如平面外一條直線與此平面內(nèi)的一條直線平行，那么該直線與此平面平行 ^假如一個平面內(nèi)的兩條相交直線與另一個平面都平行，那么這兩個平面平行 ^假如一條直線與一個平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直，那么該直線與此平面垂直 .假如一個平面通過另一個平面的垂線，那么這兩個平面互相垂直 ^明白得以下性質(zhì)定理，并能夠證明.假如一條直線與一個平面平行， 通過該直線的任一個平面與此平面相交， 那么這條直線就和交線平行 .假如兩個平行平面同時和第三個平面相交，那么它們的交線相互平行 ^垂直于同一個平面的兩條直線平行 .假如兩個平面垂直，那么一個平面內(nèi)垂直于它們交線的直線與另一個平面垂直 ^能運用公理、定理和已獲得的結(jié)論證明一些空間圖形的位置關(guān)系的簡單命題.二、高考真題1〔．2018年廣東卷，數(shù)學(xué)理科，5，數(shù)學(xué)文科，7〕將正三棱柱截去三個角〔如圖1所示 A，B，C分不是△GHI三邊的中點〕得到幾何體如圖 2，那么該幾何體按圖 2所示方向的側(cè)視圖〔或稱左視圖〕為〔〕

HEB.C. D.HEB.C. D.R解析1此題考查幾何體的三視圖， 解題時在圖2的右邊放扇墻（心中有墻，可得答案.R答案1ATOC\o"1-5"\h\z2.〔2018年上海春卷，數(shù)學(xué)，8〕一個凸多面體共有9個面，所有棱長均為1,其平面展方圖如右圖所示，那么該凸多面體的體積 V.R解析1此題考查空間想象能力及相應(yīng)幾何體的體積， 由題知，凸多面/.、，△.、，.、...體是由一個棱為1的正四棱錐和一個棱長為1的正方體并接而成，正四I \ 1-棱錐的高為.12（；）2-2,v13112|巧1q. —3.〔2018年江西卷，數(shù)學(xué)理科，3.〔2018年江西卷，數(shù)學(xué)理科，16〕如圖1,一個正四棱柱形的密閉容器底部鑲嵌了同底的正四棱錐形實心裝飾塊，容器內(nèi)盛有a升水時，水面恰好P,故B正確;P,故B正確;C的錯誤可由圖通過正四棱錐的頂點P。假如將容器倒置，水面也恰好過點P〔圖2〕。有以下四個命題：A.正四棱錐的高等于正四棱柱高的一半B.將容器側(cè)面水平放置時，水面也恰好過點 PC.任意擺放該容器，當(dāng)水面靜止時，水面都恰好通過點 PD.假設(shè)往容器內(nèi)再注入a升水，那么容器恰好能裝滿其中真命題的代號是：〔寫出所有真命題的R解析1易知所盛水的容積為容器容量的一半，故D正確,因此A錯誤；水平放置時由容器形狀的對稱性知水面通過點1中容器位置向右邊傾斜一些可推知點 P將露出水面。R答案1真命題的代號是： BD。4.〔2007年廣東卷，數(shù)學(xué)文科， 6〕假設(shè)1、mn是互不相同的空間直線， 、是不重合的平面，那么以下命題中為真命題的是A.假設(shè)//,l,n,那么l〃nB.假設(shè),l,那么lC.假設(shè)ln,mn,那么l//mD.假設(shè)l,l//，那么〃R解析1考查直線和平面與直線和平面的相互關(guān)系，對 A,當(dāng)// ,時，只是平行于 中某一直線而非所有，因而 未必能平行于n；對B,只有在垂直與兩面的交線才有結(jié)論!成立；對C,直線和m能夠是異面，立方體的棱就能表達(dá)這種關(guān)系。R答案1D5.〔2018年海南寧夏卷，數(shù)學(xué)文科， 18〕如下的三個圖中，上面的是一個長方體截去一個

