山東省淄博市鐵路職工子弟中學(xué)高一數(shù)學(xué)理聯(lián)考試卷含解析

山東省淄博市鐵路職工子弟中學(xué)高一數(shù)學(xué)理聯(lián)考試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.已知ω為正實數(shù)，函數(shù)f（x）=2sinωx在區(qū)間上遞增，那么（）A． B．0＜ω≤2 C． D．參考答案：C【考點(diǎn)】正弦函數(shù)的單調(diào)性；函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)．【分析】先根據(jù)正弦函數(shù)在[﹣，]是增函數(shù)，再由x的范圍求出wx的范圍，根據(jù)單調(diào)區(qū)間得到不等式﹣≤﹣ω≤ωx≤ω，解出ω的范圍即可得到答案．【解答】解：∵sinx在[﹣，]是增函數(shù)這里﹣≤x≤﹣ω≤ωx≤ω所以有﹣≤﹣ω≤ωx≤ω

∴﹣≤ω∴ω≤ω∴ω≤2所以0＜ω≤故選C．2.判斷下列各命題的真假：（1）向量的長度與向量的長度相等；（2）向量與向量平行，則與的方向相同或相反；（3）兩個有共同起點(diǎn)的而且相等的向量，其終點(diǎn)必相同；（4）兩個有共同終點(diǎn)的向量，一定是共線向量；（5）向量和向量是共線向量，則點(diǎn)A、B、C、D必在同一條直線上；(6）有向線段就是向量，向量就是有向線段.其中假命題的個數(shù)為（）A、2個B、3個C、4個D、5個

參考答案：C3.已知符號[x]表示“不超過x的最大整數(shù)”，如[﹣2]=﹣2，[﹣1.5]=﹣2，[2.5]=2，則[log2]+[log2]+[log2]+[log21]+[log22]+[log23]+[log24]的值為(

)A．﹣1 B．﹣2 C．0 D．1參考答案：A【考點(diǎn)】對數(shù)的概念；對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)．【專題】函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用．【分析】根據(jù)新定義當(dāng)x是整數(shù)，[x]就是x，當(dāng)x不是整數(shù)時，[x]是點(diǎn)x左側(cè)的笫一個整數(shù)點(diǎn)，這個函數(shù)叫做“取整函數(shù)，先求出各對數(shù)值或所處的范圍，再用取整函數(shù)求解．【解答】解：由題意可得：[log2]+[log2]+[log2]+[log21]+[log22]+[log23]+[log24]=﹣2+（﹣2）+（﹣1）+0+1+1+2=﹣1故選：A【點(diǎn)評】本題是一道新定義題，這類題目要嚴(yán)格按照定義操作，轉(zhuǎn)化為已知的知識和方法求解，還考查了對數(shù)的運(yùn)算及性質(zhì)．4.若，規(guī)定：，例如：，則的奇偶性為（

）A．是奇函數(shù)不是偶函數(shù)

B．是偶函數(shù)不是奇函數(shù)C．既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)

D．既不是奇函數(shù)又不是偶函數(shù)參考答案：B5.某程序框圖如圖所示，若輸出的S＝57，則判斷框內(nèi)為()A．k>4?

B．k>5?

C．k>6?

D．k>7?參考答案：A6.中國古代數(shù)學(xué)著作《算法統(tǒng)宗》中有這樣一個問題：“三百七十八里關(guān)，初行健步并不難，次日腳痛減一半，六朝才得至其關(guān)，欲問每朝行里數(shù)，請公仔細(xì)算相還”.其意思為：“有一個人走378里路，第1天健步行走，從第2天起，因腳痛每天走的路程為前一天的一半，走了6天后到達(dá)目的地，可求出此人每天走多少里路.”那么此人第5天走的路程為（

）A.48里 B.24里 C.12里 D.6里參考答案：C記每天走的路程里數(shù)為{an}，由題意知{an}是公比的等比數(shù)列，由S6=378，得=378，解得：a1=192，∴=12（里）．故選：C．7.下列等式成立的是（）A．log2（8﹣4）=log28﹣log24 B．=C．log223=3log22 D．log2（8+4）=log28+log24參考答案：C【考點(diǎn)】對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)．【分析】分別根據(jù)對數(shù)的運(yùn)算法則進(jìn)行判斷即可．【解答】解：A．等式的左邊=log2（8﹣4）=log24=2，右邊=log28﹣log24=3﹣2=1，∴A不成立．B．等式的左邊=，右邊=log2=log24=2，∴B不成立．C．等式的左邊=3，右邊=3，∴C成立．D．等式的左邊=log2（8+4）=log212，右邊=log28+log24=3+2=5，∴D不成立．故選：C．8.已知集合，集合，求（

）A. B.[3,5] C.[－2,3] D.(3,5)參考答案：B【分析】解出集合、，再利用集合交集運(yùn)算律可求出集合?！驹斀狻拷獠坏仁?，即，解得，.解不等式，解得，，因此，，故選：B。【點(diǎn)睛】本題考查集合的交集運(yùn)算，解出不等式得出兩個集合是解題的關(guān)鍵，考查計算能力，屬于基礎(chǔ)題。9.甲、乙兩人下棋，甲獲勝的概率為40%，甲不輸?shù)母怕蕿?0%，則甲、乙下成平局的概率為（

）A.50% B.30% C.10% D.60%參考答案：A【分析】甲不輸?shù)母怕实扔诩撰@勝或者平局的概率相加，計算得到答案.【詳解】甲不輸?shù)母怕实扔诩撰@勝或者平局的概率相加甲、乙下成平局的概率為：故答案選A【點(diǎn)睛】本題考查了互斥事件的概率，意在考查學(xué)生對于概率的理解.10.已知函數(shù)則

（

）A．16B．

C．4

D．參考答案：A略二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.化簡的結(jié)果為

▲

。參考答案：略12.在等差數(shù)列中，，則的值是________參考答案：2013.用抽簽法進(jìn)行抽樣有以下幾個步驟：①制簽；②抽簽；③將簽搖勻；④編號；⑤將抽取的號碼對應(yīng)的個體取出，組成樣本．這些步驟的正確順序為________．參考答案：④①③②⑤由抽簽法的步驟知，正確順序為④①③②⑤.故答案為④①③②⑤14.已知函數(shù),則＝__________參考答案：015.等差數(shù)列中,則_________。參考答案：38;16.我們把滿足（是常數(shù)）的數(shù)列叫做等和數(shù)列，常數(shù)叫做數(shù)列的公和．若等和數(shù)列的首項為1，公和為3，則該數(shù)列前2010項的和為

．參考答案：3015略17.已知，則f（f（3））的值為．參考答案：3【考點(diǎn)】函數(shù)的值；分段函數(shù)的解析式求法及其圖象的作法．【專題】計算題．【分析】先根據(jù)函數(shù)的解析式求出f（3）的值，再把f（3）看成自變量求出f（f（3））．【解答】解：∵，∴f（3）=log3（9﹣6）=1，f（f（3））=f（1）=3?e0=3，故答案為3．【點(diǎn)評】本題考查求函數(shù)值的方法，關(guān)鍵是確定將自變量代入哪一個段得解析式進(jìn)行運(yùn)算．三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.已知函數(shù)的圖象的一條對稱軸為.（Ⅰ）求的最小正周期及單調(diào)遞增區(qū)間；（Ⅱ）求在區(qū)間上的最大值和最小值.參考答案：（Ⅰ）；（Ⅱ）.【分析】（I）通過兩角和差的正弦公式得到化簡之后的式子，進(jìn)而求得周期和單調(diào)區(qū)間；（II）結(jié)合第一問得到函數(shù)的單調(diào)性，進(jìn)而得到函數(shù)最值.【詳解】（I），是對稱軸，，，且，，，，其最小正周期為；單調(diào)遞增區(qū)間為：，.（II）由（I）可知，在遞減，在遞增，可知當(dāng)時得最大值為0；當(dāng)時得最小值-2.故在區(qū)間上的最大值為0，最小值為-2.【點(diǎn)睛】已知三角函數(shù)解析式求單調(diào)區(qū)間：①求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間應(yīng)遵循簡單化原則，將解析式先化簡，并注意復(fù)合函數(shù)單調(diào)性規(guī)律“同增異減”；②求形如y=Asin（ωx＋φ）（其中ω>0）的單調(diào)區(qū)間時，要視“ωx＋φ”為一個整體，通過解不等式求解．但如果ω<0，那么一定先借助誘導(dǎo)公式將ω化為正數(shù)，防止把單調(diào)性弄錯；③若ω<0，利用誘導(dǎo)公式二把y＝Asin(ωx＋φ)中x的系數(shù)化為大于0的數(shù)．19.已知f（x）是定義在[﹣1，1]上的奇函數(shù)，且f（1）=1，若a，b∈[﹣1，1]，a+b≠0時，有成立．（Ⅰ）判斷f（x）在[﹣1，1]上的單調(diào)性，并證明；（Ⅱ）解不等式：f（2x﹣1）＜f（1﹣3x）；（Ⅲ）若f（x）≤m2﹣2am+1對所有的a∈[﹣1，1]恒成立，求實數(shù)m的取值范圍．參考答案：見解析【考點(diǎn)】函數(shù)恒成立問題．【專題】計算題；規(guī)律型；函數(shù)思想；轉(zhuǎn)化思想；函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用．【分析】（Ⅰ）任取x1，x2∈[﹣1，1]，且x1＜x2，利用函數(shù)的單調(diào)性的定義證明f（x）在[﹣1，1]上單調(diào)遞增．（Ⅱ）利用f（x）在[﹣1，1]上單調(diào)遞增，列出不等式組，即可求出不等式的解集．（Ⅲ）問題轉(zhuǎn)化為m2﹣2am≥0，對a∈[﹣1，1]恒成立，通過①若m=0，②若m≠0，分類討論，判斷求解即可．【解答】解：（Ⅰ）任取x1，x2∈[﹣1，1]，且x1＜x2，則﹣x2∈[﹣1，1]，∵f（x）為奇函數(shù)，∴f（x1）﹣f（x2）=f（x1）+f（﹣x2）=?（x1﹣x2），…由已知得＞0，x1﹣x2＜0，∴f（x1）﹣f（x2）＜0，即f（x1）＜f（x2）．∴f（x）在[﹣1，1]上單調(diào)遞增．…（Ⅱ）∵f（x）在[﹣1，1]上單調(diào)遞增，∴…∴不等式的解集為．…（Ⅲ）∵f（1）=1，f（x）在[﹣1，1]上單調(diào)遞增．∴在[﹣1，1]上，f（x）≤1．問題轉(zhuǎn)化為m2﹣2am+1≥1，即m2﹣2am≥0，對a∈[﹣1，1]恒成立．…下面來求m的取值范圍．設(shè)g（a）=﹣2m?a+m2≥0．①若m=0，則g（a）=0≥0，對a∈[﹣1，1]恒成立．②若m≠0，則g（a）為a的一次函數(shù)，若g（a）≥0，對a∈[﹣1，1]恒成立，必須g（﹣1）≥0且g（1）≥0，∴m≤﹣2或m≥2．綜上，m=0或m≤﹣2或m≥2…【點(diǎn)評】本題考查函數(shù)的單調(diào)性的判斷與應(yīng)用，函數(shù)恒成立的應(yīng)用，考查計算能力．20.定義區(qū)間，，，的長度均為，其中．（1）求關(guān)于的不等式的解集構(gòu)成的區(qū)間的長度；（2）若關(guān)于的不等式的解集構(gòu)成的區(qū)間的長度為，求實數(shù)的值；（3）已知關(guān)于的不等式，的解集構(gòu)成的各區(qū)間的長度和超過，求實數(shù)的取值范圍；參考答案：（1）不等式的解是所以區(qū)間的長度是………3分（2）當(dāng)時，不符合題意………………4分當(dāng)時，的兩根設(shè)為，且結(jié)合韋達(dá)定理知

