2022年江蘇省高考沖刺數(shù)學沖刺（理科）

2020年江蘇省高考數(shù)學試卷（理科）一、填空題：本題共14小題，每小題5分，共70分．請把答案填寫在答題卡相應位置上．1．（5分）已知集合，0，1，，，2，，則．2．（5分）已知是虛數(shù)單位，則復數(shù)的實部是．3．（5分）已知一組數(shù)據(jù)4，，，5，6的平均數(shù)為4，則的值是．4．（5分）將一顆質地均勻的正方體骰子先后拋擲2次，觀察向上的點數(shù)，則點數(shù)和為5的概率是．5．（5分）如圖是一個算法流程圖，若輸出的值為，則輸入的值是．6．（5分）在平面直角坐標系中，若雙曲線的一條漸近線方程為，則該雙曲線的離心率是．7．（5分）已知是奇函數(shù)，當時，，則的值是．8．（5分）已知，則的值是．9．（5分）如圖，六角螺帽毛坯是由一個正六棱柱挖去一個圓柱所構成的．已知螺帽的底面正六邊形邊長為，高為，內(nèi)孔半徑為，則此六角螺帽毛坯的體積是．

10．（5分）將函數(shù)的圖象向右平移個單位長度，則平移后的圖象中與軸最近的對稱軸的方程是．11．（5分）設是公差為的等差數(shù)列，是公比為的等比數(shù)列．已知數(shù)列的前項和，則的值是．12．（5分）已知，則的最小值是．13．（5分）在中，，，，在邊上，延長到，使得．若為常數(shù)），則的長度是．14．（5分）在平面直角坐標系中，已知，，、是圓上的兩個動點，滿足，則面積的最大值是．二、解答題：本大題共6小題，共計90分.請在答題卡指定區(qū)域內(nèi)作答，解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15．（14分）在三棱柱中，，平面，，分別是，的中點．（1）求證：平面；（2）求證：平面平面．16．（14分）在中，角、、的對邊分別為、、．已知，，．（1）求的值；（2）在邊上取一點，使得，求的值．17．（14分）某地準備在山谷中建一座橋梁，橋址位置的豎直截面圖如圖所示：谷底在水平線上，橋與平行，為鉛垂線在上）．經(jīng)測量，左側曲線上任一點到的距離（米與到的距離（米之間滿足關系式；右側曲線上任一點到的距離（米與到的距離（米之間滿足關系式．已知點到的距離為40米．（1）求橋的長度；（2）計劃在谷底兩側建造平行于的橋墩和，且為80米，其中，在上（不包括端點）．橋墩每米造價（萬元），橋墩每米造價（萬元），問為多少米時，橋墩與的總造價最低？18．（16分）在平面直角坐標系中，已知橢圓的左、右焦點分別為、，點在橢圓上且在第一象限內(nèi)，，直線與橢圓相交于另一點．（1）求△的周長；（2）在軸上任取一點，直線與橢圓的右準線相交于點，求的最小值；（3）設點在橢圓上，記與的面積分別為，，若，求點的坐標．19．（16分）已知關于的函數(shù)，與，在區(qū)間上恒有．（1）若，，，求的表達式；（2）若，，，，求的取值范圍；（3）若，，，，，，求證：．20．（16分）已知數(shù)列的首項，前項和為．設和為常數(shù)，若對一切正整數(shù)，均有成立，則稱此數(shù)列為“”數(shù)列．（1）若等差數(shù)列是“”數(shù)列，求的值；（2）若數(shù)列是“”數(shù)列，且，求數(shù)列的通項公式；（3）對于給定的，是否存在三個不同的數(shù)列為“”數(shù)列，且？若存在，求出的取值范圍；若不存在，說明理由．【選做題】本題包括A、B、C三小題，請選定其中兩小題，并在相應的答題區(qū)域內(nèi)作答．若多做，則按作答的前兩小題評分．解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．A．