2022年全國(guó)乙卷理科高考數(shù)學(xué)壓軸題答案詳解及解題技巧(含模擬專(zhuān)練)

年全國(guó)統(tǒng)一高考數(shù)學(xué)試卷（理科）（乙卷）壓軸真題解讀11．雙曲線C的兩個(gè)焦點(diǎn)為，以C的實(shí)軸為直徑的圓記為D，過(guò)作D的切線與C的兩支交于M，N兩點(diǎn)，且，則C的離心率為（

）A． B． C． D．【命題意圖】本題主要考查雙曲線的性質(zhì)，圓的性質(zhì)，考查轉(zhuǎn)化思想與數(shù)形結(jié)合思想，考查運(yùn)算求解能力【答案】C【解析】依題意不妨設(shè)雙曲線焦點(diǎn)在軸，設(shè)過(guò)作圓的切線切點(diǎn)為，所以，因?yàn)?，所以在雙曲線的右支，所以，，，設(shè)，，由，即，則，，，在中，，由正弦定理得，所以，又，所以，即，所以雙曲線的離心率故選：C【方法歸納】求雙曲線離心率或其取值范圍的方法(1)求a，b，c的值，由eq\f(c2,a2)＝eq\f(a2＋b2,a2)＝1＋eq\f(b2,a2)直接求e.(2)列出含有a，b，c的齊次方程(或不等式)，借助于b2＝c2－a2消去b，然后轉(zhuǎn)化成關(guān)于e的方程(或不等式)求解.12．已知函數(shù)的定義域均為R，且．若的圖像關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)，，則（

）A． B． C． D．【命題意圖】本題主要考查了函數(shù)的奇偶性、對(duì)稱(chēng)性和周期性【答案】D【解析】因?yàn)榈膱D像關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)，所以，因?yàn)?，所以，即，因?yàn)?，所以，代入得，即，所以?因?yàn)椋?，即，所?因?yàn)?，所以，又因?yàn)?，?lián)立得，，所以的圖像關(guān)于點(diǎn)中心對(duì)稱(chēng)，因?yàn)楹瘮?shù)的定義域?yàn)镽，所以因?yàn)?，所?所以.故選：D【易錯(cuò)提醒】函數(shù)f(x)滿足的關(guān)系f(a＋x)＝f(b－x)表明的是函數(shù)圖象的對(duì)稱(chēng)性，函數(shù)f(x)滿足的關(guān)系f(a＋x)＝f(b＋x)(a≠b)表明的是函數(shù)的周期性，在使用這兩個(gè)關(guān)系時(shí)不要混淆.16．已知和分別是函數(shù)（且）的極小值點(diǎn)和極大值點(diǎn)．若，則a的取值范圍是____________．【命題意圖】本題主要考查利用導(dǎo)函數(shù)研究函數(shù)極值點(diǎn)存在大小關(guān)系時(shí)，導(dǎo)函數(shù)圖像的問(wèn)題【答案】【解析】，因?yàn)榉謩e是函數(shù)的極小值點(diǎn)和極大值點(diǎn)，所以函數(shù)在和上遞減，在上遞增，所以當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，若時(shí)，當(dāng)時(shí)，，則此時(shí)，與前面矛盾，故不符合題意，若時(shí)，則方程的兩個(gè)根為，即方程的兩個(gè)根為，即函數(shù)與函數(shù)的圖象有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，∵,∴函數(shù)的圖象是單調(diào)遞減的指數(shù)函數(shù)，又∵,∴的圖象由指數(shù)函數(shù)向下關(guān)于軸作對(duì)稱(chēng)變換，然后將圖象上的每個(gè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)保持不變，縱坐標(biāo)伸長(zhǎng)或縮短為原來(lái)的倍得到，如圖所示：設(shè)過(guò)原點(diǎn)且與函數(shù)的圖象相切的直線的切點(diǎn)為，則切線的斜率為，故切線方程為，則有，解得，則切線的斜率為，因?yàn)楹瘮?shù)與函數(shù)的圖象有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，所以，解得，又，所以，綜上所述，的范圍為.【規(guī)律總結(jié)】1.已知函數(shù)極值，確定函數(shù)解析式中的參數(shù)時(shí)，要注意：根據(jù)極值點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)為0和極值這兩個(gè)條件列方程組，利用待定系數(shù)法求解.2.導(dǎo)數(shù)值為0不是此點(diǎn)為極值點(diǎn)的充要條件，所以用待定系數(shù)法求解后必須檢驗(yàn).20．已知橢圓E的中心為坐標(biāo)原點(diǎn)，對(duì)稱(chēng)軸為x軸、y軸，且過(guò)兩點(diǎn)．(1)求E的方程；(2)設(shè)過(guò)點(diǎn)的直線交E于M，N兩點(diǎn)，過(guò)M且平行于x軸的直線與線段AB交于點(diǎn)T，點(diǎn)H滿足．證明：直線HN過(guò)定點(diǎn)．