期權(quán)定價(jià)培訓(xùn)課件

第九章期權(quán)定價(jià)2023/1/309.1期權(quán)價(jià)格的特性

一、期權(quán)價(jià)格的構(gòu)成期權(quán)價(jià)格等于期權(quán)的內(nèi)在價(jià)值加上時(shí)間價(jià)值。

１，內(nèi)在價(jià)值內(nèi)在價(jià)值是指期權(quán)持有者立即行使該期權(quán)合約所賦予的權(quán)利時(shí)所能獲得的總收益。看漲期權(quán)的內(nèi)在價(jià)值為max{S-X,0}看跌期權(quán)的內(nèi)在價(jià)值為max{X-S,0}2023/1/30

按照有無(wú)內(nèi)在價(jià)值，期權(quán)可呈現(xiàn)三種狀態(tài)：實(shí)值期權(quán)、虛值期權(quán)和平價(jià)期權(quán)。把Ｓ>Ｘ（S<X）時(shí)的看漲(跌)期權(quán)稱(chēng)為實(shí)值期權(quán)；把Ｓ＝Ｘ的看漲（跌）期權(quán)稱(chēng)為平價(jià)期權(quán)；把S<X（Ｓ>Ｘ）時(shí)的看漲(跌)期權(quán)稱(chēng)為虛值期權(quán)；2023/1/302，期權(quán)的時(shí)間價(jià)值

期權(quán)的時(shí)間價(jià)值（TimeValue）是指在期權(quán)有效期內(nèi)標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格波動(dòng)為期權(quán)持有者帶來(lái)收益的可能性所隱含的價(jià)值。顯然，標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格的波動(dòng)率越高，期權(quán)的時(shí)間價(jià)值就越大。X時(shí)間價(jià)值圖9.1看漲期權(quán)時(shí)間價(jià)值與|S-X|的關(guān)系Ｓ到期日時(shí)間價(jià)值5432102023/1/303,期權(quán)價(jià)格與內(nèi)在價(jià)值和時(shí)間價(jià)值間的關(guān)系

期權(quán)合約的價(jià)值是由期權(quán)價(jià)格決定的，即由內(nèi)在價(jià)值和時(shí)間價(jià)值所決定。三者之間的關(guān)系如圖9-2所示。2023/1/30ATM期權(quán)費(fèi)變動(dòng)曲線(xiàn)OTMITMXIVTVTVTV0標(biāo)的資產(chǎn)市價(jià)S期權(quán)費(fèi)圖9.2看漲期權(quán)的期權(quán)費(fèi)、內(nèi)在價(jià)值、時(shí)間價(jià)值的關(guān)系2023/1/30二、期權(quán)價(jià)格的影響因素（一）標(biāo)的資產(chǎn)的市場(chǎng)價(jià)格與期權(quán)的協(xié)議價(jià)格對(duì)于看漲期權(quán)而言，標(biāo)的資產(chǎn)的價(jià)格越高、協(xié)議價(jià)格越低，看漲期權(quán)的價(jià)格就越高。對(duì)于看跌期權(quán)而言，標(biāo)的資產(chǎn)的價(jià)格越低、協(xié)議價(jià)格越高，看跌期權(quán)的價(jià)格就越高。2023/1/30

（二）期權(quán)的有效期

對(duì)于美式期權(quán)而言，由于它可以在有效期內(nèi)任何時(shí)間執(zhí)行，有效期越長(zhǎng)，多頭獲利機(jī)會(huì)就越大，而且有效期長(zhǎng)的期權(quán)包含了有效期短的期權(quán)的所有執(zhí)行機(jī)會(huì)，因此有效期越長(zhǎng)，期權(quán)價(jià)格越高。對(duì)于歐式期權(quán)而言，由于它只能在期末執(zhí)行，有效期長(zhǎng)的期權(quán)就不一定包含有效期短的期權(quán)的所有執(zhí)行機(jī)會(huì)。這就使歐式期權(quán)的有效期與期權(quán)價(jià)格之間的關(guān)系顯得較為復(fù)雜。

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但在一般情況下（即剔除標(biāo)的資產(chǎn)支付大量收益這一特殊情況），由于有效期越長(zhǎng)，標(biāo)的資產(chǎn)的風(fēng)險(xiǎn)就越大，空頭虧損的風(fēng)險(xiǎn)也越大，因此即使是歐式期權(quán)，有效期越長(zhǎng)，其期權(quán)價(jià)格也越高，即期權(quán)的邊際時(shí)間價(jià)值（MarginalTimeValue）為正值。

我們應(yīng)注意到，隨著時(shí)間的延長(zhǎng)，期權(quán)時(shí)間價(jià)值的增幅是遞減的。這就是期權(quán)的邊際時(shí)間價(jià)值遞減規(guī)律。

2023/1/30（三）標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格的波動(dòng)率

標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格的波動(dòng)率是用來(lái)衡量標(biāo)的資產(chǎn)未來(lái)價(jià)格變動(dòng)不確定性的指標(biāo)。由于期權(quán)多頭的最大虧損額僅限于期權(quán)價(jià)格，而最大盈利額則取決于執(zhí)行期權(quán)時(shí)標(biāo)的資產(chǎn)市場(chǎng)價(jià)格與協(xié)議價(jià)格的差額，因此波動(dòng)率越大，對(duì)期權(quán)多頭越有利，期權(quán)價(jià)格也應(yīng)越高。

在定價(jià)時(shí)，波動(dòng)性只能通過(guò)人們對(duì)未來(lái)的價(jià)格波動(dòng)程度的估計(jì)求得，主要有兩種方法：歷史波動(dòng)法和隱含波動(dòng)法。2023/1/30（四）無(wú)風(fēng)險(xiǎn)險(xiǎn)利率從比較靜態(tài)的的角度看。無(wú)無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率越越高，看跌期期權(quán)的價(jià)值越越低；而看漲漲期權(quán)的價(jià)值值則越高。從動(dòng)態(tài)的角度度看，當(dāng)無(wú)風(fēng)風(fēng)險(xiǎn)利率提高高時(shí)，看漲期期權(quán)價(jià)格下降降，而看跌期期權(quán)的價(jià)格卻卻上升。2023/1/6（五）標(biāo)的資資產(chǎn)的收益由于標(biāo)的資產(chǎn)產(chǎn)分紅付息等等將減少標(biāo)的的資產(chǎn)的價(jià)格格，而協(xié)議價(jià)價(jià)格并未進(jìn)行行相應(yīng)調(diào)整，，因此在期權(quán)權(quán)有效期內(nèi)標(biāo)標(biāo)的資產(chǎn)產(chǎn)生生收益將使看看漲期權(quán)價(jià)格格下降，而使使看跌期權(quán)價(jià)價(jià)格上升。2023/1/6期權(quán)價(jià)格的影影響因素

