三角恒等變換導(dǎo)學(xué)案

..學(xué)案22簡(jiǎn)單的三角恒等變換導(dǎo)學(xué)目標(biāo)：1.能推出二倍角的正弦、余弦、正切公式,并熟練應(yīng)用.2.能運(yùn)用兩角和與差的三角公式進(jìn)行簡(jiǎn)單的恒等變換．自主梳理1．二倍角的正弦、余弦、正切公式<1>sin2α＝________________；<2>cos2α＝______________＝________________－1＝1－________________；<3>tan2α＝________________________<α≠eq\f<kπ,2>＋eq\f<π,4>且α≠kπ＋eq\f<π,2>>．2．公式的逆向變換及有關(guān)變形<1>sinαcosα＝____________________?cosα＝eq\f<sin2α,2sinα>；<2>降冪公式：sin2α＝________________,cos2α＝________________；升冪公式：1＋cosα＝________________,1－cosα＝_____________；變形：1±sin2α＝sin2α＋cos2α±2sinαcosα＝________________________.自我檢測(cè)1．<2010·XX>函數(shù)f<x>＝2sinxcosx是<>A．最小正周期為2π的奇函數(shù)B．最小正周期為2π的偶函數(shù)C．最小正周期為π的奇函數(shù)D．最小正周期為π的偶函數(shù)2．函數(shù)f<x>＝cos2x－2sinx的最小值和最大值分別為<>A．－3,1B．－2,2C．－3,eq\f<3,2>D．－2,eq\f<3,2>3．函數(shù)f<x>＝sinxcosx的最小值是<>A．－1B．－eq\f<1,2>C.eq\f<1,2>D．14．<2011·XX月考>已知A、B為直角三角形的兩個(gè)銳角,則sinA·sinB<>A．有最大值eq\f<1,2>,最小值0B．有最小值eq\f<1,2>,無(wú)最大值C．既無(wú)最大值也無(wú)最小值D．有最大值eq\f<1,2>,無(wú)最小值探究點(diǎn)一三角函數(shù)式的化簡(jiǎn)例1求函數(shù)y＝7－4sinxcosx＋4cos2x－4cos4x的最大值和最小值．變式遷移1<2011·XX模擬>已知函數(shù)f<x>＝eq\f<4cos4x－2cos2x－1,sin\b\lc\<\rc\><\a\vs4\al\co1<\f<π,4>＋x>>sin\b\lc\<\rc\><\a\vs4\al\co1<\f<π,4>－x>>>.<1>求feq\b\lc\<\rc\><\a\vs4\al\co1<－\f<11π,12>>>的值；<2>當(dāng)x∈eq\b\lc\[\rc\><\a\vs4\al\co1<0,\f<π,4>>>時(shí),求g<x>＝eq\f<1,2>f<x>＋sin2x的最大值和最小值．探究點(diǎn)二三角函數(shù)式的求值例2已知sin<eq\f<π,4>＋2α>·sin<eq\f<π,4>－2α>＝eq\f<1,4>,α∈<eq\f<π,4>,eq\f<π,2>>,求2sin2α＋tanα－eq\f<1,tanα>－1的值．變式遷移2<1>已知α是第一象限角,且cosα＝eq\f<5,13>,求eq\f<sinα＋\f<π,4>,cos2α＋4π>的值．<2>已知cos<α＋eq\f<π,4>>＝eq\f<3,5>,eq\f<π,2>≤α<eq\f<3π,2>,求cos<2α＋eq\f<π,4>>的值．探究點(diǎn)三三角恒等式的證明例3<2011·蘇北四市模擬>已知sin<2α＋β>＝3sinβ,設(shè)tanα＝x,tanβ＝y(tǒng),記y＝f<x>．<1>求證：tan<α＋β>＝2tanα；<2>求f<x>的解析表達(dá)式；<3>若角α是一個(gè)三角形的最小內(nèi)角,試求函數(shù)f<x>的值域．