線性代數(shù)在中學(xué)數(shù)學(xué)中的應(yīng)用

.PAGE.目錄TOC\o"1-2"\h\z\u摘要1Abstract2前言3第1章行列式在中學(xué)數(shù)學(xué)中的應(yīng)用41.1用行列式證明等式41.2用行列式分解因式51.3行列式在解析幾何中的應(yīng)用6第2章線性方程組在中學(xué)數(shù)學(xué)中的應(yīng)用7第3章二次型理論在中學(xué)數(shù)學(xué)中的應(yīng)用8第4章矩陣與變換引入中學(xué)數(shù)學(xué)的意義及應(yīng)用104.1中學(xué)數(shù)學(xué)引入矩陣的意義104.2中學(xué)數(shù)學(xué)中矩陣與變換114.3線性變換面積定理114.4利用矩陣的秩判斷兩直線位置關(guān)系124.5中學(xué)數(shù)學(xué)中矩陣變換的常見類型12第5章用向量法解決初等幾何問題13結(jié)論15參考文獻16致謝17摘要線性代數(shù)是數(shù)學(xué)的一個分支,是一門數(shù)學(xué)基礎(chǔ)課程．近幾年隨著高等數(shù)學(xué)已漸漸走入初等數(shù)學(xué),線性代數(shù)在初等數(shù)學(xué)中也有廣泛應(yīng)用．本文共分為五個部分：例說行列式在中學(xué)數(shù)學(xué)中的應(yīng)用,線性方程組在中學(xué)數(shù)學(xué)中的應(yīng)用,二次型理論在中學(xué)數(shù)學(xué)中的應(yīng)用,矩陣與變換引入中學(xué)數(shù)學(xué)的意義及應(yīng)用,用向量法解決初等幾何問題．本文主要是從上述幾個方面分析了線性代數(shù)在中學(xué)數(shù)學(xué)中的若干應(yīng)用以及有關(guān)例題的講解過程．關(guān)鍵詞：行列式齊次線性方程組二次型矩陣向量AbstractLinearalgebraisabranchofmathematics.Itisamathematicalfoundationcourse.Inrecentyears,somecontentofhighermathematicsarebeguntolearnbymiddleschoolstudents.AndLinearalgebrahasalsowideapplicationinelementarymathematics.Thispaperisdividedintofiveparts.Intheseparts,wewillgivealotofexamplestoshowsomeapplicationsofdeterminant,Linearequations,quadratictheory,matrixandtransform,vectorinelementarymathematics.Keywords:determinanthomogeneouslinearsystemquadraticformmatrixvector前言線性代數(shù)是學(xué)習(xí)自然科學(xué)、工程和社會科學(xué)的一門高度抽象且邏輯性很強的基礎(chǔ)理論課程,它本身理論性強,并且計算繁雜．作為高等學(xué)?；A(chǔ)課,除了作為各門學(xué)科的重要工具以外,還是提高人才的全面素質(zhì)中起著重要的作用,他在培育理性思維和審美功能方面的作用也得到充分的重視．可以說任何與數(shù)學(xué)有關(guān)的課程都涉及線性代數(shù)知識．學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)就必須解題,解題要以自己的實踐過程來實現(xiàn)．本文在闡述一些重要的概念和定理之后,常常附以具體例子,這樣可以使讀者從實例中了解問題的具體內(nèi)容,掌握解決問題的思路和算法步驟,以減少理解障礙,從而提高邏輯讀者的推理和判斷的能力．