2022年全國乙卷理科高考數(shù)學壓軸題答案詳解及解題技巧(含模擬專練)

年全國統(tǒng)一高考數(shù)學試卷（理科）（乙卷）壓軸真題解讀11．雙曲線C的兩個焦點為，以C的實軸為直徑的圓記為D，過作D的切線與C的兩支交于M，N兩點，且，則C的離心率為（

）A． B． C． D．【命題意圖】本題主要考查雙曲線的性質，圓的性質，考查轉化思想與數(shù)形結合思想，考查運算求解能力【答案】C【解析】依題意不妨設雙曲線焦點在軸，設過作圓的切線切點為，所以，因為，所以在雙曲線的右支，所以，，，設，，由，即，則，，，在中，，由正弦定理得，所以，又，所以，即，所以雙曲線的離心率故選：C【方法歸納】求雙曲線離心率或其取值范圍的方法(1)求a，b，c的值，由eq\f(c2,a2)＝eq\f(a2＋b2,a2)＝1＋eq\f(b2,a2)直接求e.(2)列出含有a，b，c的齊次方程(或不等式)，借助于b2＝c2－a2消去b，然后轉化成關于e的方程(或不等式)求解.12．已知函數(shù)的定義域均為R，且．若的圖像關于直線對稱，，則（

）A． B． C． D．【命題意圖】本題主要考查了函數(shù)的奇偶性、對稱性和周期性【答案】D【解析】因為的圖像關于直線對稱，所以，因為，所以，即，因為，所以，代入得，即，所以，.因為，所以，即，所以.因為，所以，又因為，聯(lián)立得，，所以的圖像關于點中心對稱，因為函數(shù)的定義域為R，所以因為，所以.所以.故選：D【易錯提醒】函數(shù)f(x)滿足的關系f(a＋x)＝f(b－x)表明的是函數(shù)圖象的對稱性，函數(shù)f(x)滿足的關系f(a＋x)＝f(b＋x)(a≠b)表明的是函數(shù)的周期性，在使用這兩個關系時不要混淆.16．已知和分別是函數(shù)（且）的極小值點和極大值點．若，則a的取值范圍是____________．【命題意圖】本題主要考查利用導函數(shù)研究函數(shù)極值點存在大小關系時，導函數(shù)圖像的問題【答案】【解析】，因為分別是函數(shù)的極小值點和極大值點，所以函數(shù)在和上遞減，在上遞增，所以當時，，當時，，若時，當時，，則此時，與前面矛盾，故不符合題意，若時，則方程的兩個根為，即方程的兩個根為，即函數(shù)與函數(shù)的圖象有兩個不同的交點，∵,∴函數(shù)的圖象是單調遞減的指數(shù)函數(shù)，又∵,∴的圖象由指數(shù)函數(shù)向下關于軸作對稱變換，然后將圖象上的每個點的橫坐標保持不變，縱坐標伸長或縮短為原來的倍得到，如圖所示：設過原點且與函數(shù)的圖象相切的直線的切點為，則切線的斜率為，故切線方程為，則有，解得，則切線的斜率為，因為函數(shù)與函數(shù)的圖象有兩個不同的交點，所以，解得，又，所以，綜上所述，的范圍為.【規(guī)律總結】1.已知函數(shù)極值，確定函數(shù)解析式中的參數(shù)時，要注意：根據極值點的導數(shù)為0和極值這兩個條件列方程組，利用待定系數(shù)法求解.2.導數(shù)值為0不是此點為極值點的充要條件，所以用待定系數(shù)法求解后必須檢驗.20．已知橢圓E的中心為坐標原點，對稱軸為x軸、y軸，且過兩點．(1)求E的方程；(2)設過點的直線交E于M，N兩點，過M且平行于x軸的直線與線段AB交于點T，點H滿足．證明：直線HN過定點．【命題意圖】本題考查了直線與橢圓的綜合應用【解析】(1)設橢圓E的方程為，過，則，解得，，所以橢圓E的方程為：.(2)，所以，①若過點的直線斜率不存在，直線.代入，可得，，代入AB方程，可得，由得到.求得HN方程：，過點.②若過點的直線斜率存在，設.聯(lián)立得，可得，，且聯(lián)立可得可求得此時，將，代入整理得，將代入，得顯然成立，綜上，可得直線HN過定點21．已知函數(shù)(1)當時，求曲線在點處的切線方程；(2)若在區(qū)間各恰有一個零點，求a的取值范圍．【命題意圖】本題考查導數(shù)的幾何意義，考查利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性，零點問題，考查分類討論思想及運算求解能力【解析】(1)的定義域為當時,,所以切點為,所以切線斜率為2所以曲線在點處的切線方程為(2)設若,當,即所以在上單調遞增,故在上沒有零點,不合題意若,當,則所以在上單調遞增所以,即所以在上單調遞增,故在上沒有零點,不合題意若(1)當,則,所以在上單調遞增所以存在,使得,即當單調遞減當單調遞增所以當當所以在上有唯一零點又沒有零點,即在上有唯一零點(2)當設所以在單調遞增所以存在,使得當單調遞減當單調遞增,又所以存在,使得,即當單調遞增,當單調遞減有而,所以當所以在上有唯一零點,上無零點即在上有唯一零點所以,符合題意所以若在區(qū)間各恰有一個零點,求的取值范圍為【解后反思】(1)涉及函數(shù)的零點(方程的根)問題，主要利用導數(shù)確定函數(shù)的單調區(qū)間和極值點，根據函數(shù)零點的個數(shù)尋找函數(shù)在給定區(qū)間的極值以及區(qū)間端點的函數(shù)值與0的關系，從而求得參數(shù)的取值范圍．(2)解決此類問題的關鍵是將函數(shù)零點、方程的根、曲線交點相互轉化，突出導數(shù)的工具作用，體現(xiàn)轉化與化歸的思想方法．壓軸模擬專練1．（2022山東滕州一中高三模擬）已知雙曲線()的左?右焦點分別為為雙曲線上的一點，為的內心，且，則的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】如下圖示，延長到且，延長到且，所以，即，故是△的重心，即，又，所以，而是的內心，則，由，則，故，即.故選：D2．（2022天津南開中學高三模擬）已知雙曲線與橢圓．過橢圓上一點作橢圓的切線l，l與x軸交于M點，l與雙曲線C的兩條漸近線分別交于N、Q，且N為MQ的中點，則雙曲線C的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】由題意得：漸近線方程為，設切線方程為，聯(lián)立得：，由得：，解得：，所以切線方程為，令得：，所以，聯(lián)立與，解得：，聯(lián)立與，解得：，因為N為MQ的中點，所以，解得：，所以離心率為故選：A3．（2022成都七中高三模擬）若函數(shù)滿足，且當時，，則（

