山東省淄博市臨淄區(qū)實驗中學高三數(shù)學理期末試卷含解析

山東省淄博市臨淄區(qū)實驗中學高三數(shù)學理期末試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.已知雙曲線的離心率為2，F(xiàn)1，F(xiàn)2分別是雙曲線的左、右焦點，點，，點P為線段MN上的動點，當取得最小值和最大值時，的面積分別為S1，S2，則（

）A.4 B.8 C. D.參考答案：A【分析】根據(jù)離心率公式和雙曲線方程的a，b，c的關系，可知，根據(jù)題意表示出點p和m的取值范圍，利用平面向量數(shù)量積的坐標表示得關于m的一元二次函數(shù)，問題轉化為求在給定區(qū)間內二次函數(shù)的最大值與最小值，進而問題得解.【詳解】由，得，故線段所在直線的方程為，又點在線段上，可設，其中，由于，即，得，所以．由于，可知當時，取得最小值，此時，當時，取得最大值，此時，則．故選A.【點睛】本題考查了平面向量在解析幾何中應用，涉及了雙曲線的簡單性質，平面向量的數(shù)量積表示，二次函數(shù)在給定區(qū)間的最值問題；關鍵是利用向量作為工具，通過運算脫去“向量外衣”，將曲線上的點的坐標之間的關系轉化為函數(shù)問題，進而解決距離、夾角、最值等問題.2.已知函數(shù)是定義在R上的可導函數(shù)，其導函數(shù)記為，若對于任意實數(shù)x，有，且為奇函數(shù)，則不等式的解集為（

）A． B．

C．

D．參考答案：B略3.已知集合，，那么（

）

A.

B.

C.

D.參考答案：D4.現(xiàn)有12張不同的卡片，其中紅色、黃色、藍色、綠色卡片各三張，從中任取3張，要求這3張卡片不能是同一種顏色，且紅色卡片至多1張，不同的取法種數(shù)A．135 B．172 C．189 D．162參考答案：C由題意，不考慮特殊情況，共有種取法，其中每一種卡片各取三張，有4種取法，兩種紅色卡片，共有種取法，故所求的取法共有﹣4﹣=189種．5.在下列區(qū)間中，函數(shù)的零點所在的區(qū)間為（

）A. B. C. D.參考答案：C【分析】利用零點存在性定理，結合函數(shù)的單調性，判斷出正確選項.【詳解】依題意為上的增函數(shù)，且，所以的零點在區(qū)間.故選：C【點睛】本小題主要考查零點存在性定理的應用，屬于基礎題.6.已知全集U=R，集合A={x|2x＜1}，B={x|log3x＞0}，則A∩（?UB）=（）A．{x|x＞1} B．{x|x＞0} C．{x|0＜x＜1} D．{x|x＜0}參考答案：D【考點】指、對數(shù)不等式的解法；交、并、補集的混合運算．【專題】不等式的解法及應用．【分析】先化簡集合A、B，求出?UB，然后借助數(shù)軸即可求得答案．【解答】解：A={x|x＜0}，B={x|x＞1}，則CUB={x|x≤1}，∴A∩（?UB）={x|x＜0}，故選D．【點評】本題考查指數(shù)、對數(shù)不等式的解法和集合的運算，屬基礎題，指數(shù)、對數(shù)不等式常化同底后利用函數(shù)單調性求解．7.設全集，,,則集合B=Ａ．

B．

Ｃ．

D．參考答案：C8.在等腰三角形ABC中，∠A=150°，AB=AC=1，則=（）A． B． C． D．參考答案：A【考點】平面向量數(shù)量積的運算．【專題】計算題；轉化思想；向量法；平面向量及應用．【分析】方法一：利用向量的射影即可求出，方法二：根據(jù)向量數(shù)量積的公式，余弦定理，兩角差的余弦公式即可求出．【解答】解：方法一：如圖所示，過點C作CD⊥BA，交于點D，∴=﹣?=﹣||?||cosB=﹣=﹣（1+）=﹣1﹣方法二，等腰三角形ABC中，∠A=150°，AB=AC=1，∴B=15°，∴cos15°=cos（45°﹣30°）=×+×=由余弦定理可得BC2=AB2+AC2﹣2AB?AC?cosA=1+1﹣2×（﹣）=2+，∴BC=∴=||||cos（180°﹣15°）=1××（﹣）=﹣1﹣故選：A．【點評】本題主要考查平面向量的基本運算，利用向量的射影和向量數(shù)量積，以及余弦定理解決本題的關鍵．9.已知函數(shù)，若是函數(shù)的唯一極值點，則實數(shù)k的取值范圍是（