[選修4-2：矩陣與變換]（本小題滿分10分）21．（10分）平面上的點在矩陣對應的變換作用下得到點．（1）求實數(shù)，的值；（2）求矩陣的逆矩陣．B．[選修4-4：坐標系與參數(shù)方程]（本小題滿分10分）22．（10分）在極坐標系中，已知，在直線上，點，在圓上（其中，．（1）求，的值；（2）求出直線與圓的公共點的極坐標．C．[選修4-5：不等式選講]（本小題滿分10分）23．設，解不等式．【必做題】第24題、第25題，每題10分，共計20分．請在答題卡指定區(qū)域內(nèi)作答，解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．24．（10分）在三棱錐中，已知，，為的中點，平面，，為中點．（1）求直線與所成角的余弦值；（2）若點在上，滿足，設二面角的大小為，求的值．25．（10分）甲口袋中裝有2個黑球和1個白球，乙口袋中裝有3個白球．現(xiàn)從甲、乙兩口袋中各任取一個球交換放入另一口袋，重復次這樣的操作，記甲口袋中黑球個數(shù)為，恰有2個黑球的概率為，恰有1個黑球的概率為．（1）求，和，；（2）求與的遞推關系式和的數(shù)學期望（用表示）．

2020年江蘇省高考數(shù)學試卷（理科）參考答案與解析一、填空題：本題共14小題，每小題5分，共70分．請把答案填寫在答題卡相應位置上．1．（5分）已知集合，0，1，，，2，，則，．【分析】運用集合的交集運算，可得所求集合．【解答】解：集合，2，，，0，1，，則，，故答案為：，．2．（5分）已知是虛數(shù)單位，則復數(shù)的實部是3．【分析】利用復數(shù)的乘法的運算法則，化簡求解即可．【解答】解：復數(shù)，所以復數(shù)的實部是：3．故答案為：3．3．（5分）已知一組數(shù)據(jù)4，，，5，6的平均數(shù)為4，則的值是2．【分析】運用平均數(shù)的定義，解方程可得的值．【解答】解：一組數(shù)據(jù)4，，，5，6的平均數(shù)為4，則，解得．故答案為：2．4．（5分）將一顆質地均勻的正方體骰子先后拋擲2次，觀察向上的點數(shù)，則點數(shù)和為5的概率是．【分析】分別求得基本事件的總數(shù)和點數(shù)和為5的事件數(shù)，由古典概率的計算公式可得所求值．【解答】解：一顆質地均勻的正方體骰子先后拋擲2次，可得基本事件的總數(shù)為種，而點數(shù)和為5的事件為，，，，共4種，則點數(shù)和為5的概率為．故答案為：．5．（5分）如圖是一個算法流程圖，若輸出的值為，則輸入的值是．【分析】由已知中的程序語句可知：該程序的功能是利用程序框圖表達式為分段函數(shù)計算并輸出變量的值，模擬程序的運行過程，分析循環(huán)中各變量值的變化情況，可得答案．【解答】解：由題意可得程序框圖表達式為分段函數(shù)，若輸出值為時，由于，所以解，即，故答案為：，6．（5分）在平面直角坐標系中，若雙曲線的一條漸近線方程為，則該雙曲線的離心率是．【分析】利用雙曲線的漸近線方程，求出，然后求解雙曲線的離心率即可．【解答】解：雙曲線的一條漸近線方程為，可得，所以，所以雙曲線的離心率為：，故答案為：．7．（5分）已知是奇函數(shù)，當時，，則的值是．【分析】由奇函數(shù)的定義可得，由已知可得（8），進而得到．【解答】解：是奇函數(shù)，可得，當時，，可得（8），則（8），故答案為：．8．（5分）已知，則的值是．【分析】根據(jù)二倍角公式即可求出．【解答】解：因為，則，解得，故答案為：9．（5分）如圖，六角螺帽毛坯是由一個正六棱柱挖去一個圓柱所構成的．已知螺帽的底面正六邊形邊長為，高為，內(nèi)孔半徑為，則此六角螺帽毛坯的體積是．