【命題意圖】本題考查了直線與橢圓的綜合應(yīng)用【解析】(1)設(shè)橢圓E的方程為，過(guò)，則，解得，，所以橢圓E的方程為：.(2)，所以，①若過(guò)點(diǎn)的直線斜率不存在，直線.代入，可得，，代入AB方程，可得，由得到.求得HN方程：，過(guò)點(diǎn).②若過(guò)點(diǎn)的直線斜率存在，設(shè).聯(lián)立得，可得，，且聯(lián)立可得可求得此時(shí)，將，代入整理得，將代入，得顯然成立，綜上，可得直線HN過(guò)定點(diǎn)21．已知函數(shù)(1)當(dāng)時(shí)，求曲線在點(diǎn)處的切線方程；(2)若在區(qū)間各恰有一個(gè)零點(diǎn)，求a的取值范圍．【命題意圖】本題考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，零點(diǎn)問(wèn)題，考查分類(lèi)討論思想及運(yùn)算求解能力【解析】(1)的定義域?yàn)楫?dāng)時(shí),,所以切點(diǎn)為,所以切線斜率為2所以曲線在點(diǎn)處的切線方程為(2)設(shè)若,當(dāng),即所以在上單調(diào)遞增,故在上沒(méi)有零點(diǎn),不合題意若,當(dāng),則所以在上單調(diào)遞增所以,即所以在上單調(diào)遞增,故在上沒(méi)有零點(diǎn),不合題意若(1)當(dāng),則,所以在上單調(diào)遞增所以存在,使得,即當(dāng)單調(diào)遞減當(dāng)單調(diào)遞增所以當(dāng)當(dāng)所以在上有唯一零點(diǎn)又沒(méi)有零點(diǎn),即在上有唯一零點(diǎn)(2)當(dāng)設(shè)所以在單調(diào)遞增所以存在,使得當(dāng)單調(diào)遞減當(dāng)單調(diào)遞增,又所以存在,使得,即當(dāng)單調(diào)遞增,當(dāng)單調(diào)遞減有而,所以當(dāng)所以在上有唯一零點(diǎn),上無(wú)零點(diǎn)即在上有唯一零點(diǎn)所以,符合題意所以若在區(qū)間各恰有一個(gè)零點(diǎn),求的取值范圍為【解后反思】(1)涉及函數(shù)的零點(diǎn)(方程的根)問(wèn)題，主要利用導(dǎo)數(shù)確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和極值點(diǎn)，根據(jù)函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)尋找函數(shù)在給定區(qū)間的極值以及區(qū)間端點(diǎn)的函數(shù)值與0的關(guān)系，從而求得參數(shù)的取值范圍．(2)解決此類(lèi)問(wèn)題的關(guān)鍵是將函數(shù)零點(diǎn)、方程的根、曲線交點(diǎn)相互轉(zhuǎn)化，突出導(dǎo)數(shù)的工具作用，體現(xiàn)轉(zhuǎn)化與化歸的思想方法．壓軸模擬專(zhuān)練1．（2022山東滕州一中高三模擬）已知雙曲線()的左?右焦點(diǎn)分別為為雙曲線上的一點(diǎn)，為的內(nèi)心，且，則的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】如下圖示，延長(zhǎng)到且，延長(zhǎng)到且，所以，即，故是△的重心，即，又，所以，而是的內(nèi)心，則，由，則，故，即.故選：D2．（2022天津南開(kāi)中學(xué)高三模擬）已知雙曲線與橢圓．過(guò)橢圓上一點(diǎn)作橢圓的切線l，l與x軸交于M點(diǎn)，l與雙曲線C的兩條漸近線分別交于N、Q，且N為MQ的中點(diǎn)，則雙曲線C的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】由題意得：漸近線方程為，設(shè)切線方程為，聯(lián)立得：，由得：，解得：，所以切線方程為，令得：，所以，聯(lián)立與，解得：，聯(lián)立與，解得：，因?yàn)镹為MQ的中點(diǎn)，所以，解得：，所以離心率為故選：A3．（2022成都七中高三模擬）若函數(shù)滿足，且當(dāng)時(shí)，，則（

）A． B．10 C．4 D．2【答案】B【解析】由，得，∴函數(shù)是周期函數(shù)，且4是它的一個(gè)周期，又當(dāng)時(shí)，，∴；故選：B.4．（2022安徽六中高三模擬）已知直線與函數(shù)圖象交于不同三點(diǎn)M，N，P，且，則實(shí)數(shù)k的值為（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】因?yàn)楹瘮?shù)為奇函數(shù)，且在上為增函數(shù)，所以函數(shù)關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，且在上為增函數(shù)，設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為，且M，N關(guān)于P對(duì)稱(chēng)，設(shè)，，解得或4，不妨設(shè)，所以，所以實(shí)數(shù)k的值為．