）A. B. C. D.參考答案：A由函數(shù)，可得，有唯一極值點有唯一根，無根，即與無交點，可得，由得，在上遞增，由得，在上遞減，，即實數(shù)的取值范圍是，故選A.【方法點睛】已知函數(shù)零點(方程根)的個數(shù)，求參數(shù)取值范圍的三種常用的方法：(1)直接法，直接根據(jù)題設條件構建關于參數(shù)的不等式，再通過解不等式確定參數(shù)范圍；(2)分離參數(shù)法，先將參數(shù)分離，轉化成求函數(shù)值域問題加以解決；(3)數(shù)形結合法，先對解析式變形，在同一平面直角坐標系中，畫出函數(shù)的圖象，然后數(shù)形結合求解．一是轉化為兩個函數(shù)的圖象的交點個數(shù)問題，畫出兩個函數(shù)的圖象，其交點的個數(shù)就是函數(shù)零點的個數(shù)，二是轉化為的交點個數(shù)的圖象的交點個數(shù)問題.10.下列函數(shù)中，既不是奇函數(shù)，也不是偶函數(shù)的是(

)A．y=x+sinx B．y=xsinx C．y=x+cosx D．y=xcosx參考答案：C【考點】余弦函數(shù)的奇偶性．【專題】函數(shù)思想；函數(shù)的性質及應用．【分析】直接利用函數(shù)奇偶性的定義逐一判斷四個選項得答案．【解答】解：函數(shù)y=f（x）=x+sinx的定義域為R，且f（﹣x）=﹣f（x），∴y=x+sinx為奇函數(shù)；y=f（x）=xsinx的定義域為R，且f（﹣x）=f（x），∴y=xsinx為偶函數(shù)；y=x+cosx的定義域為R，由f（﹣x）﹣f（x）=0，得﹣x+cosx﹣x﹣cosx=0，得x=0，不滿足對任意x都成立，由f（﹣x）+f（x）=0，得﹣x+cosx+x+cosx=0，得cosx=0，不滿足對任意x都成立，∴y=x+cosx為非奇非偶函數(shù)；y=f（x）=xcosx的定義域為R，且f（﹣x）=﹣f（x），∴y=xcosx為奇函數(shù)．故選：C．【點評】本題考查函數(shù)就偶性的性質，訓練了函數(shù)奇偶性的判定方法，是基礎題．二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.設數(shù)列{an}的前n項和為Sn，已知數(shù)列{Sn}是首項和公比都是3的等比數(shù)列，則{an}的通項公式an=．參考答案：【考點】等比數(shù)列的前n項和．【專題】計算題．【分析】由等比數(shù)列的通項公式可得Sn=3n，再由a1=s1=3，n≥2時，an=Sn﹣sn﹣1，求出{an}的通項公式．【解答】解：∵數(shù)列{Sn}是首項和公比都是3的等比數(shù)列，∴Sn=3n．故a1=s1=3，n≥2時，an=Sn﹣sn﹣1=3n﹣3n﹣1=2?3n﹣1，故an=．【點評】本題主要考查等比數(shù)列的通項公式，等比數(shù)列的前n項和公式，數(shù)列的前n項的和Sn與第n項an的關系，屬于中檔題．12.若將圓內的正弦曲線與x軸圍成的區(qū)域記為M,則在圓內隨機放一粒豆子，落入M的概率_______參考答案：13.若曲線的某一切線與直線垂直，則切點坐標為_____________.參考答案：（1，2）略14.點A、B、C、D在同一球面上，，AC=2，若球的表面積為，則四面體ABCD體積的最大值為

．參考答案：【詳解】試題分析：依題意所以，設的中點為，球心為O,球的半徑為R，過三點的截面圓半徑為由球的表面積為知，，解得.因的面積為,所以要四面體體積最大，則為射線與球面交點，所以球心到過三點的截面的距離為，所以，所以四面體體積最大為考點：1.球的幾何性質；2.幾何體的表面積、體積.15.如圖，在中，，點為的中點，點為線段垂直平分線上的一點，且.固定邊，在平面內移動頂點，使得的內切圓始終與切于線段的中點，且在直線的同側，在移動過程中，當取得最小值時，點到直線的距離為

.