第1章行列式在中學(xué)數(shù)學(xué)中的應(yīng)用隨著高中數(shù)學(xué)新課程的實施,行列式在中學(xué)數(shù)學(xué)中的滲透、應(yīng)用越來越受關(guān)注,本文從三個方面淺析其在中學(xué)數(shù)學(xué)中的應(yīng)用.1.1用行列式證明等式利用行列式證明等式與不等式的方法是對同一行列式用兩種不同的計算方法,利用其結(jié)果相等而得到等式的證明.例1已知,求證.證明：令,則,即例2已知,,,求證：.證明：令,則有.例3在中,求證.證明由于所以,在中,成立.例4求證：.證明：因為又,故1.2用行列式分解因式由行列式的定義,.由此啟發(fā),我們可以把一個代數(shù)式看成兩個式子的差,而每個式子又可以看成兩個因式的乘積,即<均為代數(shù)式>,于是.由此即可根據(jù)行列式的性質(zhì),對某些多項式進行因式分解.例1分解因式.解：.例2將分解因式.解：.例3分解因式.解：.利用行列式分解因式的關(guān)鍵是將所給多項式的形式寫成行列式的形式,并注意行列式的排列規(guī)則.1.3行列式在解析幾何中的應(yīng)用定理1〔1以平面內(nèi)三點為頂點的的面積的絕對值.〔2通過兩點的直線方程為.例求過點和點的直線的方程.解由,得直線的方程為.〔3平面內(nèi)三條直線.相較于一點或互相平行的充要條件是：.推論平面上三點在一條直線上的充要條件是.定理2通過平面上三點的圓的方程為.例1平面上給出三個兩兩相交的圓,每兩個圓有一條根軸,則三條根軸互相平行或交于一點.證明：設(shè)三個圓的方程分別為.兩兩相減得三條交線正是所述三條根軸,它們所在的直線方程為三條直線方程的系數(shù)行列式為故三直線平行或相較于一點.本題實質(zhì)是求一封閉圖形經(jīng)過仿射變換后所得圖形的面積.利用線性變換面積定理求解本題,居高臨下,讓人耳目一新.第2章線性方程組在中學(xué)數(shù)學(xué)中的應(yīng)用線性方程組在中學(xué)就學(xué)過,主要是研究若干變量的相互關(guān)系,比如下面就是一個線性方程組的例子：一個廟里有一百個和尚,這中間有大和尚有小和尚,這一百個和尚每頓飯總共吃一百個饅頭,其中大和尚一個人吃三個,小和尚三個人吃一個,問大和尚和小和尚各多少人?解設(shè)大和尚的數(shù)目是,小和尚的數(shù)目是,則有,解之得其實,更多元的線性方程組也是同樣的解法.定理含有n個未知量n個方程的齊次線性方程組有非零解的充要條件是:方程組的系數(shù)行列式等零.例1已知函數(shù),證明、、中至少有一個不小于.解把=1,2,3代入函數(shù)表達式,列方程組上述關(guān)于a、b、1的齊次線性方程組有非零解,故,展開整理得,假設(shè)結(jié)論不成立,即,,,易推出,從而產(chǎn)生矛盾,故命題成立.例2已知,,,求證：.證明：由已知得關(guān)于得方程組因為不可能為零,所以由定理知化簡得即.由已知條件的結(jié)構(gòu)特征與待解問題之間的關(guān)系建立齊次線性方程組,構(gòu)造三階行列式,其解題思路新穎,能夠巧妙地解決中學(xué)數(shù)學(xué)中的若干棘手問題,凸顯了用高等數(shù)學(xué)理論與方法解決初等數(shù)學(xué)問題的優(yōu)越性.第3章二次型理論在中學(xué)數(shù)學(xué)中的應(yīng)用考慮一個n元二次型：,其中,.定義一個二次型經(jīng)過非線型替換變成的平方和,稱為的標(biāo)準(zhǔn)型.定理1實數(shù)域上任意一個二次型都可以經(jīng)過非退化的線性替換變成平方和〔1的形式.定理2一個實二次型可以分解成兩個實數(shù)系的一次齊次多項式乘積的充要條件是它的秩等于2和符號差為0,或秩等于1.例1試判斷下列多項式在R上能否分解,若能,分解之.解1>令,則,下面考慮的秩和符號差,對作非線性替換:,即有,可見的秩是3,有定理2,知不能分解,從而也不能分解.解2>令,則下面考慮的秩和符號差.對作非線性替換,即有,從而,可見的秩為2,符號差為0,有定理2,知可以分解,且定理2對于n元實二次型為的特征值,則對于任意,有.