變式遷移3求證：eq\f<sin2x,sinx＋cosx－1sinx－cosx＋1>＝eq\f<1＋cosx,sinx>.轉(zhuǎn)化與化歸思想的應(yīng)用例<12分><2010·XX>已知函數(shù)f<x>＝eq\b\lc\<\rc\><\a\vs4\al\co1<1＋\f<1,tanx>>>sin2x＋msineq\b\lc\<\rc\><\a\vs4\al\co1<x＋\f<π,4>>>sineq\b\lc\<\rc\><\a\vs4\al\co1<x－\f<π,4>>>.<1>當(dāng)m＝0時(shí),求f<x>在區(qū)間eq\b\lc\[\rc\]<\a\vs4\al\co1<\f<π,8>,\f<3π,4>>>上的取值范圍；<2>當(dāng)tanα＝2時(shí),f<α>＝eq\f<3,5>,求m的值．[答題模板]解<1>當(dāng)m＝0時(shí),f<x>＝eq\b\lc\<\rc\><\a\vs4\al\co1<1＋\f<cosx,sinx>>>sin2x＝sin2x＋sinxcosx＝eq\f<1－cos2x＋sin2x,2>＝eq\f<1,2>eq\b\lc\[\rc\]<\a\vs4\al\co1<\r<2>sin\b\lc\<\rc\><\a\vs4\al\co1<2x－\f<π,4>>>＋1>>,[3分]由已知x∈eq\b\lc\[\rc\]<\a\vs4\al\co1<\f<π,8>,\f<3π,4>>>,得2x－eq\f<π,4>∈eq\b\lc\[\rc\]<\a\vs4\al\co1<0,\f<5π,4>>>,[4分]所以sineq\b\lc\<\rc\><\a\vs4\al\co1<2x－\f<π,4>>>∈eq\b\lc\[\rc\]<\a\vs4\al\co1<－\f<\r<2>,2>,1>>,[5分]從而得f<x>的值域?yàn)閑q\b\lc\[\rc\]<\a\vs4\al\co1<0,\f<1＋\r<2>,2>>>.[6分]<2>f<x>＝sin2x＋sinxcosx－eq\f<m,2>cos2x＝eq\f<1－cos2x,2>＋eq\f<1,2>sin2x－eq\f<m,2>cos2x＝eq\f<1,2>[sin2x－<1＋m>cos2x]＋eq\f<1,2>,[8分]由tanα＝2,得sin2α＝eq\f<2sinαcosα,sin2α＋cos2α>＝eq\f<2tanα,1＋tan2α>＝eq\f<4,5>,cos2α＝eq\f<cos2α－sin2α,cos2α＋sin2α>＝eq\f<1－tan2α,1＋tan2α>＝－eq\f<3,5>.[10分]所以eq\f<3,5>＝eq\f<1,2>eq\b\lc\[\rc\]<\a\vs4\al\co1<\f<4,5>＋\f<3,5>1＋m>>＋eq\f<1,2>,[11分]解得m＝－2.[12分][突破思維障礙]三角函數(shù)式的化簡(jiǎn)是指利用誘導(dǎo)公式、同角基本關(guān)系式、和與差的三角函數(shù)公式、二倍角公式等,將較復(fù)雜的三角函數(shù)式化得更簡(jiǎn)潔、更清楚地顯示出式子的結(jié)果．化簡(jiǎn)三角函數(shù)式的基本要求是：<1>能求出數(shù)值的要求出數(shù)值；<2>使三角函數(shù)式的項(xiàng)數(shù)最少、次數(shù)最低、角與函數(shù)的種類(lèi)最少；<3>分式中的分母盡量不含根式等．1．求值中主要有三類(lèi)求值問(wèn)題：<1>"給角求值"：一般所給出的角都是非特殊角,從表面來(lái)看是很難的,但仔細(xì)觀(guān)察非特殊角與特殊角總有一定關(guān)系,解題時(shí),要利用觀(guān)察得到的關(guān)系,結(jié)合公式轉(zhuǎn)化為特殊角并且消除非特殊角的三角函數(shù)而得解．