變量歐式看漲歐式看跌美式看漲美式看跌標(biāo)的資產(chǎn)的市價(jià)＋－＋－期權(quán)協(xié)議價(jià)格－＋－＋期權(quán)的有效期？？＋＋波動(dòng)率＋＋＋＋無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率？？？？標(biāo)的資產(chǎn)的收益－＋－＋注：＋：互補(bǔ)補(bǔ)關(guān)系：－：：抵消關(guān)系；；？：關(guān)系不不明確。2023/1/6我們們首首先先將將本本章章后后面面所所用用到到的的符符號(hào)號(hào)及及其其含含義義開(kāi)開(kāi)列列如如下下：：X：期期權(quán)權(quán)的的執(zhí)執(zhí)行行價(jià)價(jià)格格；；T：期期權(quán)權(quán)的的到到期期時(shí)時(shí)刻刻；；t：現(xiàn)現(xiàn)在在的的時(shí)時(shí)刻刻；；S：標(biāo)標(biāo)的的資資產(chǎn)產(chǎn)在在t時(shí)的的市市場(chǎng)場(chǎng)價(jià)價(jià)格格；；ST：標(biāo)標(biāo)的的資資產(chǎn)產(chǎn)在在T時(shí)的的市市場(chǎng)場(chǎng)價(jià)價(jià)格格；；C：美美式式看看漲漲期期權(quán)權(quán)的的價(jià)價(jià)格格；；c：歐歐式式看看漲漲期期權(quán)權(quán)的的價(jià)價(jià)格格；；P：美美式式看看跌跌期期權(quán)權(quán)的的價(jià)價(jià)格格；；p：歐歐式式看看跌跌期期權(quán)權(quán)的的價(jià)價(jià)格格；；r：t到T期間間的的市市場(chǎng)場(chǎng)無(wú)無(wú)風(fēng)風(fēng)險(xiǎn)險(xiǎn)利利率率（（連連續(xù)續(xù)復(fù)復(fù)利利））；；三、、期期權(quán)權(quán)價(jià)價(jià)格格的的上上下下限限:標(biāo)的的股股票票價(jià)價(jià)格格的的波波動(dòng)動(dòng)率率，，一一般般用用標(biāo)標(biāo)的的股股票票連連續(xù)續(xù)復(fù)復(fù)利利收收益益率率的的年年標(biāo)標(biāo)準(zhǔn)準(zhǔn)差差表表示示。。2023/1/6（一）期期權(quán)價(jià)格格的上限限1,看漲期權(quán)權(quán)價(jià)格的的上限對(duì)于美式式和歐式式看漲期期權(quán)來(lái)說(shuō)說(shuō)，標(biāo)的的資產(chǎn)價(jià)價(jià)格就是是看漲期期權(quán)價(jià)格格的上限限：其中，c代表歐式式看漲期期權(quán)價(jià)格格，C代表美式式看漲期期權(quán)價(jià)格格，S代表標(biāo)的的資產(chǎn)價(jià)價(jià)格。（下同））（9.1）2023/1/62,看跌期權(quán)權(quán)價(jià)格的的上限美式看跌跌期權(quán)價(jià)價(jià)格（P）的上限為為X：其中，r代表T時(shí)刻到期期的無(wú)風(fēng)風(fēng)險(xiǎn)利率率，t代表現(xiàn)在在時(shí)刻。。（9.2）歐式看跌跌期權(quán)的的上限為為：（9.3）2023/1/6（二））期權(quán)權(quán)價(jià)格格的下下限1,歐式看看漲期期權(quán)價(jià)價(jià)格的的下限限（1））無(wú)收收益資資產(chǎn)歐歐式看看漲期期權(quán)價(jià)格格的下下限我們考考慮如如下兩兩個(gè)組組合：：組合A：一份歐式看漲期權(quán)加上金額為的現(xiàn)金組合B：一單位標(biāo)的的資產(chǎn)2023/1/6由于期權(quán)的的價(jià)值一定定為正，因因此無(wú)收益益資產(chǎn)歐式式看漲期權(quán)權(quán)價(jià)格下限限為：在T時(shí)刻，組合合A的價(jià)值為：：

由于，因此，在t時(shí)刻組合A的價(jià)值也應(yīng)大于等于組合B，即:

或組合B的價(jià)值為ST。（9.4）2023/1/6例題考慮一個(gè)不不付紅利股股票的歐式式看漲期權(quán)權(quán)，此時(shí)股股票價(jià)格為為20元，執(zhí)行價(jià)價(jià)格為18元，期權(quán)價(jià)價(jià)格為3元，距離到到期日還有有1年，無(wú)風(fēng)險(xiǎn)險(xiǎn)年利率10%。問(wèn)此時(shí)市市場(chǎng)存在套套利機(jī)會(huì)嗎嗎？如果存存在，該如如何套利？？（2）有收收益資產(chǎn)歐歐式看漲期期權(quán)價(jià)格的的下限（9.5）

我們只要將上述組合A的現(xiàn)金改為，其中D為期權(quán)有效期內(nèi)資產(chǎn)收益的現(xiàn)值，并經(jīng)過(guò)類(lèi)似的推導(dǎo)，就可得出有收益資產(chǎn)歐式看漲期權(quán)價(jià)格的下限為：2023/1/62,歐式看跌跌期權(quán)價(jià)價(jià)格的下下限（1）無(wú)無(wú)收益資資產(chǎn)歐式式看跌期期權(quán)價(jià)格格的下限限考慮以下下兩種組組合：組合C：一份歐式式看跌期期權(quán)加上上一單位位標(biāo)的資資產(chǎn)在T時(shí)刻，組組合C的價(jià)值為為：max（（ST，X），，組合D的價(jià)值為為X。組合D：金額為的現(xiàn)金

2023/1/6由于組合C的價(jià)值在T時(shí)刻大于等于于組合D，因此組合C的價(jià)值在t時(shí)刻也應(yīng)大于于等于組合D，即：由于期權(quán)價(jià)值值一定為正，，因此無(wú)收益益資產(chǎn)歐式看看跌期權(quán)價(jià)格格下限為：（9.6）2023/1/6（2））有收收益資資產(chǎn)歐歐式看看跌期期權(quán)價(jià)價(jià)格的的下限限（9.7）