參考答案：考點：雙曲線的綜合應用．【名師點睛】在雙曲線中求最值時經(jīng)?？紤]雙曲線的定義，涉及到雙曲線上的點到一個焦點的距離時，有時要利用定義轉化為到另一個焦點的距離，再利用三角形的兩邊之和（差）大于（小于）第三邊以及兩點之間線段最短等幾何性質求解．16.若x，y滿足約束條件，則的最大值為_____________．參考答案：6【分析】首先根據(jù)題中所給的約束條件，畫出相應的可行域，再將目標函數(shù)化成斜截式，之后在圖中畫出直線，在上下移動的過程中，結合的幾何意義，可以發(fā)現(xiàn)直線過B點時取得最大值，聯(lián)立方程組，求得點B的坐標代入目標函數(shù)解析式，求得最大值.【詳解】根據(jù)題中所給的約束條件，畫出其對應的可行域，如圖所示：由，可得，畫出直線，將其上下移動，結合的幾何意義，可知當直線在y軸截距最大時，z取得最大值，由，解得，此時，故答案為6.點睛：該題考查的是有關線性規(guī)劃的問題，在求解的過程中，首先需要正確畫出約束條件對應的可行域，之后根據(jù)目標函數(shù)的形式，判斷z的幾何意義，之后畫出一條直線，上下平移，判斷哪個點是最優(yōu)解，從而聯(lián)立方程組，求得最優(yōu)解的坐標，代入求值，要明確目標函數(shù)的形式大體上有三種：斜率型、截距型、距離型；根據(jù)不同的形式，應用相應的方法求解.17.函數(shù)f(x)=的最大值為．參考答案：【考點】函數(shù)的最值及其幾何意義．【分析】先求出真數(shù)的最大值為，進而可得函數(shù)的最大值為．【解答】解：==sinx+cosx=sin（x+），故真數(shù)的最大值為，故函數(shù)的最大值為=，故答案為：．三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.如圖，在三棱柱ABC－A1B1C1中，側棱AA1⊥底面ABC，AB⊥BC，D為AC的中點，AA1＝AB＝2，BC＝3.(1)求證：AB1∥平面BC1D；(2)求四棱錐B－AA1C1D的體積．參考答案：(1)證明：如圖，連接B1C，設B1C與BC1相交于點O，連接OD，∵四邊形BCC1B1是平行四邊形，∴點O為B1C的中點．∵D為AC的中點，∴OD為△AB1C的中位線，∴OD∥AB1，∵OD?平面BC1D，AB1?平面BC1D，∴AB1∥平面BC1D.(2)∵AA1⊥平面ABC，AA1?平面AA1C1C，∴平面ABC⊥平面AA1C1C，作BE⊥AC，垂足為E，則BE⊥平面AA1C1C.在Rt△ABC中，AC＝，BE＝＝，∴四棱錐B－AA1C1D的體積V＝×(A1C1＋AD)·AA1·BE＝××2×＝3.19.

己知函數(shù),

(1)當時，求函數(shù)的最小值和最大值；

(2)設ABC的內角A，B，C的對應邊分別為、、，且，f(C)=2，若向量與向量共線，求，的值．參考答案：略20.（14分）如圖，已知橢圓C：(a>b>0)的離心率為，F(xiàn)為橢圓C的右焦點．A（﹣a，0），|AF|=3．（Ⅰ）求橢圓C的方程；（Ⅱ）設O為原點，P為橢圓上一點，AP的中點為M．直線OM與直線x=4交于點D，過O且平行于AP的直線與直線x=4交于點E．求證：∠ODF=∠OEF．參考答案：【考點】直線與橢圓的位置關系．【分析】（Ⅰ）由題意可知：a=2c，a+c=3，求得a與c的值，則b2=a2﹣c2，即可求得橢圓方程；（Ⅱ）解法一：設AP的方程，代入橢圓方程，利用韋達定理及中點坐標公式求得M坐標，求得直線OM的方程，分別取得D和E點坐標，則EF⊥OM，DF⊥OE，在Rt△EHO和Rt△DGO中，∠ODF和∠OEF都與∠EOD互余，即可求得∠ODF=∠OEF；方法二：分別表示出M，D和E點坐標，求得EF和OM的斜率，由kOM?kEF=﹣1，則EF⊥OM，討論證明DF⊥OE在，則Rt△EHO和Rt△DGO中，∠ODF和∠OEF都與∠EOD互余，即可求得∠ODF=∠OEF．【解答】解：（Ⅰ）設橢圓C的半焦距為c．橢圓的離心率e=，丨AF丨=a+c=3，解得a=2，c=1．所以b2=a2﹣c2=3，所以橢圓C的方程是．[（4分）]（Ⅱ）解法一：由（Ⅰ）得A（﹣2，0）．設AP的中點M（x0，y0），P（x1，y1）．設直線AP的方程為：y=k（x+2）（k≠0），將其代入橢圓方程，整理得（4k2+3）x2+16k2x+16k2﹣12=0，[（6分）]所以．[（7分）]所以，，即．[（8分）]所以直線OM的斜率是，[（9分）]所以直線OM的方程是．令x=4，得．[（10分）]直線OE的方程是y=kx．令x=4，得E（4，4k）．[（11分）]由F（1，0），得直線EF的斜率是，所以EF⊥OM，記垂足為H；因為直線DF的斜率是，所以DF⊥OE，記垂足為G．[（13分）]在Rt△EHO和Rt△DGO中，∠ODF和∠OEF都與∠EOD互余，所以∠ODF=∠OEF．[（14分）]解法二：由（Ⅰ）得A（﹣2，0）．設P（x1，y1）（x1≠±2），其中．因為AP的中點為M，所以．[（6分）]所以直線OM的斜率是，[（7分）]所以直線OM的方程是．令x=4，得．[（8分）]直線OE的方程是．令x=4，得．[（9分）]由F（1，0），得直線EF的斜率是，[（10分）]因為，所以EF⊥OM，記垂足為H；[（12分）]同理可得，所以DF⊥OE，記垂足為G．[（13分）]在Rt△EHO和Rt△DGO中，∠ODF和∠OEF都與∠EOD互余，所以∠ODF=∠OEF．[（14分）]

【點評】本題考查橢圓的標準方程及簡單幾何性質，直線與橢圓的位置關系，考查韋達定理，中點坐標公式，直線的斜率公式，考查計算能力，屬于中檔題．21.如圖（1）所示，長方形ABCD中，AB=2AD，M是DC的中點，將△ADM沿AM折起，使得AD⊥