<2>"給值求值"：給出某些角的三角函數(shù)式的值,求另外一些角的三角函數(shù)值,解題關(guān)鍵在于"變角",使其角相同或具有某種關(guān)系．<3>"給值求角"：實(shí)質(zhì)是轉(zhuǎn)化為"給值求值",關(guān)鍵也是變角,把所求角用含已知角的式子表示,由所得的函數(shù)值結(jié)合該函數(shù)的單調(diào)區(qū)間求得角．2．三角恒等變換的常用方法、技巧和原則：<1>在化簡(jiǎn)求值和證明時(shí)常用如下方法：切割化弦法,升冪降冪法,和積互化法,輔助元素法,"1”的代換法等．<2>常用的拆角、拼角技巧如：2α＝<α＋β>＋<α－β>,α＝<α＋β>－β,α＝<α－β>＋β,eq\f<α＋β,2>＝eq\b\lc\<\rc\><\a\vs4\al\co1<α－\f<β,2>>>＋eq\b\lc\<\rc\><\a\vs4\al\co1<β－\f<α,2>>>,eq\f<α,2>是eq\f<α,4>的二倍角等．<3>化繁為簡(jiǎn)：變復(fù)角為單角,變不同角為同角,化非同名函數(shù)為同名函數(shù),化高次為低次,化多項(xiàng)式為單項(xiàng)式,化無(wú)理式為有理式．消除差異：消除已知與未知、條件與結(jié)論、左端與右端以及各項(xiàng)的次數(shù)、角、函數(shù)名稱(chēng)、結(jié)構(gòu)等方面的差異．<滿(mǎn)分：75分>一、選擇題<每小題5分,共25分>1．<2011·XX月考>已知0<α<π,3sin2α＝sinα,則cos<α－π>等于<>A.eq\f<1,3>B．－eq\f<1,3>C.eq\f<1,6>D．－eq\f<1,6>2．已知tan<α＋β>＝eq\f<2,5>,taneq\b\lc\<\rc\><\a\vs4\al\co1<β－\f<π,4>>>＝eq\f<1,4>,那么taneq\b\lc\<\rc\><\a\vs4\al\co1<α＋\f<π,4>>>等于<>A.eq\f<13,18>B.eq\f<13,22>C.eq\f<3,22>D.eq\f<1,6>3．<2011·XX模擬>已知cos2α＝eq\f<1,2><其中α∈eq\b\lc\<\rc\><\a\vs4\al\co1<－\f<π,4>,0>>>,則sinα的值為<>A.eq\f<1,2>B．－eq\f<1,2>C.eq\f<\r<3>,2>D．－eq\f<\r<3>,2>4．若f<x>＝2tanx－eq\f<2sin2\f<x,2>－1,sin\f<x,2>cos\f<x,2>>,則feq\b\lc\<\rc\><\a\vs4\al\co1<\f<π,12>>>的值為<>A．－eq\f<4\r<3>,3>B．8C．4eq\r<3>D．－4eq\r<3>5．<2010·XXXX外國(guó)語(yǔ)學(xué)校高三第二次月考>在△ABC中,若cos2B＋3cos<A＋C>＋2＝0,則sinB的值是<>A.eq\f<1,2>B.eq\f<\r<2>,2>C.eq\f<\r<3>,2>D．1題號(hào)12345答案二、填空題<每小題4分,共12分>6．<2010·全國(guó)Ⅰ>已知α為第二象限的角,且sinα＝eq\f<3,5>,則tan2α＝________.7．函數(shù)y＝2cos2x＋sin2x的最小值是________．8．若eq\f<cos2α,sin\b\lc\<\rc\><\a\vs4\al\co1<α－\f<π,4>>>>＝－eq\f<\r<2>,2>,則cosα＋sinα的值為_(kāi)_______．三、解答題<共38分>9．<12分>化簡(jiǎn)：<1>cos20°cos40°cos60°cos80°；<2>eq\f<3－4cos2α＋cos4α,3＋4cos2α＋cos4α>.10．