我們只要將上述組合D的現(xiàn)金改為就可得到有收益資產(chǎn)歐式看跌期權(quán)價(jià)格的下限為：

2023/1/6四、提提前執(zhí)執(zhí)行美美式期期權(quán)的的合理理性（一））提前前執(zhí)行行無(wú)收收益資資產(chǎn)美美式期期權(quán)的的合理理性1,看漲期期權(quán)由于現(xiàn)現(xiàn)金會(huì)會(huì)產(chǎn)生生收益益，而而提前前執(zhí)行行看漲漲期權(quán)權(quán)得到到的標(biāo)標(biāo)的資資產(chǎn)無(wú)無(wú)收益益，再再加上上美式式期權(quán)權(quán)的時(shí)時(shí)間價(jià)價(jià)值總總是為為正的的，因因此我我們可可以直直觀地地判斷斷提前前執(zhí)行行無(wú)收收益資資產(chǎn)的的美式式看漲漲期權(quán)權(quán)是不不明智智的。。因此，，C=c（9.8）2023/1/6根據(jù)據(jù)（（9.4），，我我們們可可以以得得到到無(wú)無(wú)收收益益資資產(chǎn)產(chǎn)美美式式看看漲漲期期權(quán)權(quán)價(jià)價(jià)格格的的下下限限：：（9.9）2023/1/6是否否提提前前執(zhí)執(zhí)行行無(wú)無(wú)收收益益資資產(chǎn)產(chǎn)的的美美式式看看跌跌期期權(quán)權(quán)，，主主要要取取決決于于期期權(quán)權(quán)的的實(shí)實(shí)值值額額（（X-S））、、無(wú)風(fēng)風(fēng)險(xiǎn)險(xiǎn)利利率率水水平平等等因因素素。。一一般般來(lái)來(lái)說(shuō)說(shuō)，，只只有有當(dāng)當(dāng)S相對(duì)對(duì)于于X來(lái)說(shuō)說(shuō)較較低低，，或或者者r較高高時(shí)時(shí)，，提提前前執(zhí)執(zhí)行行無(wú)無(wú)收收益益資資產(chǎn)產(chǎn)美美式式看看跌跌期期權(quán)權(quán)才才可可能能是是有有利利的的。。美式式看跌跌期權(quán)權(quán)的下限限為：：2,看跌跌期期權(quán)權(quán)2023/1/6（二）提提前執(zhí)行行有收益益資產(chǎn)美美式期權(quán)權(quán)的合理理性1,看漲期權(quán)權(quán)由于提前前執(zhí)行有收收益資產(chǎn)產(chǎn)的美式式期權(quán)可可較早獲獲得標(biāo)的的資產(chǎn)，，從而獲獲得現(xiàn)金金收益，，而現(xiàn)金金收益可可以派生生利息，，因此在在一定條條件下，，提前執(zhí)執(zhí)行有收收益資產(chǎn)產(chǎn)的美式式看漲期期權(quán)有可可能是合合理的。。由于存在在提前執(zhí)執(zhí)行更有有利的可可能性，，有收益益資產(chǎn)的的美式看看漲期權(quán)權(quán)價(jià)值大大于等于于歐式看看漲期權(quán)權(quán)，其下下限為：：2023/1/62,看跌期權(quán)由于提前執(zhí)行行有收益資產(chǎn)產(chǎn)的美式看跌期權(quán)意味著自自己放棄收益益權(quán)，因此收收益使美式看看跌期權(quán)提前前執(zhí)行的可能能性變小，但但還不能排除除提前執(zhí)行的的可能性。由于美式看跌跌期權(quán)有提前前執(zhí)行的可能能性，因此其其下限為：2023/1/6所謂看漲期期權(quán)與看跌跌期權(quán)之間間的平價(jià)關(guān)關(guān)系是指看看漲期權(quán)的的價(jià)格與看看跌期權(quán)的的價(jià)格，必必須維持在在無(wú)套利機(jī)機(jī)會(huì)的均衡衡水平的價(jià)價(jià)格關(guān)系上上。如果這這一關(guān)系被被打破，則則在這兩種種價(jià)格之間間，就存在在無(wú)風(fēng)險(xiǎn)的的套利機(jī)會(huì)會(huì)，而套利利者的套利利行為又必必將這種不不正常的價(jià)價(jià)格關(guān)系拉拉回到正常常水平。下下面我們?nèi)匀匀挥脽o(wú)套套利均衡分分析法來(lái)推推導(dǎo)這一關(guān)關(guān)系。五、看漲期期權(quán)與看跌跌期權(quán)之間間的平價(jià)關(guān)關(guān)系2023/1/6（一一））歐歐式式看看漲漲期期權(quán)權(quán)與與看看跌跌期期權(quán)權(quán)之之間間的的平平價(jià)價(jià)關(guān)關(guān)系系1，，無(wú)無(wú)收收益益資資產(chǎn)產(chǎn)的的歐歐式式期期權(quán)權(quán)考慮慮如如下下兩兩個(gè)個(gè)組組合合：：組合合B：：一份份有有效效期期和和協(xié)協(xié)議議價(jià)價(jià)格格與與看看漲漲期期權(quán)權(quán)相相同同的的歐歐式式看看跌跌期期權(quán)權(quán)加加上上一一單單位位標(biāo)標(biāo)的的資資產(chǎn)產(chǎn)組合A：一份歐式看漲期權(quán)加上金額為的現(xiàn)金2023/1/6在期權(quán)到期時(shí)時(shí)，兩個(gè)組合合的價(jià)值均為為max(ST,X)。由于歐式期權(quán)權(quán)不能提前執(zhí)執(zhí)行，因此兩兩組合在時(shí)刻刻t必須具有相等等的價(jià)值，即即：這就是無(wú)收益益資產(chǎn)歐式看看漲期權(quán)與看看跌期權(quán)之間間的平價(jià)關(guān)系系（Parity）。如果式（9.10）不成立，則則存在無(wú)風(fēng)險(xiǎn)險(xiǎn)套利機(jī)會(huì)。。套利活動(dòng)將將最終促使式式（9.10）成立。（9.10）2023/1/6套利機(jī)會(huì)市場(chǎng)情況：某投資者剛剛剛獲得如下下股票歐式期期權(quán)的報(bào)價(jià)，，股票市場(chǎng)價(jià)價(jià)格為31美美元，3個(gè)月月期無(wú)風(fēng)險(xiǎn)年年利率為10％，看漲期期權(quán)和看跌期期權(quán)的執(zhí)行價(jià)價(jià)格都是30美元，3個(gè)個(gè)月后到期。。3個(gè)月期歐歐式看漲期權(quán)權(quán)和歐式看跌跌期權(quán)的價(jià)格格分別為3美美元和2.25美元。策略：1，購(gòu)買(mǎi)看漲漲期權(quán)；2，，出售看跌期期權(quán)；3，賣(mài)賣(mài)空一股股票票。2023/1/6結(jié)果：：這個(gè)策策略給給出的的初始始現(xiàn)金金流為為：31.00－3.00＋＋2.25＝30.25美元元。將將這筆筆資金金按無(wú)無(wú)風(fēng)險(xiǎn)險(xiǎn)利率率投資資3個(gè)個(gè)月，，3個(gè)個(gè)月末末本息息和為為30.25e0.1*0.25=31.02美元。。在3個(gè)月月末，，有如如下兩兩種可可能：：1，如如果股股票價(jià)價(jià)格大大于30美美元，，該投投資者者執(zhí)行行看漲漲期權(quán)權(quán)。即即按照照30美元元價(jià)格格購(gòu)買(mǎi)買(mǎi)一份份股票票，將將空頭頭平倉(cāng)倉(cāng)，則則可獲獲利＝＝31.02－－30＝1.02美美元。。2，如果股股票價(jià)價(jià)格小小于30美美元，，該投投資者者的對(duì)對(duì)手執(zhí)執(zhí)行看看跌期期權(quán)。。即按按照30美美元價(jià)價(jià)格購(gòu)購(gòu)買(mǎi)一一份股股票，，將空空頭平平倉(cāng)，，則可可獲利利＝31.02－30＝＝1.02美元元。2023/1/6練習(xí)：若同樣的的市場(chǎng)條條件，但但3個(gè)月月期歐式式看漲期期權(quán)和歐歐式看跌跌期權(quán)的的價(jià)格分分別為3美元和和1美元元。問(wèn)是是否有套套利的機(jī)機(jī)會(huì)？若若有，如如何構(gòu)筑筑套利策策略？并并分析套套利結(jié)果果。2023/1/62.有收收益資產(chǎn)產(chǎn)歐式期期權(quán)（9.11）