）A． B．10 C．4 D．2【答案】B【解析】由，得，∴函數(shù)是周期函數(shù)，且4是它的一個周期，又當時，，∴；故選：B.4．（2022安徽六中高三模擬）已知直線與函數(shù)圖象交于不同三點M，N，P，且，則實數(shù)k的值為（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】因為函數(shù)為奇函數(shù)，且在上為增函數(shù)，所以函數(shù)關于點對稱，且在上為增函數(shù)，設點P的坐標為，且M，N關于P對稱，設，，解得或4，不妨設，所以，所以實數(shù)k的值為．故選：D．5．（2022山師大附中高三模擬）設是函數(shù)的兩個極值點，若，則實數(shù)a的取值范圍是______．【答案】【解析】,因為是函數(shù)的兩個極值點，且，所以是方一元二次方程的兩個實根，且，所以，即，解得.故答案為：6．（2022山東濰坊一中高三模擬）已知三次函數(shù)的兩個極值點，均為正數(shù)，，且不等式對于所有的都恒成立，則實數(shù)的取值范圍是______.【答案】【解析】令，由題可知，，令，，，當時，，單調遞增，當時，，單調遞減，∴，∴，故答案為：.7．（2022湖南長沙長郡中學高三模擬）生活中，橢圓有很多光學性質，如從橢圓的一個焦點出發(fā)的光線射到橢圓鏡面后反射，反射光線經過另一個焦點.現(xiàn)橢圓C的焦點在y軸上，中心在坐標原點，從下焦點射出的光線經過橢圓鏡面反射到上焦點，這束光線的總長度為4，且反射點與焦點構成的三角形面積最大值為，已知橢圓的離心率e.(1)求橢圓C的標準方程；(2)若從橢圓C中心O出發(fā)的兩束光線OM、ON，分別穿過橢圓上的A、B點后射到直線上的M、N兩點，若AB連線過橢圓的上焦點，試問，直線BM與直線AN能交于一定點嗎？若能，求出此定點：若不能，請說明理由.【解析】(1)由已知可設橢圓方程為，則，，又所以，故橢圓C的標準方程為(2)設AB方程為，由，得，設，則..由對稱性知，若定點存在，則直線BM與直線AN交于y軸上的定點，由.是，則直線BM方程為，令，則又，則，所以，直線BM過定點（0，），同理直線AN也過定點.則點（0，）即為所求點.8．（2022江蘇金陵中學高三模擬）已知拋物線上的點到其焦點的距離為.(1)求拋物線的方程；(2)點在拋物線上，直線與拋物線交于、兩點，點與點關于軸對稱，直線分別與直線、交于點、（為坐標原點），且.求證：直線過定點.【解析】(1)由點在拋物線上可得，，解得.由拋物線的定義可得，整理得，解得或（舍去）.故拋物線的方程為.(2)由在拋物線上可得，解得，所以，則直線的方程為.易知且、均不為，易知，因為，，，所以，直線的斜率存在且大于，設直線的方程為，聯(lián)立得化為，則，且，，由直線的方程為，得.易知直線的方程為，故.由，則為的中點，所以，，即，即，所以，，化為，則得，所以直線的方程為，故直線過定點.9．（2022東北育才中學高三模擬）已知(1)若，討論函數(shù)的單調性；(2)有兩個不同的零點，，若恒成立，求的范圍．【解析】(1)定義域為?。┘磿r，，或ⅱ）即時，，恒成立ⅲ）即，，或綜上：時，，單調遞減；、，單調遞增時，，單調遞增時，，單調遞減；、，單調遞增(2)，由題，則，設∴∴恒成立，∴∴恒成立設，∴恒成立ⅰ）時，，∴，∴在上單調遞增∴恒成立，∴合題ⅱ），，∴，∴在上單調遞增時，，∴在上單調遞減∴，，不滿足恒成立綜上：10．（2022大連二十四中學高三模擬）已知函數(shù)．(1)當時，求函數(shù)的單調區(qū)間；(2)若在上單調遞增，求a的取值范圍；(3)當時，確定函數(shù)零點的個數(shù).【解析】(1)當時，，，令有，故當和時，，單