<12分><2011·XX模擬>設(shè)函數(shù)f<x>＝eq\r<3>sinxcosx－cosxsineq\b\lc\<\rc\><\a\vs4\al\co1<\f<π,2>＋x>>－eq\f<1,2>.<1>求f<x>的最小正周期；<2>當(dāng)∈eq\b\lc\[\rc\]<\a\vs4\al\co1<0,\f<π,2>>>時(shí),求函數(shù)f<x>的最大值和最小值．11．<14分><2010·北京>已知函數(shù)f<x>＝2cos2x＋sin2x－4cosx.<1>求f<eq\f<π,3>>的值；<2>求f<x>的最大值和最小值．答案自主梳理1．<1>2sinαcosα<2>cos2α－sin2α2cos2α2sin2α<3>eq\f<2tanα,1－tan2α>2.<1>eq\f<1,2>sin2α<2>eq\f<1－cos2α,2>eq\f<1＋cos2α,2>2cos2eq\f<α,2>2sin2eq\f<α,2><sinα±cosα>2自我檢測(cè)1．C2.C3.B4.D課堂活動(dòng)區(qū)例1解題導(dǎo)引化簡(jiǎn)的原則是形式簡(jiǎn)單,三角函數(shù)名稱(chēng)盡量少,次數(shù)盡量低,最好不含分母,能求值的盡量求值．本題要充分利用倍角公式進(jìn)行降冪,利用配方變?yōu)閺?fù)合函數(shù),重視復(fù)合函數(shù)中間變量的范圍是關(guān)鍵．解y＝7－4sinxcosx＋4cos2x－4cos4x＝7－2sin2x＋4cos2x<1－cos2x>＝7－2sin2x＋4cos2xsin2x＝7－2sin2x＋sin22x＝<1－sin2x>2＋6,由于函數(shù)z＝<u－1>2＋6在[－1,1]中的最大值為zmax＝<－1－1>2＋6＝10,最小值為zmin＝<1－1>2＋6＝6,故當(dāng)sin2x＝－1時(shí),y取得最大值10,當(dāng)sin2x＝1時(shí),y取得最小值6.變式遷移1解<1>f<x>＝eq\f<1＋cos2x2－2cos2x－1,sin\b\lc\<\rc\><\a\vs4\al\co1<\f<π,4>＋x>>sin\b\lc\<\rc\><\a\vs4\al\co1<\f<π,4>－x>>>＝eq\f<cos22x,sin\b\lc\<\rc\><\a\vs4\al\co1<\f<π,4>＋x>>cos\b\lc\<\rc\><\a\vs4\al\co1<\f<π,4>＋x>>>＝eq\f<2cos22x,sin\b\lc\<\rc\><\a\vs4\al\co1<\f<π,2>＋2x>>>＝eq\f<2cos22x,cos2x>＝2cos2x,∴feq\b\lc\<\rc\><\a\vs4\al\co1<－\f<11π,12>>>＝2coseq\b\lc\<\rc\><\a\vs4\al\co1<－\f<11π,6>>>＝2coseq\f<π,6>＝eq\r<3>.<2>g<x>＝cos2x＋sin2x＝eq\r<2>sineq\b\lc\<\rc\><\a\vs4\al\co1<2x＋\f<π,4>>>.∵x∈eq\b\lc\[\rc\><\a\vs4\al\co1<0,\f<π,4>>>,∴2x＋eq\f<π,4>∈eq\b\lc\[\rc\><\a\vs4\al\co1<\f<π,4>,\f<3π,4>>>,∴當(dāng)x＝eq\f<π,8>時(shí),g<x>max＝eq\r<2>,當(dāng)x＝0時(shí),g<x>min＝1.例2解題導(dǎo)引<1>這類(lèi)問(wèn)題一般是先化簡(jiǎn)再求值；化簡(jiǎn)后目標(biāo)更明確；<2>如果能從已知條件中求出特殊值,應(yīng)轉(zhuǎn)化為特殊角,可簡(jiǎn)化運(yùn)算,對(duì)切函數(shù)通常化為弦函數(shù)．