在標(biāo)的資產(chǎn)有收益的情況下，我們只要把前面的組合A中的現(xiàn)金改為，我們就可推導(dǎo)有收益資產(chǎn)歐式看漲期權(quán)和看跌期權(quán)的平價(jià)關(guān)系：2023/1/6（二）美式式看漲期權(quán)權(quán)和看跌期期權(quán)之間的的關(guān)系1.無(wú)收益益資產(chǎn)情形形2.有收益益資產(chǎn)情形形2023/1/69.2期權(quán)的定價(jià)價(jià)原理一，Black-Scholes期權(quán)定價(jià)公公式（一）Black-Scholes模型的假設(shè)設(shè)條件(1)期權(quán)的標(biāo)的的資產(chǎn)是股股票，其現(xiàn)現(xiàn)行價(jià)格為為S。這種資產(chǎn)可可以被自由由買(mǎi)賣(mài)；(2)期權(quán)是歐式式看漲期權(quán)權(quán)，在期權(quán)權(quán)有效期內(nèi)內(nèi)其標(biāo)的資資產(chǎn)不存在在現(xiàn)金股利利的支付。。其協(xié)定價(jià)價(jià)格為X，期權(quán)期限為為T(mén)（以年表示））；2023/1/6(3)市場(chǎng)場(chǎng)不不存存在在交交易易成成本本和和稅稅收收，，所所有有證證券券均均完完全全可可以以分分割割；；(4)市場(chǎng)場(chǎng)不不存存在在無(wú)無(wú)風(fēng)風(fēng)險(xiǎn)險(xiǎn)的的套套利利機(jī)機(jī)會(huì)會(huì)；；(5)市場(chǎng)場(chǎng)提提供供了了連連續(xù)續(xù)交交易易的的機(jī)機(jī)會(huì)會(huì);(6)存在在著著一一個(gè)個(gè)固固定定的的、、無(wú)無(wú)風(fēng)風(fēng)險(xiǎn)險(xiǎn)的的利利率率，，投投資資者者可可以以以以此此利利率率無(wú)無(wú)限限制制地地借借入入或或貸貸出出；；(7)期權(quán)權(quán)的的標(biāo)標(biāo)的的股股票票的的價(jià)價(jià)格格遵遵循循幾幾何何布布朗朗運(yùn)運(yùn)動(dòng)動(dòng)，，呈呈對(duì)對(duì)數(shù)數(shù)正正態(tài)態(tài)分分布布。。2023/1/6這就是著名的的Black-Scholes微分分程，它它適用于其價(jià)價(jià)格取決于標(biāo)標(biāo)的證券價(jià)格格S的所有衍生證證券的定價(jià)。。2023/1/6（二）Black-Scholes歐式看漲期權(quán)權(quán)定價(jià)公式2023/1/6由歐式看看漲期權(quán)權(quán)與看跌跌期權(quán)的的平價(jià)關(guān)關(guān)系，我我們很容容易推算算出具有有相同標(biāo)標(biāo)的資產(chǎn)產(chǎn)、相同同到期日日和相同同執(zhí)行價(jià)價(jià)格的歐歐式看跌跌期權(quán)的的價(jià)格。。2023/1/6例9.1

