1平面與平面垂直

第十一章立體幾何初步空間中的垂直關(guān)系平面與平面垂直課后篇鞏固提升基礎(chǔ)鞏固1.設(shè)平面α⊥平面β,且α∩β=l,直線a?α,直線b?β,且a不與l垂直,b不與l垂直,那么a與b()A.可能垂直,不可能平行B.可能平行,不可能垂直C.可能垂直,也可能平行D.不可能垂直,也不可能平行解析若a∥l,b∥l,則a∥b,假設(shè)a⊥b,在平面α內(nèi),過a上一點(diǎn)P作PM⊥l交l與M,則PM⊥β,∴PM⊥b.又b⊥a,所以b⊥α,得b⊥l,與b與l不垂直矛盾,所以a與b不可能垂直.答案B2.給出以下四種說法:①如果一條直線和一個(gè)平面平行,經(jīng)過這條直線的一個(gè)平面和這個(gè)平面相交,那么這條直線和交線平行;②如果一條直線和一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直,那么這條直線垂直于這個(gè)平面;③如果兩條直線都平行于一個(gè)平面,那么這兩條直線互相平行;④如果一個(gè)平面經(jīng)過另一個(gè)平面的一條垂線,那么這兩個(gè)平面互相垂直.其中正確的個(gè)數(shù)是() 解析根據(jù)空間中線面平行、垂直的有關(guān)性質(zhì)與判定定理易知③錯(cuò),①②④正確,故選B.答案B3.如果直線l,m與平面α,β,γ滿足l=β∩γ,l∥α,m?α,m⊥γ,那么必有()A.α⊥γ和l⊥m B.α∥γ和m∥β∥β和l⊥m D.α∥β和α⊥γ解析由m⊥γ,l?γ,可得m⊥l.由m?α,m⊥γ,可得α⊥γ.答案A4.對(duì)于直線m,n和平面α,β,能得出α⊥β的一組條件是()⊥n,m∥α,n∥β ⊥n,α∩β=m,n?β∥n,n⊥β,m?α ∥n,m⊥α,n⊥β解析A與D中α也可與β平行,B中不一定α⊥β,故選C.答案C5.下列說法正確的是()①過平面外一點(diǎn)有且僅有一個(gè)平面與已知平面垂直;②如果一條直線和兩個(gè)垂直平面中的一個(gè)垂直,它必和另一個(gè)平面平行;③過不在平面內(nèi)的一條直線可作無數(shù)個(gè)平面與已知平面垂直;④如果兩個(gè)平面互相垂直,經(jīng)過一個(gè)平面內(nèi)一點(diǎn)與另一平面垂直的直線在第一個(gè)平面內(nèi).A.①③ B.②③ C.②③④ D.④解析過平面外一點(diǎn)可作一條直線與平面垂直,過該直線的任何一個(gè)平面都與已知平面垂直,所以①不對(duì);若α⊥β,a⊥α,則a?β或a∥β,所以②不對(duì);當(dāng)平面外的直線是平面的垂線時(shí),能作無數(shù)個(gè)平面與已知平面垂直,否則只能作一個(gè),所以③也不對(duì).④正確.答案D6.三個(gè)平面兩兩垂直,它們的交線交于一點(diǎn)O,點(diǎn)P到三個(gè)面的距離分別是3,4,5,則OP的長為()3 2 5 5解析∵三個(gè)平面兩兩垂直,∴可以將P與各面的垂足連接并補(bǔ)成一個(gè)長方體,∴OP即為對(duì)角線,∴OP=32+42答案B7.下列說法中:①兩個(gè)相交平面組成的圖形叫做二面角;②異面直線a,b分別和一個(gè)二面角的兩個(gè)面垂直,則a,b所成的角與這個(gè)二面角相等或互補(bǔ);③二面角的平面角是從棱上一點(diǎn)出發(fā),分別在兩個(gè)面內(nèi)作射線所成角的最小角;④二面角的大小與其平面角的頂點(diǎn)在棱上的位置沒有關(guān)系,其中正確的有()A.①③ B.②④ C.③④ D.①②解析對(duì)①,顯然混淆了平面與半平面的概念,是錯(cuò)誤的;對(duì)②,由于a,b分別垂直于兩個(gè)面,所以也垂直于二面角的棱,但由于異面直線所成的角為銳角(或直角),所以應(yīng)是相等或互補(bǔ),是正確的;對(duì)③,因?yàn)椴淮怪庇诶?所以是錯(cuò)誤的;④是正確的,故選B.答案B8.已知平面α,β和直線m,給出條件:①m∥α;②m⊥α;③m?α;④α⊥β;⑤α∥β.(1)當(dāng)滿足條件時(shí),有m∥β;