【分析】通過棱柱的體積減去圓柱的體積，即可推出結果．【解答】解：六棱柱的體積為：，圓柱的體積為：，所以此六角螺帽毛坯的體積是：，故答案為：．10．（5分）將函數(shù)的圖象向右平移個單位長度，則平移后的圖象中與軸最近的對稱軸的方程是．【分析】利用三角函數(shù)的平移可得新函數(shù)，求的所有對稱軸，，從而可判斷平移后的圖象中與軸最近的對稱軸的方程，【解答】解：因為函數(shù)的圖象向右平移個單位長度可得，則的對稱軸為，，即，，當時，，當時，，所以平移后的圖象中與軸最近的對稱軸的方程是，故答案為：，11．（5分）設是公差為的等差數(shù)列，是公比為的等比數(shù)列．已知數(shù)列的前項和，則的值是4．【分析】由的前項和，由是公差為的等差數(shù)列，設首項為；求出等差數(shù)列的前項和的表達式；是公比為的等比數(shù)列，設首項為，討論當為1和不為1時的前項和的表達式，由題意可得，由對應項的系數(shù)相等可得，的值，進而求出的值．【解答】解：因為的前項和，因為是公差為的等差數(shù)列，設首項為；是公比為的等比數(shù)列，設首項為，所以的通項公式，所以其前項和，當中，當公比時，其前項和，所以的前項和，顯然沒有出現(xiàn)，所以，則的前項和為，所以，由兩邊對應項相等可得：解得：，，，，所以，故答案為：4．12．（5分）已知，則的最小值是．【分析】方法一、由已知求得，代入所求式子，整理后，運用基本不等式可得所求最小值；方法二、由，運用基本不等式，計算可得所求最小值．【解答】解：方法一、由，可得，由，可得，，則，當且僅當，，可得的最小值為；方法二、，故，當且僅當，即，時取得等號，可得的最小值為．故答案為：．13．（5分）在中，，，，在邊上，延長到，使得．若為常數(shù)），則的長度是0或．【分析】以為坐標原點，分別以，所在直線為，軸建立平面直角坐標系，求得與的坐標，再把的坐標用表示．由列式求得值，然后分類求得的坐標，則的長度可求．【解答】解：如圖，以為坐標原點，分別以，所在直線為，軸建立平面直角坐標系，則，，由，得，整理得：，，，．由，得，解得或．當時，，此時與重合，；當時，直線的方程為，直線的方程為，聯(lián)立兩直線方程可得，．即，，．的長度是0或．故答案為：0或．14．（5分）在平面直角坐標系中，已知，，、是圓上的兩個動點，滿足，則面積的最大值是．【分析】求得圓的圓心和半徑，作所在直徑，交于點，運用垂徑定理和勾股定理，以及三角形的面積公式，由三角換元，結合函數(shù)的導數(shù)，求得單調區(qū)間，計算可得所求最大值．【解答】解：圓的圓心，半徑為6，如圖，作所在直徑，交于點，因為，，所以，為垂徑，要使面積最大，則，位于的兩側，并設，可得，故，，可令，，，設函數(shù)，，，由，解得舍去），顯然，當，，遞減；當時，，遞增，結合在遞減，故時，最大，此時，故，則面積的最大值為．故答案為：．二、解答題：本大題共6小題，共計90分.請在答題卡指定區(qū)域內(nèi)作答，解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15．（14分）在三棱柱中，，平面，，分別是，的中點．（1）求證：平面；（2）求證：平面平面．【分析】（1）證明，然后利用直線與平面平行的判斷定理證明平面；（2）證明，結合，證明平面，然后證明平面平面．【解答】證明：（1），分別是，的中點．所以，因為平面，平面，所以平面；（2）因為平面，平面，所以，又因為，，平面，平面，所以平面，因為平面，所以平面平面．16．（14分）在中，角、、的對邊分別為、、．已知，，．（1）求的值；（2）在邊上取一點，使得，求的值．