考慮一種期權(quán)，有效期為6個(gè)月，股票價(jià)格為42美元，期權(quán)的執(zhí)行價(jià)格為40美元，無(wú)風(fēng)險(xiǎn)年利率為10％，波動(dòng)率為每年20％。即S=42，X＝40，2023/1/6并且因此，若該期期權(quán)為歐式看看漲期權(quán)，它它的價(jià)格為：：又因?yàn)镹（0.7693）＝0.7791，N（0.6278）=0.7349所以c=4.762023/1/6二、波動(dòng)率的的確定方法例9.2假設(shè)一只股票票當(dāng)前的價(jià)格格為30元，，6個(gè)月期國(guó)國(guó)債的年利率率為3％，一一投資者購(gòu)買(mǎi)買(mǎi)一份執(zhí)行價(jià)價(jià)格為35元元的6個(gè)月后后到期的看漲漲期權(quán)，假設(shè)設(shè)在6個(gè)月內(nèi)內(nèi)股票不派發(fā)發(fā)紅利。問(wèn)問(wèn)題：他要要支付多少期期權(quán)費(fèi)？由題設(shè)知：S=30，X＝35，但還需要知道一個(gè)無(wú)法直接得到的變量：波動(dòng)率2023/1/6解題步驟：：（1）波動(dòng)率的計(jì)算方法一：從股票的歷史交易數(shù)據(jù)中計(jì)算波動(dòng)率。假設(shè)在過(guò)去去n周里的第t周股票收盤(pán)盤(pán)價(jià)為St，第t-1周的收盤(pán)價(jià)價(jià)為St－1，則第t周的股票復(fù)復(fù)利收益率率為那么，周收收益率的標(biāo)標(biāo)準(zhǔn)差可用用下面的公公式計(jì)算其中：表示這n周里的股票收益率的均值。上式得到了周收益率的標(biāo)準(zhǔn)差作為周波動(dòng)率的估計(jì)值。由歷史的股價(jià)數(shù)據(jù)，設(shè)計(jì)算得到此股票的周波動(dòng)率為0.045。2023/1/6我們們?nèi)∪＝＝50周，，即即1年年的的交交易易周周數(shù)數(shù)，，可可得得年年波波動(dòng)動(dòng)率率或：方法法二二：：把把實(shí)實(shí)際際的的市市場(chǎng)場(chǎng)期期權(quán)權(quán)價(jià)價(jià)格格代代入入B－－S公式式而而計(jì)計(jì)算算出出的的波波動(dòng)動(dòng)率率即即隱隱含含波波動(dòng)動(dòng)率率。。交交易易員員通通常常從從交交易易活活躍躍的的期期權(quán)權(quán)中中計(jì)計(jì)算算隱隱含含波波動(dòng)動(dòng)率率，，然然后后利利用用計(jì)計(jì)算算出出的的隱隱含含波波動(dòng)動(dòng)率率來(lái)來(lái)估估算算基基于于同同樣樣股股票票的的不不太太活活躍躍的的期期權(quán)權(quán)的的價(jià)價(jià)格格。。更更常常見(jiàn)見(jiàn)的的是是，，可可以以同同時(shí)時(shí)得得到到基基于于同同樣樣股股票票的的幾幾種種不不同同期期權(quán)權(quán)的的幾幾個(gè)個(gè)隱隱含含波波動(dòng)動(dòng)率率，，然然后后對(duì)對(duì)這這些些隱隱含含波波動(dòng)動(dòng)率率進(jìn)進(jìn)行行恰恰當(dāng)當(dāng)?shù)牡募蛹訖?quán)權(quán)平平均均就就可可以以計(jì)計(jì)算算出出該該股股票票的的綜綜合合隱隱含含波波動(dòng)動(dòng)率率。。2023/1/6投資資者者可可以以通通過(guò)過(guò)對(duì)對(duì)比比當(dāng)當(dāng)前前市市場(chǎng)場(chǎng)的的波波動(dòng)動(dòng)率率與與期期權(quán)權(quán)的的隱隱含含波波動(dòng)動(dòng)率率的的大大小小來(lái)來(lái)進(jìn)進(jìn)行行期期權(quán)權(quán)交交易易。。如如果果認(rèn)認(rèn)為為實(shí)實(shí)際際的的市市場(chǎng)場(chǎng)波波動(dòng)動(dòng)率率高高于于隱隱含含波波動(dòng)動(dòng)率率，，那那么么當(dāng)當(dāng)前前的的期期權(quán)權(quán)價(jià)價(jià)格格被被低低估估了了，，可可以以買(mǎi)買(mǎi)進(jìn)進(jìn)期期權(quán)權(quán)。。反反之之可可以以賣(mài)賣(mài)出出期期權(quán)權(quán)。。（2））計(jì)計(jì)算算N（（d1）和N(d2)先計(jì)計(jì)算算：：2023/1/6然后查正正態(tài)分布布累積概概率表，，得到和（3）計(jì)計(jì)算期權(quán)權(quán)價(jià)格C2023/1/6三、B-S公式的基基本推廣廣（一）有有收益資資產(chǎn)歐式式期權(quán)的的定價(jià)公公式（9.6）式是針針對(duì)無(wú)收收益資產(chǎn)產(chǎn)歐式期期權(quán)的，，對(duì)于標(biāo)標(biāo)的資產(chǎn)產(chǎn)在期權(quán)權(quán)到期日日之前產(chǎn)產(chǎn)生收益益的情況況，我們們下面分分兩種情情況給予予簡(jiǎn)單分分析。2023/1/61，標(biāo)的的資產(chǎn)產(chǎn)產(chǎn)生生已知知收益益的情情況假設(shè)標(biāo)的資產(chǎn)將在時(shí)刻產(chǎn)生已知現(xiàn)值為I的收益，且。這時(shí)，標(biāo)的資產(chǎn)的價(jià)值可分解為兩個(gè)部分：發(fā)生在時(shí)刻的已知收益的現(xiàn)值部分和產(chǎn)生收益后到T時(shí)刻時(shí)標(biāo)的資產(chǎn)的價(jià)值的現(xiàn)值部分。其中后一部分是有風(fēng)險(xiǎn)的，記為于是我們可以直接利用（9.6）式來(lái)定價(jià)了，只要用來(lái)代替S即可，