(2)當(dāng)滿足條件時(shí),有m⊥β.(填所選條件的序號(hào)).

答案③⑤②⑤9.下列四個(gè)命題中,正確的序號(hào)有.

①α∥β,β⊥γ,則α⊥γ; ②α∥β,β∥γ,則α∥γ;③α⊥β,γ⊥β,則α⊥γ; ④α⊥β,γ⊥β,則α∥γ.解析①②正確,③中α,γ也可能平行,④中α,γ也可能相交.答案①②10.設(shè)α和β為不重合的兩個(gè)平面,給出下列命題:(1)若α內(nèi)的兩條相交直線分別平行于β內(nèi)的兩條直線,則α平行于β;(2)若α外一條直線l與α內(nèi)的一條直線平行,則l和α平行;(3)設(shè)α和β相交于直線l,若α內(nèi)有一條直線垂直于l,則α和β垂直.上面命題中,真命題的序號(hào)是(寫出所有真命題的序號(hào)).

解析(1)由面面平行的判定定理可得,該命題正確.(2)由線面平行的判定定理可得,該命題正確.(3)如圖(舉反例),a?α,α∩β=l,a⊥l,但α與β不垂直.答案(1)(2)11.在長方體ABCD-A1B1C1D1中,AB=AD=23,CC1=2,二面角C1-BD-C的大小為.