例3設(shè)是實數(shù),且滿足.則的最大值與最小值是.解令,則的矩陣.令,因此,特征值.由定理得,注意到,解得.又,從而,所以的最大值為9,最小值為1.由此可見,運用高等代數(shù)中二次型定理可以順利解決二次型在條件下的取值范圍,解法流程清晰,易于掌握.第4章矩陣與變換引入中學(xué)數(shù)學(xué)的意義及應(yīng)用新課標(biāo)中學(xué)數(shù)學(xué)的一個重大變化就是把大量原屬高等數(shù)學(xué)的內(nèi)容下放到中學(xué)供學(xué)生選修,以開闊學(xué)生的視野,滿足不同學(xué)生的數(shù)學(xué)需要,促進學(xué)生的數(shù)學(xué)發(fā)展.被下放的有矩陣與變換、數(shù)列與差分、球面幾何、對稱與群等十幾個專題。下面對中學(xué)數(shù)學(xué)引入矩陣知識的意義及作用,進行初步的探討.4.1中學(xué)數(shù)學(xué)引入矩陣的意義中學(xué)數(shù)學(xué)引入矩陣初步知識的意義,本人認(rèn)為,主要有四個方面：首先,為表達數(shù)據(jù)提供新的工具.因此,中學(xué)數(shù)學(xué)引入矩陣知識可為學(xué)生提供一個表達數(shù)據(jù)的新工具,一是學(xué)生更好的學(xué)習(xí)概率、統(tǒng)計、技術(shù)原理等課程,也能使學(xué)生更好地適應(yīng)現(xiàn)實生活中的需要；其次,為研究映射提供了一個新平臺.在中學(xué)數(shù)學(xué)中,映射是最重要的基本概念.在新課程中學(xué)數(shù)學(xué)體系中,直接與映射有關(guān)的內(nèi)容就有函數(shù)、向量、數(shù)列、復(fù)數(shù)、曲線與方程、極坐標(biāo)與參數(shù)方程等十幾個方面映射不僅是中學(xué)數(shù)學(xué)的重要概念,也是學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)的必備基礎(chǔ).但映射的表示方法,中學(xué)數(shù)學(xué)中原來只有解析法、列表法和圖像法,這對于擴充學(xué)生的知識視野,尤其是對學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)的需要,似嫌不足.因此,中學(xué)數(shù)學(xué)引入矩陣可為表達映射提供一種新的方法;第三,給線性方程組的解法開辟一條新的途徑.引入矩陣知識及行列式以后,就可以得到解線性方程組的公式克拉姆法則,這不僅為中學(xué)數(shù)學(xué)解線性方程組找到一條新的途徑,而且有利于與高等數(shù)學(xué)相連接；第四,綜合應(yīng)用,為高等數(shù)學(xué)與其他模塊的學(xué)習(xí)提供幫助.例如網(wǎng)絡(luò)圖、信息與密碼、概率與統(tǒng)計、生態(tài)學(xué)等,都可以用矩陣表達或者求解,引入矩陣知識,可為學(xué)習(xí)這些知識提供有力的工具.4.2中學(xué)數(shù)學(xué)中矩陣與變換中學(xué)數(shù)學(xué)中由矩陣建立的變換就是平面上的坐標(biāo)變換,其中,矩陣起著"對應(yīng)法則"的作用.用二階矩陣確定的變換,就是構(gòu)造映射,使平面上的點變成點,這個映射的對應(yīng)法則就是左乘,在這個變換中,矩陣稱之為變換矩陣,變換矩陣不同,得到的是不同的變換.例1已知在一個二階矩陣對應(yīng)變換作用,點變成了點,點變成了點,求矩陣.解設(shè),則,.所以,解得,所以.4.3線性變換面積定理定理1線性變換將平面上所有圖形的面積放大或縮小同一倍數(shù),這個倍數(shù)就是變換行列式的絕對值.例1在平面直角坐標(biāo)系中,已知平面區(qū)域,則平面區(qū)域的面積為.