2023/1/62，標(biāo)的資資產(chǎn)產(chǎn)產(chǎn)生已已知收收益率率的情情況我們假定在任何時(shí)間段dt，標(biāo)的資產(chǎn)都產(chǎn)生收益qSdt，這等價(jià)于在每一刻都將剩余股票價(jià)值的比例為qdt的部分分走。以連續(xù)復(fù)利計(jì)算，意味著在期權(quán)到期日，還剩下原來(lái)資產(chǎn)價(jià)值的。所以，在現(xiàn)在時(shí)刻t，標(biāo)的資產(chǎn)的價(jià)值由兩部分組成：比例為的部分作為收益在到期日T之前發(fā)放，剩下比例為的部分是一單位標(biāo)的資產(chǎn)在到期日T的價(jià)值的現(xiàn)值。2023/1/6我們可用來(lái)代替S，得到Black-Scholes偏微分方程的解2023/1/6（二）期貨貨看漲期權(quán)權(quán)的定價(jià)公公式如果標(biāo)的資資產(chǎn)為各種種期貨合約約的話(huà)，上上述期權(quán)定定價(jià)公式必必須做相應(yīng)應(yīng)修正，因因?yàn)楝F(xiàn)貨期期權(quán)與期貨貨期權(quán)有著著不同的交交易規(guī)則。。為此，我們們?cè)O(shè)F為期貨價(jià)格格，表示示期貨價(jià)格格的波動(dòng)率率，其他符符號(hào)與上述述相同，則則只要期貨貨價(jià)格和標(biāo)標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)價(jià)格一樣遵遵循幾何布布朗運(yùn)動(dòng)的的話(huà)，就有有2023/1/6（三）美美式期權(quán)權(quán)價(jià)格的的近似解解假定標(biāo)的的資產(chǎn)在在時(shí)刻t1有收益，，這里t＜t1＜T。美式看看漲期權(quán)權(quán)的多頭頭要么在在臨近時(shí)時(shí)刻t1執(zhí)行期權(quán)權(quán)，要么么在到期期日時(shí)刻刻T執(zhí)行期權(quán)權(quán)。因此此，這個(gè)個(gè)美式看看漲期權(quán)權(quán)的價(jià)值值可以近近似地看看作兩個(gè)個(gè)歐式看看漲期權(quán)權(quán)中較大大的那一一個(gè)。這這兩個(gè)歐歐式看漲漲期權(quán)是是1）時(shí)刻t1到期的歐歐式看漲漲期權(quán)，，標(biāo)的資資產(chǎn)無(wú)收收益；2）時(shí)刻T到期的歐歐式看漲漲期權(quán)，，標(biāo)的資資產(chǎn)在時(shí)時(shí)刻t1產(chǎn)生現(xiàn)值值為I的收益2023/1/69.3期權(quán)定價(jià)價(jià)的數(shù)值值方法——二叉樹(shù)定定價(jià)法在很多情情形中，，我們無(wú)無(wú)法得到到期權(quán)價(jià)價(jià)格的解解析解，，這時(shí)，，人們經(jīng)經(jīng)常采用用數(shù)值方方法為期期權(quán)定價(jià)價(jià)，其中中包括二二叉樹(shù)方方法、蒙蒙特卡羅羅模擬和和有限差差分方法法。蒙特特卡羅方方法的實(shí)實(shí)質(zhì)是模模擬標(biāo)的的資產(chǎn)價(jià)價(jià)格在風(fēng)風(fēng)險(xiǎn)中性性世界中中的隨機(jī)機(jī)運(yùn)動(dòng)，，預(yù)測(cè)期期權(quán)的平平均回報(bào)報(bào)，并由由此得到到期權(quán)價(jià)價(jià)格的一一個(gè)概率率解。有有限差分分方法將將標(biāo)的變變量滿(mǎn)足足的偏微微分方程程轉(zhuǎn)化成成差分方方程來(lái)求求解，具具體的方方法包括括隱性有有限差分分法、顯顯性有限限差分法法等。2023/1/6一、單步步二叉樹(shù)樹(shù)定價(jià)法法（一）一一個(gè)簡(jiǎn)單單案例例9.3假設(shè)某只只股票當(dāng)當(dāng)前的市市場(chǎng)價(jià)格格為20元。投資資者預(yù)期期3個(gè)月后股股價(jià)有可可能是22元，也有有可能是是18元。再假假設(shè)該股股票不分分紅利且且無(wú)風(fēng)險(xiǎn)險(xiǎn)利率為為10%。投資者者打算對(duì)對(duì)3個(gè)月后以以21元執(zhí)行價(jià)價(jià)格買(mǎi)入入股票的的歐式看看漲期權(quán)權(quán)進(jìn)行估估值。我們知道道，若到到期時(shí)股股票價(jià)格格為22元，期權(quán)權(quán)的價(jià)值值為1元；若股股票價(jià)格格為18元，期權(quán)權(quán)的價(jià)值值將是0。如圖9.3所示2023/1/6圖9.3股票價(jià)格與期期權(quán)價(jià)格變動(dòng)動(dòng)示意圖182022C10在無(wú)套利假設(shè)設(shè)下，二叉樹(shù)樹(shù)期權(quán)定價(jià)法法的基本思路路是：首先，，以某種方式式構(gòu)造一個(gè)只只包含股票和和期權(quán)的無(wú)風(fēng)風(fēng)險(xiǎn)證券組合合；其次，根根據(jù)到期日的的股票和期權(quán)權(quán)價(jià)格得出組組合的價(jià)值；；再次，利用用無(wú)風(fēng)險(xiǎn)組合合的收益率只只能是無(wú)風(fēng)險(xiǎn)險(xiǎn)收益率，得得出構(gòu)造該組組合的初始成成本，于是得得出該期權(quán)的的價(jià)格。2023/1/6我們們首首先先假假設(shè)設(shè)無(wú)無(wú)風(fēng)風(fēng)險(xiǎn)險(xiǎn)證證券券組組合合里里包包含含一一個(gè)個(gè)股股股股票票多多頭頭頭頭寸寸和和一一單單位位看看漲漲期期權(quán)權(quán)的的空空頭頭頭頭寸寸。。根據(jù)據(jù)假假設(shè)設(shè)，，3個(gè)月月后后市市場(chǎng)場(chǎng)只只會(huì)會(huì)出出現(xiàn)現(xiàn)兩兩種種可可能能結(jié)結(jié)果果：：股股票票價(jià)價(jià)格格要要么么上上升升到到22元要要么么下下降降到到18元。。如如果果股股票票價(jià)價(jià)格格上上升升到到22元，，期期權(quán)權(quán)的的價(jià)價(jià)值值為為1元，，則則組組合合的的總總價(jià)價(jià)值值為為；；如如果果股股票票價(jià)價(jià)格格下下降降到到18元，，期期權(quán)權(quán)的的價(jià)價(jià)值值為為0，則則組組合合的的總總價(jià)價(jià)值值為為。。因因?yàn)闉榻M組合合為為無(wú)無(wú)風(fēng)風(fēng)險(xiǎn)險(xiǎn)證證券券組組合合，，到到期期日日的的價(jià)價(jià)值值是是確確定定的的。。這這意意味味著著即2023/1/6因此此，，0.25股股股票票多多頭頭和和一一單單位位看看漲漲期期權(quán)權(quán)空空頭頭就就組組成成一一個(gè)個(gè)無(wú)無(wú)風(fēng)風(fēng)險(xiǎn)險(xiǎn)的的證證券券組組合合。。在在期期權(quán)權(quán)到到期期日日，，組組合合的的價(jià)價(jià)值值總總是是=4.5元。。根根據(jù)據(jù)無(wú)無(wú)套套利利均均衡衡原原理理，，由于于當(dāng)當(dāng)前前的的股股價(jià)價(jià)已已知知為為20元，，假假設(shè)設(shè)期期權(quán)權(quán)的的價(jià)價(jià)格格為為，，則則該該組組合合當(dāng)當(dāng)前前的的價(jià)價(jià)值值為為2023/1/6（二二））一一般般結(jié)結(jié)論論設(shè)看看漲漲期期權(quán)權(quán)的的標(biāo)標(biāo)的的資資產(chǎn)產(chǎn)的的現(xiàn)現(xiàn)行行價(jià)價(jià)格格為為S，，在期期權(quán)權(quán)到到期期日日，，標(biāo)標(biāo)的的資資產(chǎn)產(chǎn)的的價(jià)價(jià)格格要要么么上上漲漲至至現(xiàn)現(xiàn)價(jià)價(jià)的的u倍，，要要么么下下跌跌至至現(xiàn)現(xiàn)價(jià)價(jià)的的d倍。。這這里里u>1、、d<1，，如圖圖9.4所示示。。

再設(shè)當(dāng)前歐式看漲期權(quán)的價(jià)值為C、執(zhí)行價(jià)格為X，在標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格的上述兩種變化下，其價(jià)值分別為、。如圖9.5所示。2023/1/6SuSdS圖9.4標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格變動(dòng)

C圖9.5

單期看漲期權(quán)的價(jià)值變動(dòng)

顯然2023/1/6為確定唯一一的未知量量C，我們構(gòu)造如如下的一個(gè)個(gè)投資組合合：（a）以?xún)r(jià)格C賣(mài)出一份看看漲期權(quán)；；（b）買(mǎi)入h份標(biāo)的資產(chǎn)產(chǎn)。其中h為套期保值值比率，其其大小是要要保證該投投資組合成成為一個(gè)無(wú)無(wú)風(fēng)險(xiǎn)的投投資組合。。也就是說(shuō)說(shuō)，不管市市場(chǎng)如何變變化，該投投資組合在在到期日是是的價(jià)值是是確定的。。建立組合的初始成本是購(gòu)買(mǎi)股票的成本hS減去賣(mài)出期權(quán)收到的期權(quán)費(fèi)Ｃ，即。而標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格上漲時(shí)，該投資組合的最終價(jià)值為；當(dāng)價(jià)格下跌時(shí)，該投資組合的最終價(jià)值為。2023/1/6因?yàn)樵撏顿Y資組合為無(wú)無(wú)風(fēng)險(xiǎn)投資資組合。從從而有：即（（9.12）如果期權(quán)的有效期限里的無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率為r，則以該組合的當(dāng)前價(jià)值進(jìn)行無(wú)風(fēng)險(xiǎn)投資到期權(quán)到期日的收益應(yīng)和該投資組合的最終價(jià)值相等，即有