【分析】（1）由題意及余弦定理求出邊，再由正弦定理求出的值；（2）三角形的內(nèi)角和為，，可得為鈍角，可得與互為補角，所以展開可得及，進而求出的值．【解答】解：（1）因為，，．，由余弦定理可得：，由正弦定理可得，所以，所以；（2）因為，所以，在三角形中，易知為銳角，由（1）可得，所以在三角形中，，因為，所以，所以．17．（14分）某地準備在山谷中建一座橋梁，橋址位置的豎直截面圖如圖所示：谷底在水平線上，橋與平行，為鉛垂線在上）．經(jīng)測量，左側曲線上任一點到的距離（米與到的距離（米之間滿足關系式；右側曲線上任一點到的距離（米與到的距離（米之間滿足關系式．已知點到的距離為40米．（1）求橋的長度；（2）計劃在谷底兩側建造平行于的橋墩和，且為80米，其中，在上（不包括端點）．橋墩每米造價（萬元），橋墩每米造價（萬元），問為多少米時，橋墩與的總造價最低？【分析】（1）由題意可令，求得，即的長，再令，求得，可得；（2）可設，則，，求得總造價，化簡整理，應用導數(shù)，求得單調區(qū)間，可得最小值．【解答】解：（1），點到的距離為40米，可令，可得，即為，由題意可設，由，解得，則米；（2）可設，則，由，可得，總造價為，，由，當時，，函數(shù)遞減；當時，，函數(shù)遞增，所以當時，取得最小值，即總造價最低．答：（1）橋長為120米；（2）為20米時，橋墩與的總造價最低．18．（16分）在平面直角坐標系中，已知橢圓的左、右焦點分別為、，點在橢圓上且在第一象限內(nèi)，，直線與橢圓相交于另一點．（1）求△的周長；（2）在軸上任取一點，直線與橢圓的右準線相交于點，求的最小值；（3）設點在橢圓上，記與的面積分別為，，若，求點的坐標．【分析】（1）由橢圓標準方程可知，，的值，根據(jù)橢圓的定義可得△的周長，代入計算即可．（2）由橢圓方程得，設，進而由點斜式寫出直線方程，再結合橢圓的右準線為：，得點為，再由向量數(shù)量積計算最小值即可．（3）在計算與的面積時，可以最為同底，所以若，則到直線距離與到直線距離，之間的關系為，根據(jù)點到直線距離公式可得，，所以題意可以轉化為點應為與直線平行且距離為的直線與橢圓的交點，設平行于的直線為，與直線的距離為，根據(jù)兩平行直線距離公式可得，或12，然后在分兩種情況算出點的坐標即可．【解答】解：（1）由橢圓的標準方程可知，，，，所以△的周長．（2）由橢圓方程得，設，則直線方程為，橢圓的右準線為：，所以直線與右準線的交點為，，，，當時，．（3）若，設到直線距離，到直線距離，則，即，，，可得直線方程為，即，所以，，由題意得，點應為與直線平行且距離為的直線與橢圓的交點，設平行于的直線為，與直線的距離為，所以，即或12，當時，直線為，即，聯(lián)立，可得，即或，所以或，．當時，直線為，即，聯(lián)立，可得，△，所以無解，綜上所述，點坐標為或，．19．（16分）已知關于的函數(shù)，與，在區(qū)間上恒有．（1）若，，，求的表達式；（2）若，，，，求的取值范圍；（3）若，，，，，，求證：．【分析】（1）由得，求導可得，能推出函數(shù)的圖象為過原點，斜率為2的直線，進而可得，再進行檢驗即可．（2）由題可知，設，求導分析單調性可得，（1），那么要使的，則；令為二次函數(shù)，則要使得，分兩種情況，當時，當時進行討論，進而得出答案．（3）因為，求導，分析單調性及圖象得函數(shù)的圖象在處的切線為：，可推出直線為函數(shù)的圖象在處的切線．進而在區(qū)間上恒成立；在分析，設，兩根為，，由韋達定理可得，，所以，再求最值即可得出結論．【解答】解：（1）由得，又，，所以，所以，函數(shù)的圖象為過原點，斜率為2的直線，所以，經(jīng)檢驗：，符合任意，（2），設，設，在上，，單調遞增，在上，，單調遞減，所以（1），所以當時，，令所以，得，當時，即時，在上單調遞增，所以，，所以，當時，即時，△，即，解得，綜上，，．