角所得多面體的直觀圖， 它的正視圖和側(cè)視圖在下面畫出 〔單位：cm〕?！?〕在正視圖下面，按照畫三視圖的要求畫出該多面體的俯視圖； 〔2〕按照給出的尺寸，求該多面體的體積；〔3〕在所給直觀圖中連結(jié)BC',證明：BC'//面EFGR解析1長方體的有關(guān)知識、體積運算及三視圖的相關(guān)知識（僻視圖）R答案］⑴如圖（僻視圖）1 1 284 3〔2〕所求多面體的體積VV長方體V正棱棱錐446--222—cm33 2 3〔3〕證明：如圖，在長萬體ABCDABCD中，連接AD,那么AD//BCG分不為AA,AD中點，因此 , 'AD//EG,從而EG//BC, ' F— '又BC平面EFG,因此BC//平面EFG；6.〔2007年寧夏、海南卷，數(shù)學(xué)文科，18〕如圖,中，AB2,ACBC72.等邊三角形ADB以AB為軸運動.〔I〕當(dāng)平面ADB平面ABC時，求CD;AB,C,D為空間四點.在AABC〔n〕當(dāng)△ADB轉(zhuǎn)動時，是否總有ABCD?

AB,C,D為空間四點.在AABC證明你的結(jié)論.R解析1考查直線和平面與平面和平面的相互關(guān)系R答案1〔I〕取AB的中點E,連結(jié)DE,CE,因為ADB是等邊三角形，因此當(dāng)平面ADB平面ABC時,DEAB.因為平面因此因為ADB是等邊三角形，因此當(dāng)平面ADB平面ABC時,DEAB.因為平面因此DE可知DEADB。平面ABC平面ABC,CE由可得在RtADECCDJDE2EC22.中，〔n〕證明:〔i〕當(dāng)z\ADB以AB為軸轉(zhuǎn)動時，總有ABADBD即ABR答案1〔I〔n〕證明:〔i〕當(dāng)z\ADB以AB為軸轉(zhuǎn)動時，總有ABADBD即ABR答案1〔I〕證明：由四邊形ABCD為菱形，ABC60：,可得△ABC為正三角形.因為E為BC的中點，因此AEBC.又BC//AD,因此AEAD.因為PA平面ABCD,而PA平面PAD,ADAE平面ABCD，因此PA平面PAD且PA||ADA,AE.因此AE平面PAD.又PD平面PAD,因此AE〔n〕解：設(shè)AB2,H為PD上任意一點，連接AH,EH.由〔I〕知AE平面PAD,那么EHA為EH與平面PAD所成的角.AD——O-EOCHS當(dāng)D在平面ABC內(nèi)時，因為AC=BC,因此C,D都在線段AB的垂直平分線上,當(dāng)D不在平面ABC內(nèi)時，由〔I〕知ABDE.又因ACBC,因此AB又DE,CE為相交直線，因此AB平面CDE,由CD平面CDE,得AB綜上所述，總有ABCD.7.〔2018年山東卷，數(shù)學(xué)理科， 20〕如圖，四棱錐P-ABCD,底面ABCD為菱形，PA1平面ABCD,ABC60,E,F分不是BQPC的中點.〔I〕證明：AE±PD；〔n〕假設(shè)H為PD上的動點，EH與平面PAD所成最大角的正切值為Y5,求二面角E-AF2一C的余弦值.R解析1此題考查線線垂直的證明，和二面角的求法，理科生應(yīng)學(xué)會利用空間向量解決咨詢題。在Rt^EAH中，AE君因此當(dāng)AH最短時,即當(dāng)因此當(dāng)AH最短時,即當(dāng)AHPD時,EHA最大,EHA最大.AE3 6現(xiàn)在tanEHA ,AHAH2解法一：因為過E作EOPA平面ABCD,AC于O,那么EO過。作OSAF于S,連接ES,那么ESO為二面角解法一：因為過E作EOPA平面ABCD,AC于O,那么EO過。作OSAF于S,連接ES,那么ESO為二面角EAF在Rt^AOE中，EO3