故選：D．5．（2022山師大附中高三模擬）設(shè)是函數(shù)的兩個(gè)極值點(diǎn)，若，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是______．【答案】【解析】,因?yàn)槭呛瘮?shù)的兩個(gè)極值點(diǎn)，且，所以是方一元二次方程的兩個(gè)實(shí)根，且，所以，即，解得.故答案為：6．（2022山東濰坊一中高三模擬）已知三次函數(shù)的兩個(gè)極值點(diǎn)，均為正數(shù)，，且不等式對(duì)于所有的都恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是______.【答案】【解析】令，由題可知，，令，，，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，∴，∴，故答案為：.7．（2022湖南長(zhǎng)沙長(zhǎng)郡中學(xué)高三模擬）生活中，橢圓有很多光學(xué)性質(zhì)，如從橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)出發(fā)的光線射到橢圓鏡面后反射，反射光線經(jīng)過(guò)另一個(gè)焦點(diǎn).現(xiàn)橢圓C的焦點(diǎn)在y軸上，中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，從下焦點(diǎn)射出的光線經(jīng)過(guò)橢圓鏡面反射到上焦點(diǎn)，這束光線的總長(zhǎng)度為4，且反射點(diǎn)與焦點(diǎn)構(gòu)成的三角形面積最大值為，已知橢圓的離心率e.(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)若從橢圓C中心O出發(fā)的兩束光線OM、ON，分別穿過(guò)橢圓上的A、B點(diǎn)后射到直線上的M、N兩點(diǎn)，若AB連線過(guò)橢圓的上焦點(diǎn)，試問(wèn)，直線BM與直線AN能交于一定點(diǎn)嗎？若能，求出此定點(diǎn)：若不能，請(qǐng)說(shuō)明理由.【解析】(1)由已知可設(shè)橢圓方程為，則，，又所以，故橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為(2)設(shè)AB方程為，由，得，設(shè)，則..由對(duì)稱(chēng)性知，若定點(diǎn)存在，則直線BM與直線AN交于y軸上的定點(diǎn)，由.是，則直線BM方程為，令，則又，則，所以，直線BM過(guò)定點(diǎn)（0，），同理直線AN也過(guò)定點(diǎn).則點(diǎn)（0，）即為所求點(diǎn).8．（2022江蘇金陵中學(xué)高三模擬）已知拋物線上的點(diǎn)到其焦點(diǎn)的距離為.(1)求拋物線的方程；(2)點(diǎn)在拋物線上，直線與拋物線交于、兩點(diǎn)，點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)，直線分別與直線、交于點(diǎn)、（為坐標(biāo)原點(diǎn)），且.求證：直線過(guò)定點(diǎn).【解析】(1)由點(diǎn)在拋物線上可得，，解得.由拋物線的定義可得，整理得，解得或（舍去）.故拋物線的方程為.(2)由在拋物線上可得，解得，所以，則直線的方程為.易知且、均不為，易知，因?yàn)?，，，所以，直線的斜率存在且大于，設(shè)直線的方程為，聯(lián)立得化為，則，且，，由直線的方程為，得.易知直線的方程為，故.由，則為的中點(diǎn)，所以，，即，即，所以，，化為，則得，所以直線的方程為，故直線過(guò)定點(diǎn).9．（2022東北育才中學(xué)高三模擬）已知(1)若，討論函數(shù)的單調(diào)性；(2)有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，，若恒成立，求的范圍．【解析】(1)定義域?yàn)棰。┘磿r(shí)，，或ⅱ）即時(shí)，，恒成立ⅲ）即，，或綜上：時(shí)，，單調(diào)遞減；、，單調(diào)遞增時(shí)，，單調(diào)遞增時(shí)，，單調(diào)遞減；、，單調(diào)遞增(2)，由題，則，設(shè)∴∴恒成立，∴∴恒成立設(shè)，∴恒成立?。r(shí)，，∴，∴在上單調(diào)遞增∴恒成立，∴合題ⅱ），，∴，∴在上單調(diào)遞增時(shí)，，∴在上單調(diào)遞減∴，，不滿足恒成立綜上：10．（2022大連二十四中學(xué)高三模擬）已知函數(shù)．(1)當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；(2)若在上單調(diào)遞增，求a的取值范圍；(3)當(dāng)時(shí)，確定函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù).【解析】(1)當(dāng)時(shí)，，，令有，故當(dāng)和時(shí)，，單