解析連接AC交BD于點(diǎn)O,連接C1O,∵C1D=C1B,O為BD中點(diǎn),∴C1O⊥BD,∵AC⊥BD,∴∠C1OC是二面角C1-BD-C的平面角,在Rt△C1CO中,C1C=2,可以計(jì)算C1O=22,∴sin∠C1OC=C1CC1O=12,答案30°12.如圖,在正方體ABCD-A1B1C1D1中,E,F分別為棱AD,AB的中點(diǎn).(1)求證:EF∥平面CB1D1;(2)求證:平面CAA1C1⊥平面CB1D1.證明(1)連接BD.在正方體AC1中,對(duì)角線BD∥B1D1.又∵E,F為棱AD,AB的中點(diǎn),∴EF∥BD.∴EF∥B1D1.又B1D1?平面CB1D1,EF?平面CB1D1,∴EF∥平面CB1D1.(2)∵在正方體ABCD-A1B1C1D1中,AA1⊥平面A1B1C1D1,而B1D1?平面A1B1C1D1,∴AA1⊥B1D1.又∵在正方形A1B1C1D1中,A1C1⊥B1D1,AA1∩A1C1=A1,∴B1D1⊥平面CAA1C1.又∵B1D1?平面CB1D1,∴平面CAA1C1⊥平面CB1D1.能力提升1.正方形ABCD的邊長為12,PA⊥平面ABCD,PA=12,則點(diǎn)P到對(duì)角線BD的距離為()3 2 3 6解析如圖,連接AC交BD于點(diǎn)O.則PA⊥BD,AO⊥BD.所以BD⊥平面PAO.所以PO⊥BD,故PO為P到BD的距離.在Rt△AOP中,PA=12,AO=62.所以PO=66.答案D2.如圖所示,在四邊形ABCD中,AD∥BC,AD=AB,∠BCD=45°,∠BAD=90°,將△ABD沿BD折起,使平面ABD⊥平面BCD,構(gòu)成四面體ABCD,則在四面體ABCD中,下列說法正確的是()A.平面ABD⊥平面ABC B.平面ADC⊥平面BDCC.平面ABC⊥平面BDC D.平面ADC⊥平面ABC解析在題圖①中,因?yàn)椤螧AD=90°,AD=AB,所以∠ADB=∠ABD=45°.因?yàn)锳D∥BC,所以∠DBC=45°.又因?yàn)椤螧CD=45°,所以∠BDC=90°,即BD⊥CD.在題圖②中,此關(guān)系仍成立.因?yàn)槠矫鍭BD⊥平面BCD,所以CD⊥平面ABD.因?yàn)锽A?平面ADB,所以CD⊥AB.因?yàn)锽A⊥AD,所以BA⊥平面ACD.因?yàn)锽A?平面ABC,所以平面ABC⊥平面ACD.答案D3.如圖,A,B,C,D為空間四點(diǎn),在Rt△ABC中,AB=2,AC=BC=2,等邊三角形ADB以AB為軸旋轉(zhuǎn),當(dāng)平面ADB⊥平面ABC時(shí),CD=()A.3 C.5 解析取AB的中點(diǎn)E,連接DE,CE,因?yàn)椤鰽DB是等邊三角形,所以DE⊥AB.當(dāng)平面ADB⊥平面ABC時(shí),因?yàn)槠矫鍭DB∩平面ABC=AB,所以DE⊥平面ABC,又CE?平面ABC,所以DE⊥CE.由已知可求得DE=3,CE=1,故在Rt△DEC中,CD=DE2+答案B4.(多選題)已知m,n是兩條不重合的直線,α,β,γ是三個(gè)兩兩不重合的平面,給出下列四個(gè)命題,其中正確的命題是()A.若m∥β,n∥β,m,n?α,則α∥βB.若α⊥γ,β⊥γ,α∩β=m,n?γ,則m⊥nC.若m⊥α,α⊥β,α∩β=n,那么m∥nD.若m∥α,m∥β,α∩β=n,那么m∥n解析由m,n是兩條不重合的直線,α,β,γ是三個(gè)兩兩不重合的平面,知:在A中,若m∥β,n∥β,m,n?α,則α與β相交或平行,故A錯(cuò)誤;在B中,若α⊥γ,β⊥γ,α∩β=m,得m⊥γ,n?γ,則由面面垂直的性質(zhì)定理得m⊥n,故B正確;在C中,若m⊥α,α⊥β,α∩β=n,那么由線面垂直的性質(zhì)定理得m⊥n,故C錯(cuò)誤;在D中,若m∥α,m∥β,α∩β=n,那么由線面平行的性質(zhì)定理得m∥n,故D正確.故選BD.答案BD5.(多選題)在正四面體ABCD中,E,F,G分別是BC,CD,DB的中點(diǎn),下面四個(gè)結(jié)論中正確的是()∥平面AGF⊥平面ABFC.平面AEF⊥平面BCDD.平面ABF⊥平面BCD解析∵F,G分別是CD,DB的中點(diǎn),∴GF∥BC,則BC∥平面AGF,故A正確;∵E,F,G分別是BC,CD,DB的中點(diǎn),∴CD⊥AF,CD⊥BF,即CD⊥平面ABF,∵EG∥CD,∴EG⊥平面ABF,故B正確;∵E,F,G分別是BC,CD,DB的中點(diǎn),∴CD⊥AF,CD⊥BF,即CD⊥平面ABF,∵CD?面BCD,∴平面ABF⊥平面BCD,故D正確;對(duì)于選項(xiàng)C,假設(shè)平面AEF⊥平面BCD,由平面AEF∩平面BCD=AF,CD?平面BCD,CD⊥AF,∴CD⊥平面AEF,CD⊥EF,與CD,EF夾角為60°矛盾,故C錯(cuò)誤.故選ABD.答案ABD6.如圖,邊長為a的等邊三角形ABC的中線AF與中位線DE交于點(diǎn)G,已知△A'DE是△ADE繞DE旋轉(zhuǎn)過程中的一個(gè)圖形(A'不與A,F重合),則下列命題中正確的是()①動(dòng)點(diǎn)A'在平面ABC上的射影在線段AF上;②BC∥平面A'DE;③三棱錐A'-FED的體積有最大值.A.① B.①② C.①②③ D.②③解析注意折疊前DE⊥AF,折疊后其位置關(guān)系沒有改變.①中由已知可得平面A'FG⊥平面ABC,∴點(diǎn)A'在平面ABC上的射影在線段AF上,正確;②BC∥DE,BC?平面A'DE,DE?平面A'DE,∴BC∥平面A'DE,正確;③當(dāng)平面A'DE⊥平面ABC時(shí),三棱錐A'-FED的體積達(dá)到最大,正確.答案C7.如圖,四面體P-ABC中,PA=PB=13,平面PAB⊥平面ABC,∠ABC=90°,AC=8,BC=6,則PC=.