2023/1/6從而再將h代入，得（（9.13）其中（（9.14）在市場(chǎng)無(wú)套利機(jī)會(huì)存在的前提下，一定有d<1+r<u，從而。另外，還可以看出，只與標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格的上漲或下跌幅度有關(guān)，而與某一時(shí)刻標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格的大小無(wú)關(guān)。

2023/1/6例9.4接著例9.3（如圖9.3所示），，已知u=1.1，d=0.9，r=0.1，T-t=0.25，Cu=1，Cd=0。由（9.14）式，我我們得出出由（9.13）式，我我們得出出2023/1/6（三）風(fēng)險(xiǎn)險(xiǎn)中性概率率如果我們將將（9.14）式中的p解釋為標(biāo)的的資產(chǎn)價(jià)格格上升的概概率，于是是1-p就是標(biāo)的資資產(chǎn)價(jià)格下下降的概率率，則標(biāo)的的資產(chǎn)在T時(shí)刻的預(yù)期期值由下式式給出再將（9.14）式中的p代入上式，，化簡(jiǎn)得2023/1/6（9.14）式式的的p就是是的的風(fēng)風(fēng)險(xiǎn)險(xiǎn)中中性性概概率率，，而而（（9.13）式式可可以以表表述述為為：：在在風(fēng)風(fēng)險(xiǎn)險(xiǎn)中中性性世世界界里里，，期期權(quán)權(quán)的的價(jià)價(jià)值值就就是是其其未未來(lái)來(lái)預(yù)預(yù)期期值值按按無(wú)無(wú)風(fēng)風(fēng)險(xiǎn)險(xiǎn)利利率率貼貼現(xiàn)現(xiàn)的的值值。。根根據(jù)據(jù)風(fēng)風(fēng)險(xiǎn)險(xiǎn)中中性性假假設(shè)設(shè)，，風(fēng)風(fēng)險(xiǎn)險(xiǎn)中中性性世世界界里里的的無(wú)無(wú)套套利利均均衡衡價(jià)價(jià)格格也也是是真真實(shí)實(shí)世世界界里里的的均均衡衡價(jià)價(jià)格格。。因因而而，，上上述述的的二二叉叉樹(shù)樹(shù)定定價(jià)價(jià)法法就就等等價(jià)價(jià)于于風(fēng)風(fēng)險(xiǎn)險(xiǎn)中中性性定定價(jià)價(jià)法法。。在二二叉叉樹(shù)樹(shù)定定價(jià)價(jià)中中也也沒(méi)沒(méi)有有用用到到標(biāo)標(biāo)的的資資產(chǎn)產(chǎn)價(jià)價(jià)格格上上升升和和下下降降的的概概率率。。當(dāng)當(dāng)然然，，這這并并不不意意味味期期權(quán)權(quán)定定價(jià)價(jià)與與標(biāo)標(biāo)的的資資產(chǎn)產(chǎn)價(jià)價(jià)格格上上升升和和下下降降的的概概率率無(wú)無(wú)關(guān)關(guān)，，事事實(shí)實(shí)上上，，標(biāo)標(biāo)的的資資產(chǎn)產(chǎn)價(jià)價(jià)格格未未來(lái)來(lái)上上升升和和下下降降的的概概率率已已經(jīng)經(jīng)包包含含在在標(biāo)標(biāo)的的資資產(chǎn)產(chǎn)價(jià)價(jià)格格中中了了。。2023/1/6我們可以以把一年年分成4個(gè)3個(gè)月、或或者12個(gè)1個(gè)月，或或者365天……每一個(gè)時(shí)時(shí)點(diǎn)上都都對(duì)應(yīng)一一個(gè)單步步二叉樹(shù)樹(shù)，然后后做和單單步二叉叉樹(shù)定價(jià)價(jià)法相同同的工作作：建立立不同的的無(wú)風(fēng)險(xiǎn)險(xiǎn)資產(chǎn)組組合或利利用風(fēng)險(xiǎn)險(xiǎn)中性定定價(jià)法求求不同狀狀態(tài)下期期權(quán)的收收益，再再?gòu)淖罱K終的結(jié)點(diǎn)點(diǎn)一步一一步逆推推，最后后計(jì)算出出初始狀狀態(tài)下期期權(quán)的價(jià)價(jià)格。二、多步步二叉樹(shù)樹(shù)定價(jià)法法2023/1/6我們先將將二叉樹(shù)樹(shù)從單步步推廣到到兩步，，然后再再推廣到到多步情情形。設(shè)標(biāo)的資資產(chǎn)的現(xiàn)現(xiàn)價(jià)為S，每一期間間均可能能上漲至至原來(lái)的的u倍，或下下跌至原原來(lái)的d倍。這樣樣，在期期權(quán)的有有效期限限內(nèi)，看看漲期限限的價(jià)值值及其變變動(dòng)如圖圖9.6所示：（一）兩兩步二叉叉樹(shù)定價(jià)價(jià)法2023/1/6SuSdSu2SudSd2S圖9.6兩步二叉樹(shù)中的標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格與期權(quán)價(jià)格變動(dòng)