解由sin<eq\f<π,4>＋2α>·sin<eq\f<π,4>－2α>＝sin<eq\f<π,4>＋2α>·cos<eq\f<π,4>＋2α>＝eq\f<1,2>sin<eq\f<π,2>＋4α>＝eq\f<1,2>cos4α＝eq\f<1,4>,∴cos4α＝eq\f<1,2>,又α∈<eq\f<π,4>,eq\f<π,2>>,故α＝eq\f<5π,12>,∴2sin2α＋tanα－eq\f<1,tanα>－1＝－cos2α＋eq\f<sin2α－cos2α,sinαcosα>＝－cos2α＋eq\f<－2cos2α,sin2α>＝－coseq\f<5π,6>－eq\f<2cos\f<5π,6>,sin\f<5π,6>>＝eq\f<5\r<3>,2>.變式遷移2解<1>∵α是第一象限角,cosα＝eq\f<5,13>,∴sinα＝eq\f<12,13>.∴eq\f<sinα＋\f<π,4>,cos2α＋4π>＝eq\f<\f<\r<2>,2>sinα＋cosα,cos2α>＝eq\f<\f<\r<2>,2>sinα＋cosα,cos2α－sin2α>＝eq\f<\f<\r<2>,2>,cosα－sinα>＝eq\f<\f<\r<2>,2>,\f<5,13>－\f<12,13>>＝－eq\f<13\r<2>,14>.<2>cos<2α＋eq\f<π,4>>＝cos2αcoseq\f<π,4>－sin2αsineq\f<π,4>＝eq\f<\r<2>,2><cos2α－sin2α>,∵eq\f<π,2>≤α<eq\f<3,2>π,∴eq\f<3π,4>≤α＋eq\f<π,4><eq\f<7,4>π.又cos<α＋eq\f<π,4>>＝eq\f<3,5>>0,故可知eq\f<3,2>π<α＋eq\f<π,4><eq\f<7,4>π,∴sin<α＋eq\f<π,4>>＝－eq\f<4,5>,從而cos2α＝sin<2α＋eq\f<π,2>>＝2sin<α＋eq\f<π,4>>cos<α＋eq\f<π,4>>＝2×<－eq\f<4,5>>×eq\f<3,5>＝－eq\f<24,25>.sin2α＝－cos<2α＋eq\f<π,2>>＝1－2cos2<α＋eq\f<π,4>>＝1－2×<eq\f<3,5>>2＝eq\f<7,25>.∴cos<2α＋eq\f<π,4>>＝eq\f<\r<2>,2><cos2α－sin2α>＝eq\f<\r<2>,2>×<－eq\f<24,25>－eq\f<7,25>>＝－eq\f<31\r<2>,50>.例3解題導(dǎo)引本題的關(guān)鍵是第<1>小題的恒等式證明,對(duì)于三角恒等式的證明,我們要注意觀(guān)察、分析條件恒等式與目標(biāo)恒等式的異同,特別是分析已知和要求的角之間的關(guān)系,再分析函數(shù)名之間的關(guān)系,則容易找到思路．證明三角恒等式的實(shí)質(zhì)就是消除等式兩邊的差異,有目的地化繁為簡(jiǎn),左右歸一或變更論證．對(duì)于第<2>小題同樣要從角的關(guān)系入手,利用兩角和的正切公式可得關(guān)系．第<3>小題則利用基本不等式求解即可．<1>證明由sin<2α＋β>＝3sinβ,得sin[<α＋β>＋α]＝3sin[<α＋β>－α],即sin<α＋β>cosα＋cos<α＋β>sinα＝3sin<α＋β>cosα－3cos<α＋β>sinα,∴sin<α＋β>cosα＝2cos<α＋β>sinα,∴tan<α＋β>＝2tanα.<2>解由<1>得eq\f<tanα＋tanβ,1－tanαtanβ>＝2tanα,即eq\f<x＋y,1－xy>＝2x,∴y＝eq\f<x,1＋2x2>,即f<x>＝eq\f<x,1＋2x2>.<3>解∵角α是一個(gè)三角形的最小內(nèi)角,∴0<α≤eq\f<π,3>,0<x≤eq\r<3>,設(shè)g<x>＝2x＋eq\f<1,x>,則g<x>＝2x＋eq\f<1,x>≥2eq\r<2><當(dāng)且僅當(dāng)x＝eq\f<\r<2>,2>時(shí)取"＝">．故函數(shù)f<x>的值域?yàn)?lt;0,eq\f<\r<2>,4>]．