AEsin30—,

2AOAE|cos30.又F是PC的中點，在RQASO中，SO3<2AOlsin45二一,4在Rt^ESO中，cos93又SE、EO2SO2304，ESOSOSE3.2_4=.30、，15匕 〃一人、上——，即所求二面角的余弦值為515因此AHJ2.又AD2,因此ADH45,因此PA2.PA平面PAC,因此平面PAC平面ABCD.平面PAC,解法二：由〔I〕知AE,AD,AP兩兩垂直，以A為坐標(biāo)原點，建立如下圖的空間直角坐標(biāo)系，又E,F分不為BC,PC的中點，因此A(0,0,0)B(x/3,1,0),C(x/3,1,0),D(0,2,0),P(0,0,2)E(石,0Q)F因此AE(*3,0,0)AF31d一，一,1設(shè)平面AEF的一法向量為(Xi,y1,Zi)，那么'因此0,因為BDAC,BD反2PAA(0,0,0)B(x/3,1,0),C(x/3,1,0),D(0,2,0),P(0,0,2)E(石,0Q)F因此AE(*3,0,0)AF31d一，一,1設(shè)平面AEF的一法向量為(Xi,y1,Zi)，那么'因此0,因為BDAC,BD反2PAxi12y1取z10.1,那么m(0,2,1),故BD為平面AFC的一法向量.PA。ACBD平面AFC,又BD(63,0),因此cosA,因此23_t5“5,12 555因為二面角EAFC為銳角，因此所求二面角的余弦值為三、名校試題1.〔山東省煙臺市2018年高三適應(yīng)性練習(xí)〔三〕，數(shù)學(xué)理科，6〕直線l平面，直線m平面，那么以下四個命題:①〃lm; ② l〃m;③l〃m ； ④lm〃其中正確的選項是A.①②B.③④RA.①②B.③④R解析1此題考查線面位置關(guān)系的判定,C.②④

②④明顯不正確D.①③2.〔寧夏區(qū)銀川一中2018屆高三年級第五次月考測試，數(shù)學(xué)理科， 12〕如圖，一個幾何體的正視圖和側(cè)視圖是腰長為 1的等腰三角形，俯視圖是一個圓及其圓心，當(dāng)那個幾何體的體積最大時圓的半徑是 〔 〕A A,3 1 .6A.- B.- C.-R解析1此題考查三視圖及椎體的體積運算。2D.—3設(shè)底面半徑為高位h,又r2h21,那么V-Sh-r2h-(1h2)h,3 3 3,3 1 .6A.- B.- C.-R解析1此題考查三視圖及椎體的體積運算。2D.—3設(shè)底面半徑為高位h,又r2h21,那么V-Sh-r2h-(1h2)h,3 3 3當(dāng)h—JPr

3一時，體積最大。3【答案】C.〔山東省濰坊市2018年5月高三教學(xué)質(zhì)量檢測，沿BD將△AB所起，使面ABDL面BCD連結(jié)AC,直的平面有〔 〕對A.1 B.2C.3 D.4R解析1此題考查圖形的翻折，和面面垂直的判定，明顯面ABDL面BCD面ABCL面BCD面ABDL面ACD【答案】C1111正視圖俯視圖側(cè)視圖數(shù)學(xué)理科,12〕如圖，ABCN,AB±BD,那么在四面體ABCM四個面中，互相垂.〔廣東省中山市2018年四校聯(lián)考數(shù)學(xué)，數(shù)學(xué)理科，5〕給出以下關(guān)于互不相同的直線 m,l,n和平面，的四個命題：①假設(shè)②假設(shè)③假設(shè)④假設(shè)m,lm,l是異面直線,A,點Am,則l與m不共面l//,m//l,m//,ll//,m//，且nl,n，則l//m；m點A,l//,m//，則m,則n//其中為假命題的是A.①B.② C.③ D.④R解析1此題考查線線，線面及面面位置關(guān)系的判定【答案】c