解依題意,平面區(qū)域A是由,,圍成的三角形,面積S為,平面區(qū)域變成平面區(qū)域所對應(yīng)的變換矩陣為,則變換行列式的絕對值,所以平面區(qū)域的面積為.4.4利用矩陣的秩判斷兩直線位置關(guān)系定理2設(shè)空間兩直線：,設(shè)矩陣的秩為,矩陣的秩為,則1當(dāng)=4時,兩直線異面；2=2時,兩直線重合；3==3時,兩直線相交；4==3時,兩直線平行.例判斷兩直線和的位置關(guān)系.解故==2,所以直線與直線重合.4.5中學(xué)數(shù)學(xué)中矩陣變換的常見類型中學(xué)數(shù)學(xué)中由矩陣確定的變換的常見類型,列表說明如下：表1中學(xué)數(shù)學(xué)中矩陣變換的常見類型變換名稱變換矩陣幾何特征恒等變換圖形變成圖形伸壓變換1、沿軸方向：2、沿軸方向圖形變成圖形,大小和形狀可能變化反射變換關(guān)于軸反射關(guān)于軸反射關(guān)于反射關(guān)于原點反射圖形變成圖形,大小和形狀不變,位置可能改變旋轉(zhuǎn)變換圖形變成圖形,大小和形狀不變,位置可能改變投影變換垂直投到軸：垂直投到軸：圖形變成線或點切變變換1、沿軸方向：2、沿軸方向圖形變成圖形,大小和形狀可能變化第5章用向量法解決初等幾何問題眾所周知,向量是現(xiàn)代數(shù)學(xué)的基本概念之一。在高中數(shù)學(xué)教材中引入向量概念也是數(shù)學(xué)現(xiàn)代化的需要。向量是初等數(shù)學(xué)與高等數(shù)學(xué)的銜接點,這也是向量在數(shù)學(xué)課程改革中受到青睞的魅力所在。向量有利于培養(yǎng)學(xué)生數(shù)形結(jié)合的思想方法,有利于拓寬解題思路,有利于發(fā)展學(xué)生的運算能力,有利于與高等教育銜接等方面。例1證明三角形的余弦定理.證明在中,設(shè),,且,,,那么即從而所以即.例2求證：連結(jié)三角形兩邊中點的線段平行于第三邊且等于第三邊的一半.證明分別為三角形的兩邊與的中點,那么,所以∥,且.例3如圖,三菱錐,⊥底面,,,點分別是的中點,求二面角的余弦值.解以BP所在直線為z軸,BC所在直線為y軸,建立空間直角坐標(biāo)系,則.因為PB⊥平面ABC,所以PB⊥AC,又AC⊥CB,所以AC⊥平面PBC,所以AC⊥PC,所以EF⊥PC.又BE⊥PC,所以PC⊥平面BEF.而,所以平面BEF的一個法向量.設(shè)平面ABE的法向量,則,則x:y:z=1:<-1>:1.取x=1,則平面ABE的一個法向量,所以.所以二面角A-BE-F的平面角的余弦值為.結(jié)論線性代數(shù)是數(shù)學(xué)的一個組成部分,是學(xué)習(xí)其它學(xué)科的重要工具,可以說任何與數(shù)學(xué)有關(guān)的課程都涉及線性代數(shù)知識．而近年來先線性代數(shù)以被廣泛的應(yīng)用到了中學(xué)數(shù)學(xué)中．學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動不應(yīng)只限于接受、記憶、模仿和練習(xí),高中數(shù)學(xué)課程還應(yīng)倡導(dǎo)自主探索、動手實踐、合作交流、閱讀自習(xí)等學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的方式．這些方式有助于發(fā)揮學(xué)生學(xué)習(xí)的主動性,使學(xué)生的學(xué)習(xí)過程稱為在教師引導(dǎo)下的"再創(chuàng)造"過程,高中數(shù)學(xué)課程應(yīng)力求通過各種不同形式的自主學(xué)習(xí)、探索活動、讓學(xué)生體驗數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)和創(chuàng)造的歷程,發(fā)展他們的創(chuàng)新意識．而高等數(shù)學(xué)進入初等數(shù)學(xué)正為學(xué)生實現(xiàn)這種創(chuàng)新意識提供了很好的教學(xué)材料．參考文獻[1]黎伯堂、劉桂真高等代數(shù)解題技巧與方法、XX、XX