（3）因為，所以，，01000000所以函數(shù)的圖象在處的切線為：，可見直線為函數(shù)的圖象在處的切線．由函數(shù)的圖象可知，當在區(qū)間上恒成立時，，，又由，得，設方程的兩根為，，則，，所以，，則，，由圖象可知，，設，則，所以當，時，，單調遞減，所以（1），故，即．20．（16分）已知數(shù)列的首項，前項和為．設和為常數(shù)，若對一切正整數(shù)，均有成立，則稱此數(shù)列為“”數(shù)列．（1）若等差數(shù)列是“”數(shù)列，求的值；（2）若數(shù)列是“”數(shù)列，且，求數(shù)列的通項公式；（3）對于給定的，是否存在三個不同的數(shù)列為“”數(shù)列，且？若存在，求出的取值范圍；若不存在，說明理由．【分析】（1）由“”數(shù)列可得，結合數(shù)列的遞推式，以及等差數(shù)列的定義，可得的值；（2）運用“”數(shù)列的定義，結合數(shù)列的遞推式和等比數(shù)列的通項公式，可得所求通項公式；（3）若存在三個不同的數(shù)列為“”數(shù)列，則，由兩邊立方，結合數(shù)列的遞推式，以及的討論，二次方程的實根分布和韋達定理，即可判斷是否存在，并可得取值范圍．【解答】解：（1）時，，由為任意正整數(shù)，且，，可得；（2），則，因此，即，，從而，又，可得，，，綜上可得，；（3）若存在三個不同的數(shù)列為“”數(shù)列，則，則，由，，且，令，則，時，，由，可得，則，即，此時唯一，不存在三個不同的數(shù)列，時，令，則，則，①時，，則，同上分析不存在三個不同的數(shù)列；②時，△，無解，則，同上分析不存在三個不同的數(shù)列；③時，，則，同上分析不存在三個不同的數(shù)列．④時，即時，△，有兩解，，設，，，則，則對任意，或（舍去）或，由于數(shù)列從任何一項求其后一項均有兩種不同的結果，所以這樣的數(shù)列有無數(shù)多個，則對應的數(shù)列有無數(shù)多個．則存在三個不同的數(shù)列為“”數(shù)列，且，綜上可得．【選做題】本題包括A、B、C三小題，請選定其中兩小題，并在相應的答題區(qū)域內(nèi)作答．若多做，則按作答的前兩小題評分．解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．A．[選修4-2：矩陣與變換]（本小題滿分10分）21．（10分）平面上的點在矩陣對應的變換作用下得到點．（1）求實數(shù)，的值；（2）求矩陣的逆矩陣．【分析】（1）由，列方程組，求出、的值；（2）設矩陣的逆矩陣為，利用，列方程組求出、、和的值即可．【解答】解：（1）由題意，知，則，解得，；（2）由（1）知，矩陣，設矩陣的逆矩陣為，，，解得，，，，．B．[選修4-4：坐標系與參數(shù)方程]（本小題滿分10分）22．（10分）在極坐標系中，已知，在直線上，點，在圓上（其中，．（1）求，的值；（2）求出直線與圓的公共點的極坐標．【分析】（1）直接根據(jù)點在直線上，列方程求出的值，點在圓上，列方程求出的值；（2）聯(lián)立直線與圓的方程，然后求出其公共點的極坐標即可．【解答】解：（1），在直線上，，解得．點，在圓上，，解得或時，點表示極點，而圓經(jīng)過極點，所以滿足條件，極點的極坐標表示為0，極角為任意角．故或0．（2）由直線與圓得，方程組，則．，，，．．故公共點的極坐標為．C．[選修4-5：不等式選講]（本小題滿分10分）23．設，解不等式．【分析】先將寫為分段函數(shù)的形式，然后