5.〔南通四縣市2018屆高三聯(lián)合考試，數(shù)學(xué)，17〕如圖，在長方體ABCDHAiBiCiDi中，AB=AD=2.〔1〕證明：面BDDi 面ACDi;〔2〕假設(shè)E是BG的中點，P是AC的中點，F(xiàn)是AiCi上的點，CiF=mFAi,試求m的值,使得EF//DiP.R解析1此題考查面面垂直的證明，以及線線垂直的探究【答案】證明〔i〕：在長方體ABCD-AiBiGDi中，AB=AD=2,TOC\o"1-5"\h\z故四邊形ABCD是正方形，APIDP, 「 八p Dij^z- -mCi又DiDL面ABCD,AP面ABCD 77??DiDXAP,DiDADP=DAP±rnBDDiBi??AP面ADiC??面BDBDi,面ACDi〔2〕：記AiCi與BiDi的交點為Q,連BQ,?.P是AC的中點,DiP//BQ,要使得EF//DiP,那么必有EF//BQ在4QBG中，E是BG的中點，F(xiàn)是QCi上的點，EF//BQ??.F是QCi的中點，即3CiF=FAi,故所求m的值是L6.〔山東省煙臺市20i8年高三適應(yīng)性練習(xí)〔三〕，數(shù)學(xué)理科， i9〕如圖，平面PADL平面ABCDABCD為正方形，/PAD=90,且PA=AD=2E、F、G分不是線段PA、PRCD的中點?！瞚〕求證：PB〃平面EFG〔2〕求異面直線EG與BD所成的角的余弦值;〔3〕在線段CD上是否存在一點Q,使得點A到平面EFQ的距4離為4,假設(shè)存在，求出CQ的值；假設(shè)不存在，請講明5R解析1此題考查線面平行的證明，和異面直線所成角的求法，及點面距離的求解，理科生應(yīng)學(xué)會利用空間向量解決咨詢題。R答案1解法一：〔i〕證明：取AB為中點H,連結(jié)GHHE,.E,F,G分不是線段PAPDCD的中點，GH//AD//EF,?.E,F,G,H四點共面。又H為AB中點，eh〃pb。又EH面EFGPB平面EFGPB〃面EFG〔2〕解：取BC的中點M連結(jié)GMAMEM那么GM〃BD,???/EGM〔或其補角〕確實是異面直線 EG與BD所成的角。在r^mae中，emCea2am2<6,

一一 一1一同理EG/6,又GM—BD廢，2EG2GM2ME2 /3?在Rt^MG計,cosEGM 2EGGM 6故異面直線EG與BD所成角的余弦值為Q作ORLAB于R,連結(jié)RE,〔3〕假設(shè)在線段Q作ORLAB于R,連結(jié)RE,.「ABC虛正方形，△PAD^直角三角形AD±AB,AD±PA又ABPA=A.ADJ面PAB又E,F分不是PA,PD中點，EF//AD,?.EFL平面PAB又EF面EFQ.EFQL平面PAB過A作AT,ER于T,那么AT上面EFQ,且PA=AD=2設(shè)CQx(0x2),則BRCQx,AR2x,AE1,在Rt^EAR中，ATARAERE(2x)1 4,(2x)212 5,且PA=AD=2設(shè)CQx(0x2),則BRCQx,AR2x,AE1,在Rt^EAR中，ATARAERE(2x)1 4,(2x)212 5“2 2解得x2。3 2故存在點Q,當(dāng)CQ—時，點3，……一，4A到平面EFQ的距離為一5解法二：建立如下圖的空間直角坐標(biāo)系 A-xyz,那么A〔0,0,0〕,B[2,0,0,〕，C〔2,2,0〕，D[0,2,0〕P〔0,0,2〕，E〔0,0,1〕，F(xiàn)[0,1,1〕，G〔1,2,0〕?！?〕證明：.??PB(2,0,2),FE(0,1,0)FG(1,1,1)設(shè)PBsFEtFG即[2,0,—2〕=S〔0,一1,0〕+t〔1,1,解得s=t=2PB2FE2FG

又「fE與fG不共線.，???麗,尼與FG共面。.PB平面EFG,??PB〃平面EFG〔2〕解..EG(1,2,1),BD(2,2,0)EGBD.?3…cosEG,BD 1 ——|EG||BD| 6 .3故平面直線EG與BD所成角的余弦值為—6〔3〕假設(shè)在線段CD上存在一點Q滿足題設(shè)條件。令CQm(0m2),那么DQ=2-m???點Q的坐標(biāo)為〔2m,2,0〕EQ(2m,2,1)而EF(0,1,0),設(shè)平面EFQ的法向量為%x,y,z),那么nEF(x,y,z)(0,1,0)0nEQ(x,y,z)(2m,2,1)0,y02yz02yz0(1,0,2m).0,1〕—,|AEn| |2m| 4EFQ的距離d|n| 1(2m)2 516令x1,則n又AE〔0,，點A到平面即(2m)2TOC\o"1-5"\h\z.、 10一?1?m一或m—2不合題意，舍去。\o"CurrentDocument"3\o"CurrentDocument"4故存在點Q,當(dāng)CQ—時，點A到平面EFQ的距離為4\o"CurrentDocument"57.〔浙江省余姚中學(xué)08-09學(xué)年上學(xué)期高三第三次質(zhì)量檢測，數(shù)學(xué)理科， 19〕如圖，四棱錐