變式遷移3證明因?yàn)樽筮叄絜q\f<2sinxcosx,[sinx＋cosx－1][sinx－cosx－1]>＝eq\f<2sinxcosx,sin2x－cosx－12>＝eq\f<2sinxcosx,sin2x－cos2x＋2cosx－1>＝eq\f<2sinxcosx,－2cos2x＋2cosx>＝eq\f<sinx,1－cosx>＝eq\f<sinx1＋cosx,1－cosx1＋cosx>＝eq\f<sinx1＋cosx,sin2x>＝eq\f<1＋cosx,sinx>＝右邊．所以原等式成立．課后練習(xí)區(qū)1．D[∵0<α<π,3sin2α＝sinα,∴6sinαcosα＝sinα,又∵sinα≠0,∴cosα＝eq\f<1,6>,cos<α－π>＝cos<π－α>＝－cosα＝－eq\f<1,6>.]2．C[因?yàn)棣粒玡q\f<π,4>＋β－eq\f<π,4>＝α＋β,所以α＋eq\f<π,4>＝<α＋β>－eq\b\lc\<\rc\><\a\vs4\al\co1<β－\f<π,4>>>.所以taneq\b\lc\<\rc\><\a\vs4\al\co1<α＋\f<π,4>>>＝taneq\b\lc\[\rc\]<\a\vs4\al\co1<α＋β－\b\lc\<\rc\><\a\vs4\al\co1<β－\f<π,4>>>>>＝eq\f<tanα＋β－tan\b\lc\<\rc\><\a\vs4\al\co1<β－\f<π,4>>>,1＋tanα＋βtan\b\lc\<\rc\><\a\vs4\al\co1<β－\f<π,4>>>>＝eq\f<3,22>.]3．B[∵eq\f<1,2>＝cos2α＝1－2sin2α,∴sin2α＝eq\f<1,4>.又∵α∈eq\b\lc\<\rc\><\a\vs4\al\co1<－\f<π,4>,0>>,∴sinα＝－eq\f<1,2>.]4．B[f<x>＝2tanx＋eq\f<1－2sin2\f<x,2>,\f<1,2>sinx>＝2tanx＋eq\f<2cosx,sinx>＝eq\f<2,sinxcosx>＝eq\f<4,sin2x>∴feq\b\lc\<\rc\><\a\vs4\al\co1<\f<π,12>>>＝eq\f<4,sin\f<π,6>>＝8.]5．C[由cos2B＋3cos<A＋C>＋2＝0化簡(jiǎn)變形,得2cos2B－3cosB＋1＝0,∴cosB＝eq\f<1,2>或cosB＝1<舍>．∴sinB＝eq\f<\r<3>,2>.]6．－eq\f<24,7>解析因?yàn)棣翞榈诙笙薜慕?又sinα＝eq\f<3,5>,所以cosα＝－eq\f<4,5>,tanα＝eq\f<sinα,cosα>＝－eq\f<3,4>,所以tan2α＝eq\f<2tanα,1－tan2α>＝－eq\f<24,7>.7．1－eq\r<2>解析∵y＝2cos2x＋sin2x＝sin2x＋1＋cos2x＝sin2x＋cos2x＋1＝eq\r<2>sineq\b\lc\<\rc\><\a\vs4\al\co1<2x＋\f<π,4>>>＋1,∴當(dāng)sin<2x＋eq\f<π,4>>＝－1時(shí),函數(shù)取得最小值1－eq\r<2>.8.eq\f<1,2>解析∵eq\f<cos2α,sin\b\lc\<\rc\><\a\vs4\al\co1<α－\f<π,4>>>>＝eq\f<cos2α－sin2α,\f<\r<2>,2>sinα－cosα>＝－eq\r<2><sinα＋cosα>＝－eq\f<\r<2>,2>,∴cosα＋sinα＝eq\f<1,2>.9．解<1>∵sin2α＝2sinαcosα,∴cosα＝eq\f<sin2α,2sinα>,…………<2分>∴原式＝eq\f<sin40°,2sin20°>·eq\f<sin80°,2sin40°>·eq\f<1,2>·eq\f<sin160°,2sin80°>＝eq\f<sin18