解析取AB的中點(diǎn)E,連接PE.∵PA=PB,∴PE⊥AB.又平面PAB⊥平面ABC,∴PE⊥平面ABC.連接CE,∴PE⊥CE.∠ABC=90°,AC=8,BC=6,∴AB=27,PE=PACE=BE2+BC2答案78.如圖所示,P是菱形ABCD所在平面外的一點(diǎn),且∠DAB=60°,邊長為a.側(cè)面PAD為正三角形,其所在平面垂直于底面ABCD,PB與平面AC所成的角為θ,則θ=.

解析如圖所示,取AD的中點(diǎn)G,連接PG,BG,BD.∵△PAD是等邊三角形,∴PG⊥AD,又平面PAD⊥平面AC,平面PAD∩平面AC=AD,PG?平面PAD,∴PG⊥平面AC,∴∠PBG是PB與平面AC所成的角θ.在△PBG中,PG⊥BG,BG=PG,∴∠PBG=45°,即θ=45°.答案45°9.如圖,在長方形ABCD中,AB=2,BC=1,E為DC的中點(diǎn),F為線段EC(端點(diǎn)除外)上一動(dòng)點(diǎn).現(xiàn)將△AFD沿AF折起,使平面ABD⊥平面ABC.在平面ABD內(nèi)過點(diǎn)D作DK⊥AB,K為垂足.設(shè)AK=t,則t的取值范圍是.

解析如圖,過D作DG⊥AF,垂足為G,連接GK,∵平面ABD⊥平面ABC,又DK⊥AB,∴DK⊥平面ABC,∴DK⊥AF.∴AF⊥平面DKG,∴AF⊥GK.容易得到,當(dāng)F接近E點(diǎn)時(shí),K接近AB的中點(diǎn),當(dāng)F接近C點(diǎn)時(shí),K接近AB的四等分點(diǎn).所以t的取值范圍是12答案110.如圖,在Rt△AOB中,∠OAB=π6,斜邊AB=4,Rt△AOC可以通過Rt△AOB以直線AO為軸旋轉(zhuǎn)得到,且二面角B-AO-C是直二面角,D是AB的中點(diǎn)(1)求證:平面COD⊥平面AOB;(2)求異面直線AO與CD所成角的正切值.(1)證明由題意,CO⊥AO,BO⊥AO,∴∠BOC是二面角B-AO-C的平面角,∴CO⊥BO,又∵AO∩BO=O,∴CO⊥平面AOB,又∵CO?平面COD,∴平面COD⊥平面AOB.(2)解作DE⊥OB,垂足為E,連接CE(如圖),則DE∥AO,∴∠CDE是異面直線AO與CD所成的角.在Rt△COE中,CO=BO=2,OE=12BO=∴CE=CO2+OE2=5∴在Rt△CDE中,tan∠CDE=CEDE∴異面直線AO與CD所成角的正切值為15311.如圖所示,四棱錐P-ABCD的底面ABCD是邊長為1的菱形,∠BCD=60°,E是CD的中點(diǎn),PA⊥底面ABCD,PA=3.(1)證明:平面PBE⊥平面PAB;(2)求二面角A