C2023/1/6由圖很很容易易得到到：我們將將期權(quán)權(quán)到期期時(shí)標(biāo)標(biāo)的資資產(chǎn)價(jià)價(jià)格的的三種種可能能價(jià)位位與看看漲期期權(quán)的的三種種可能能價(jià)值值對(duì)應(yīng)應(yīng)起來(lái)來(lái)，由由前面面同樣樣的方方法，，可以以求出出：2023/1/6在求出出Cu和Cd之后，，我們們可用用相同同的方方法求求出C，即（9.15）這就是是兩步步二叉叉樹(shù)定定價(jià)公公式。。例9.5假設(shè)一一只不不分紅紅股票票，其其當(dāng)前前的市市場(chǎng)價(jià)價(jià)格為為20元，在在二叉叉樹(shù)中中的任任一步步之間間，股股價(jià)要要么上上漲10%要么下下跌10%。我們們假設(shè)設(shè)二叉叉樹(shù)中中每一一步的的時(shí)間間長(zhǎng)度度為3個(gè)月，，市場(chǎng)場(chǎng)的無(wú)無(wú)風(fēng)險(xiǎn)險(xiǎn)利率率為10%?，F(xiàn)在在我們們對(duì)執(zhí)執(zhí)行價(jià)價(jià)格為為21元的歐歐式看看漲期期權(quán)估估值。。2023/1/6圖9.7標(biāo)的股票價(jià)價(jià)格與期權(quán)權(quán)價(jià)格變動(dòng)動(dòng)示意圖20221824.219.816.2C3.20.00.02023/1/6由題題設(shè)設(shè)知知，，u=1.1，d=0.9，r=0.1，由（（9.14）式式，，我我們們得得出出將上上述述所所有有參參數(shù)數(shù)代代入入（（9.15）式式，，可可得得執(zhí)執(zhí)行行價(jià)價(jià)格格為為21元的的歐歐式式看看漲漲期期權(quán)權(quán)的的價(jià)價(jià)值值為為2023/1/6按同同樣樣的的方方法法，，我我們們可可以以把把兩兩期期的的二二叉叉樹(shù)樹(shù)模模型型擴(kuò)擴(kuò)展展到到多多期期的的情情況況。。隨隨著著期期數(shù)數(shù)的的增增加加，，股股價(jià)價(jià)變變化化的的可可能能范范圍圍越越來(lái)來(lái)越越大大，，越越來(lái)來(lái)越越接接近近于于實(shí)實(shí)際際情情況況，，所所以以二二叉叉樹(shù)樹(shù)模模型型的的準(zhǔn)準(zhǔn)確確性性也也越越來(lái)來(lái)越越高高。。若若將將期期權(quán)權(quán)的的到到期期期期限限分分割割成成n個(gè)小小期期間間，，則則結(jié)結(jié)果果為為（二二））多多步步二二叉叉樹(shù)樹(shù)定定價(jià)價(jià)法法（9.16）2023/1/6根據(jù)據(jù)中中心心極極限限定定理理，，當(dāng)當(dāng)n趨向向于于無(wú)無(wú)窮窮大大時(shí)時(shí)，，二二項(xiàng)項(xiàng)式式分分布布將將逼逼近近正正態(tài)態(tài)分分布布。。因因此此，，只只要要u、、d及p選擇擇得得當(dāng)當(dāng)，，則則二二項(xiàng)項(xiàng)式式（（二二叉叉樹(shù)樹(shù)））定定價(jià)價(jià)模模型型與與Black-Scholes定價(jià)價(jià)模模型型的的結(jié)結(jié)果果就就趨趨向向于于一一致致了了。。，且k、n-k分別為n個(gè)期間標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格上漲、下跌的次數(shù)，其他符號(hào)同上。這就是完整的二叉樹(shù)定價(jià)公式。式中，

2023/1/6二叉樹(shù)定價(jià)法法的優(yōu)點(diǎn)在于于比較直觀，，而且它具有有很大的靈活活性，不管標(biāo)標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格格服從何種分分布，它都能能適用。在實(shí)際應(yīng)用二二叉樹(shù)定價(jià)法法時(shí)，還有兩兩個(gè)需要注意意的問(wèn)題：首先，時(shí)間步步的選擇。一一般將時(shí)間區(qū)區(qū)間分成30步就可以得到到較為理想的的結(jié)果。其次，參數(shù)的的確定。一般般采用的u、d及p值使得二叉樹(shù)樹(shù)模型近似于于實(shí)際中價(jià)格格的對(duì)數(shù)正態(tài)態(tài)分布。三、二叉樹(shù)定定價(jià)法在實(shí)際際中的運(yùn)用2023/1/6如果我我們定定義為為單步步時(shí)間間長(zhǎng)度度，為為標(biāo)標(biāo)的資資產(chǎn)價(jià)價(jià)格的的波動(dòng)動(dòng)率，，通過(guò)過(guò)簡(jiǎn)單單計(jì)算算可以以得到到（9.17）（9.18）（9.19）2023/1/6例9.6假設(shè)設(shè)一一只只不不分分紅紅股股票票，，其其當(dāng)當(dāng)前前的的市市場(chǎng)場(chǎng)價(jià)價(jià)格格為為20元，，波波動(dòng)動(dòng)率率為為每每年年40%，市市場(chǎng)場(chǎng)的的無(wú)無(wú)風(fēng)風(fēng)險(xiǎn)險(xiǎn)利利率率為為10%。該該股股票票2個(gè)月月期期的的歐歐式式看看漲漲期期權(quán)權(quán)的的執(zhí)執(zhí)行行價(jià)價(jià)格格均均為為21元，，求求其其價(jià)價(jià)值值。。為了了構(gòu)構(gòu)造造二二叉叉樹(shù)樹(shù)，，我我們們把把期期權(quán)權(quán)有有效效期期分分為為兩兩段段，，每每段段一一個(gè)個(gè)月月（（等等于于0.0833年））。。根根據(jù)據(jù)（（9.17）～～（（9.19）式式，，可可以以算算出出2023/1/6據(jù)此此可可以以畫(huà)畫(huà)出出該該股股票票和和看看漲漲期期權(quán)權(quán)在在期期權(quán)權(quán)有有效效期期內(nèi)內(nèi)的的二二叉叉樹(shù)樹(shù)圖圖，，如如圖圖9.8所示示2022.2517.8224.9715.88C3.970.00.0圖9.8標(biāo)的的股股票票價(jià)價(jià)格格與與看看漲漲期期權(quán)權(quán)價(jià)價(jià)格格變變動(dòng)動(dòng)示示意意圖圖2023/1/6此時(shí)時(shí)，，，，則則由由（（5.15）式式，，可可得得歐歐式式看看跌跌期期權(quán)權(quán)的的價(jià)價(jià)值值為為2023/1/6如果其他他條件不不變，但但該期權(quán)權(quán)為看跌跌期權(quán)，，我們也也可以畫(huà)畫(huà)出看跌跌期權(quán)在在期權(quán)有有效期內(nèi)內(nèi)的二叉叉樹(shù)圖，，如圖9.9所示C0.001.005.12圖9.9看跌期權(quán)權(quán)價(jià)格變變動(dòng)示意意圖2023/1/6此時(shí)，，，，則則由（（9.15）式，可得得歐式看跌跌期權(quán)的價(jià)價(jià)值為本題只用到到兩步二叉叉樹(shù)定價(jià)法法，不論看看漲期權(quán)還還是看跌期期權(quán)的計(jì)算算價(jià)格與實(shí)實(shí)際值都有有一定的誤誤差。如果果把期權(quán)的的有效期限限分成更多多的時(shí)間區(qū)區(qū)間，步數(shù)數(shù)就會(huì)增多多，計(jì)算會(huì)會(huì)更復(fù)雜，，但得出的的期權(quán)價(jià)值值會(huì)更精確確。2023/1/6謝謝1月月-2301:28:5201:2801:281月月-231月月-2301:2801:2801:28:521月-231月-2301:28:522023/1/61:28:529、靜靜夜夜四四無(wú)無(wú)鄰鄰，，荒荒居居舊舊業(yè)業(yè)貧貧。。。。1月月-231月月-23Friday,January6,202310、雨中中黃葉葉樹(shù)，，燈下下白頭頭人。。。01: