燕山大學振動理論習題答案

..第二章單自由度系統(tǒng)的自由振動2-1如圖2-1所示,重物懸掛在剛度為k的彈簧上并處于靜止平衡位置,另一重物從高度為h處自由下落到上且無彈跳。試求下降的最大距離和兩物體碰撞后的運動規(guī)律。xxxx0x1x12平衡位置解：, 動量守恒：, 平衡位置：,, 故： 故：2-2一均質等直桿,長為l,重量為w,用兩根長h的相同的鉛垂線懸掛成水平位置,如圖2-2所示。試寫出此桿繞通過重心的鉛垂軸做微擺動的振動微分方程,并求出振動固有周期。解：給桿一個微轉角＝h2F＝mg由動量矩定理：其中2-3一半圓薄壁筒,平均半徑為R,置于粗糙平面上做微幅擺動,如圖2-3所示。試求其擺動的固有頻率。圖2-3圖2-42-4如圖2-4所示,一質量m連接在一剛性桿上,桿的質量忽略不計,試求下列情況系統(tǒng)作垂直振動的固有頻率：〔1振動過程中桿被約束保持水平位置；〔2桿可以在鉛垂平面內微幅轉動；〔3比較上述兩種情況中哪種的固有頻率較高,并說明理由。k2k2k1ml1l2mgl1l2x1x2x 圖T2-9 答案圖T2-9解： 〔1保持水平位置： 〔2微幅轉動： 故：2-5試求圖2-5所示系統(tǒng)中均質剛性桿AB在A點的等效質量。已知桿的質量為m,A端彈簧的剛度為k。并問鉸鏈支座C放在何處時使系統(tǒng)的固有頻率最高？圖2-5圖2-62-6在圖2-6所示的系統(tǒng)中,四個彈簧均未受力。已知m=50kg,,,。試問：〔1若將支撐緩慢撤去,質量塊將下落多少距離？〔2若將支撐突然撤去,質量塊又將下落多少距離？｛2.17｝圖T2-17所示的系統(tǒng)中,四個彈簧均未受力,k1=k2=k3=k4=k,試問： 〔1若將支承緩慢撤去,質量塊將下落多少距離？ 〔2若將支承突然撤去,質量塊又將下落多少距離？kk1k2k3k4m圖T2-17解：〔1,〔2,2-7圖2-7所示系統(tǒng),質量為m2的均質圓盤在水平面上作無滑動的滾動,鼓輪繞軸的轉動慣量為I,忽略繩子的彈性、質量及各軸承間的摩擦力。試求此系統(tǒng)的固有頻率。圖2-7解：系統(tǒng)動能為：系統(tǒng)動能為：根據： ,2-8如圖2-8所示的系統(tǒng)中,鋼桿質量不計,建立系統(tǒng)的運動微分方程,并求臨界阻尼系數(shù)及阻尼固有頻率。圖2-8aabl解：,由2-9圖2-9所示的系統(tǒng)中,m＝1kg,k＝224N/m,c＝48N.s/m,l1＝l＝0.49m,l2＝l/2,l3＝l/4,不計鋼桿質量。試求系統(tǒng)的無阻尼固有頻率及阻尼。圖2-9｛2.26｝圖T2-26所示的系統(tǒng)中,m=1kg,k=144N/m,c=48N?s/m,l1=l=0.49m,l2=0.5l,l3=0.25l,不計剛桿質量,求無阻尼固有頻率及阻尼。l1l1mkcl2l3mO圖T2-26 答案圖T2-25解：受力如答案圖T2-26。對O點取力矩平衡,有：第三章單自由度系統(tǒng)的強迫振動3-1如圖3-1所示彈簧質量系統(tǒng)中,兩個彈簧的連接處有一激振力。試求質量塊的振幅。圖3-1解：設彈簧1,2的伸長分別為x1和x2,則有,〔A由圖〔1和圖〔2的受力分析,得到〔B〔C聯(lián)立解得,所以,n=0,得,mgmgBP0sintAXAYAFCFK圖3-23-2圖3-2所示系統(tǒng)中,剛性桿AB的質量忽略不計,B端作用有激振力,寫出系統(tǒng)運動微分方程,并求下列情況中質量m作上下振動的振幅值：〔1系統(tǒng)發(fā)生共振；〔2等于固有頻率的一半。解：圖〔1為系統(tǒng)的靜平衡位置,以為系統(tǒng)的廣義坐標,畫受力如圖〔2又I＝ml2則1系統(tǒng)共振,即23-3建立圖3-3所示系統(tǒng)的運動微分方程,并求出系統(tǒng)的固有頻率,阻尼比以及穩(wěn)態(tài)響應振幅。圖3-3解：以剛桿轉角為廣義坐標,由系統(tǒng)的動量矩定理即令,,,,,得到3-4一機器質量為450kg,支撐在彈簧隔振器上,彈簧靜變形為0.5cm,機器有一偏心重,產生偏心激振力,其中是激振頻率,g是重力加速度。試求：〔1在機器轉速為1200r/min時傳入地基的力；〔2機器的振幅。解：設系統(tǒng)在平衡位置有位移,則即又有則〔1所以機器的振幅為〔2且,〔3又有〔4將〔1〔2〔4代入〔2得機器的振幅=0.584mm則傳入地基的力為2-9一個粘性阻尼系統(tǒng)在激振力作用下的強迫振動力為,已知N,B=5cm,rad/s,求最初1秒及1/4秒內,激振力作的功及。3-5證明：粘滯阻尼利在一個振動周期內消耗的能量可表示為證明3-6單自由度無阻尼系統(tǒng)受圖3-6所示的外力作用,已知。試求系統(tǒng)的響應。圖3-6解：由圖得激振力方程為當0<t<t1時,,則有由于,所以有當t1<t<t2時,,則有當t<t2時,,則有+0圖3-73-7試求在零初始條件下的單自由度無阻尼系統(tǒng)對圖3-7所示激振力的響應。解：由圖得激振力方程為當0<t<t1時,,則有當t<t1時,,則有3-8圖3-8為一車輛的力學模型,已知車輛的質量m、懸掛彈簧的剛度k以及車輛的水平行駛速度v。道路前方有一隆起的曲形地面：〔1試求車輛通過曲形地面時的振動；〔2試求車輛通過曲形地面以后的振動。圖3-8解：由牛頓定律,可得系統(tǒng)的微分方程為,由曲形地面∶,得到得到系統(tǒng)的激振力為,?！?車通過曲形地面時的振動為〔2車通過曲形地面后的振動車通過曲形地面后以初位移和初速度作自由振動,即,由公式,得到車通過曲形地面后的振動響應為其中,,?；蚍e分為3-9圖3-9是一輕型飛機起落架著陸沖撞的簡單力學模型。試求彈簧從接觸地面至反跳脫離接觸的時間。3-10圖3-10所示的箱子從高h處自由下落,箱體內有足夠的間隙允許質量m運動,并且箱體質量遠大于m。若箱子觸地后不再跳起,試求：〔1箱子下落過程中質量塊相對于箱體的運動；〔2箱子落地后傳到質量塊上的最大作用力。圖3-9圖3-10第四章多單自由度系統(tǒng)的振動4-1圖4-1所示系統(tǒng)中,各個質量只能沿鉛垂方向運動,假設,。試求系統(tǒng)的固有頻率及振型矩陣圖4-1解：如圖選擇廣義坐標。求質量矩陣及利用剛度影響系數(shù)法求剛度矩陣為,由頻率方程,得解出頻率為,,由特征矩陣的伴隨矩陣的第一列,將代入得系統(tǒng)的第一階主振型為滿足如下關系：,展開以上二式得,。取,,可得到。即有滿足如下關系：,展開以上二式得,,,聯(lián)立得。取,,可得到。即得主振型矩陣為圖4-24-2試計算圖4-2所示系統(tǒng)對初始條件和的響應。解：在習題4-6中已求得系統(tǒng)的主振型矩陣和質量矩陣分別為主質量振型為正則振型的第i列為,由此得到正則振型振型為正則坐標初始條件為=0,=正則坐標的響應為,,,其中頻率為。最終得到響應,由,展開得到解：從6—6中可得主頻率和主振型矩陣為,由質量矩陣,可求出主質量矩陣則正則振刑矩陣為于是于是得所以響應為,即,其中,.4-3試確定題4-2的系統(tǒng)對作用于質量m1和質量m4上的階躍力的響應。4-4如圖4-4所示,已知機器質量為,吸振器質量為,若機器上有一偏心質量,偏心距e=1cm,機器轉速n=1800r/m。試問：〔1吸振器的彈簧剛度k2多大,才能使機器振幅為零？〔2此時吸振器的振幅B2為多大？〔3若使吸振器的振幅B2不超過2mm,應如何改變吸振器的參數(shù)？圖4-4第六章彈性體系統(tǒng)的振動6.1一等直桿沿縱向以速度v向右運動,求下列情況中桿的自由振動：〔1桿的左端突然固定；〔2桿的右端突然固定；〔3桿的中點突然固定。圖6-1解；<1>桿的左端突然固定；桿的初始條件為：有題可知得,所以有：進而有：%全部改成：圖6-26-2圖6-2所示一端固定一端自由的等直桿,〔1若受到均勻分布力的作用,試求分布力突然移去時桿的自由振動響應；〔2若桿上作用的軸向均勻分布干擾力為,試求桿的穩(wěn)態(tài)強迫振動。解：t-=0時的應變?yōu)闂U的初始條件為一端自由一端固定,可知桿的因有頻率和主振型為將主振型代入上式歸一化為以正則坐標表示初始條件為以正則坐標表示對初始條件的響應為于是桿的自由振動為桿左端固定端,右端為自由端邊界條件得固有頻率,主振型i=1,2,……桿在x處的應變初始條件由得再利用三角函數(shù)正交性得<2>解：因為桿是一端固定,可得固有頻率和主振型為將主振型代入歸一化條件,得得到正則振型又第i個正則方程為所以可得正則坐標的穩(wěn)態(tài)響應為桿的穩(wěn)態(tài)響應振動為其中