P—ABCD中，ABCD為矩形，△PAD為等腰直角三角形，/APD=90°,面PAD1面ABCD,且AB=1,AD=2,E、F分不為PC和BD的中點.〔1〕證明：EFII面PAD;〔2〕證明：面PDC1面PAQ〔3〕求銳二面角B-PD-C的余弦值.R解析1此題考查線面平行及面面垂直的證明,并運算二面角R答案1證明：〔1〕如圖，連接AC,???ABCD為矩形且F是BD的中點,「?AC必通過F又E是PC的中點,因止匕，EF//AP?.EF在面PAD外，PA在面內(nèi)，EF//面PAD〔2〕,?面PAD1面ABCD,CD±AD,面PAD]面ABCD=AD,?.CD,面PAD,又AP面PAD,APICD又?「AP，PD,PD和CD是相交直線，API面PCD又AD面PAD,又AD面PAD,因此，面PDC面PAD〔3〕由P作PO>±AD于O,以O(shè)A為x軸,A[1,0,0〕，P〔0,0,1〕由〔2〕知AP(1,0,1)是面PCDTBD(2,1,0),PD(1,0,1)設(shè)面BPD的法向量n(x,y,z),由IPD,nBD得 2xy0xz0取x1,那么n(1,2,1),向量AP(1,0,1)和n的夾角的余弦OF為y軸，以O(shè)P為z軸，那么B[1,1,0〕，D〔一1,0,0〕,(1,2,1)(1,01) 3.2丫6 3因此，銳二面角B-PD—C的余弦值—3四、考點推測〔一〕文字介紹TOC\o"1-5"\h\z立體幾何每年高考必考，一樣為一小一大，小題多考位置關(guān)系的簡單的概念性判定， 和三視圖以及面積體積，專門三視圖是新課標(biāo)的新增內(nèi)容， 在高考中將成為命題的熱點， 解答題多以證明位置關(guān)系，運算角與距離為為，文科側(cè)重于證明，理科要學(xué)會用空間向量解決相應(yīng)咨詢題?！捕晨键c推測題 .m// ④nm//n//D①②③④1.〔廣東省湛江一中08-09高三理科數(shù)學(xué)月考試卷2018.2,m// ④nm//n//D①②③④①mn// ②mm//n③m\o"CurrentDocument"mn n m其中的正確命題序號是：A③④B ②③C①②R解析1此題考查位置關(guān)系的判定，屬于簡單題2.〔江蘇省鹽城中學(xué)2018年高三上學(xué)期第二次調(diào)研測試題，數(shù)學(xué)，82.〔江蘇省鹽城中學(xué)棱長和底面邊長均為2,正視圖和俯視圖如下圖，那么其左視圖的面積為R解析1此題考查三視圖幾面積的運算，先畫出左視圖，再進(jìn)行求解，左視圖如上圖，故所求面積為2.'3—2.3【答案】2Z33.〔山東省煙臺市2018—2018學(xué)年高三年級模塊檢測，數(shù)學(xué)文科， 19〕如圖，三棱錐A—BPC中，APIPC,AC±BC,M為AB中點，D為PB中點，且^PMB為正三角形?！?〕求證：DM//平面APC;〔2〕求證：平面ABC1平面APQ〔3〕假設(shè)BC=4,AB=20,求三棱錐D—BCM的體積。R解析1此題考查線面平行的證明，面面垂直的證明以及三棱錐體積的運算【答案】〔1〕.「M為AB中點，D為PB中點，MD//AP,又，MD平面ABC

?DM〃平面APG〔2〕.「△PMB為正三角形，且D為PB中點。MD±PR又由〔1〕.,?知MD//AP, APIPB。又APIP