解得（舍）………………7分（3）=設(shè)，原不等式等價于，………9分因為函數(shù)的最小正周期是，長度恰為函數(shù)的一個正周期所以時，，的解集構(gòu)成的各區(qū)間的長度和超過即實數(shù)的取值范圍是……………12分21.（本小題滿分14分）已知，函數(shù).（1）求的單調(diào)區(qū)間；（2）當(dāng)時，證明：方程在區(qū)間（2，）上有唯一解；（3）若存在均屬于區(qū)間[1，3]的且，使=，證明：．參考答案：解：（1）函數(shù)的定義域

，

-------------2分

令得：，令得：----------4分∴函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為-------------5分（2）證明：當(dāng)時，，由（1）知的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為，--------------------------------------------6分令，則在區(qū)間單調(diào)遞增且，-----------------8分∴方程在區(qū)間（2，）上有唯一解．----------------------9分（注：檢驗的函數(shù)值異號的點(diǎn)選取并不唯一）（3）證明：由及（1）的結(jié)論知，-------------10分從而在上的最大值為（或），---------------------11分又由知--------------------------12分故，即-----------------------13分從而．--------------------------------------------14分略22.如圖，在四棱錐A﹣CDFE中，底面CDFE是直角梯形，CE∥DF，EF⊥EC，CE=DF，AF⊥平面CDFE，P為AD中點(diǎn)．（Ⅰ）證明：CP∥平面AEF；（Ⅱ）設(shè)EF=2，AF=3，F(xiàn)D=4，求點(diǎn)F到平面ACD的距離．參考答案：【考點(diǎn)】點(diǎn)、線、面間的距離計算；直線與平面平行的判定．【分析】（I）作AF中點(diǎn)G，連結(jié)PG、EG，證明CP∥EG．然后利用直線與平面平行的判定定理證明CP∥平面AEF．（II）作FD的中點(diǎn)Q，連結(jié)CQ、FC．求出CF，證明CD⊥AC，設(shè)點(diǎn)F到平面ACD的距離為h，利用VF﹣ACD=VD﹣ACF．求解即可．【解答】（本小題滿分12分）證明：（I）作AF中點(diǎn)G，連結(jié)PG、EG，