河南省九師聯(lián)盟2023屆高三1月質(zhì)量檢測文科數(shù)學(xué)試題(精品解析)

河南省九師聯(lián)盟2023～2023學(xué)年高三1月質(zhì)量檢測數(shù)學(xué)（文科）一、選擇題1.已知集合A＝{3，2，1，0，－1}，B＝{x|≤1}，則A∩B＝()A.{2，1}B.{2，1，0}C.{3，2，1}D.{1，0}【答案】A【解析】【分析】根據(jù)集合的交集運(yùn)算求解即可.【詳解】B＝{x|≤1}，集合A＝{3，2，1，0，－1}，A∩B＝{2，1}.故答案為：A.【點(diǎn)睛】這個(gè)題目考查了集合的交集的運(yùn)算，題目簡單.2.已知i是虛數(shù)單位，若復(fù)數(shù)（a，b∈R），則ab＝()A.－1B.0C.1D.2【答案】A【解析】【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)相等的概念得到參數(shù)值，進(jìn)而求解.【詳解】已知i是虛數(shù)單位，若復(fù)數(shù)，根據(jù)復(fù)數(shù)相等得到故ab=-1.故答案為：A.【點(diǎn)睛】這個(gè)題目考查了復(fù)數(shù)相等的概念，只需要實(shí)部和虛部分別相等即可.3.“x＞5”是“＞1”的()A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.既不充分也不必要條件D.充要條件【答案】D【解析】【分析】解出不等式的解集，得到不等式的充要條件，進(jìn)而判斷結(jié)果.【詳解】,故得到“x＞5”是“＞1”的充要條件.故答案為：D.【點(diǎn)睛】這個(gè)題目考查了充分必要條件的判斷，題目基礎(chǔ).判斷充要條件的方法是：①若p?q為真命題且q?p為假命題，則命題p是命題q的充分不必要條件；②若p?q為假命題且q?p為真命題，則命題p是命題q的必要不充分條件；③若p?q為真命題且q?p為真命題，則命題p是命題q的充要條件；④若p?q為假命題且q?p為假命題，則命題p是命題q的即不充分也不必要條件．⑤判斷命題p與命題q所表示的范圍，再根據(jù)“誰大誰必要，誰小誰充分”的原則，判斷命題p與命題q的關(guān)系．4.以A（－2，1），B（1，5）為半徑兩端點(diǎn)的圓的方程是()A.（x＋2）2＋（y－1）2＝25B.（x－1）2＋（y－5）2＝25C.（x＋2）2＋（y－1）2＝25或（x－1）2＋（y－5）2＝25D.（x＋2）2＋（y－1）2＝5或（x－1）2＋（y－5）2＝5【答案】C【解析】【分析】根據(jù)題干條件得到圓心，由兩點(diǎn)間距離公式得到半徑，進(jìn)而得到結(jié)果.【詳解】根據(jù)條件知，圓心為A（－2，1）或B（1，5），半徑為兩點(diǎn)AB間的距離，根據(jù)兩點(diǎn)間距離公式得到.根據(jù)圓心和半徑依次判斷選項(xiàng)得到方程為：（x＋2）2＋（y－1）2＝25或（x－1）2＋（y－5）2＝25.故答案為：C.【點(diǎn)睛】這個(gè)題目考查了圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的求法，一般已知圓的半徑和圓心，則考慮用圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，已知圓上3個(gè)點(diǎn)，則考慮用圓的一般方程.5.某單位為了制定節(jié)能減排的目標(biāo)，調(diào)查了日用電量y（單位：千瓦時(shí)）與當(dāng)天平均氣溫x（單位：℃），從中隨機(jī)選取了4天的日用電量與當(dāng)天平均氣溫，并制作了對照表：x171510－2y2434a64由表中數(shù)據(jù)的線性回歸方程為，則a的值為()A.42B.40C.38D.36【答案】C【解析】【分析】由公式計(jì)算得到樣本中心的坐標(biāo)，代入方程可得到參數(shù)值.【詳解】回歸直線過樣本中心，樣本中心坐標(biāo)為,,代入方程得到+60，解得a=38.故答案為：C.【點(diǎn)睛】這個(gè)題目考查了回歸直線方程的應(yīng)用，考查線性回歸直線過樣本中心點(diǎn)，在一組具有相關(guān)關(guān)系的變量的數(shù)據(jù)間，這樣的直線可以畫出許多條，而其中的一條能最好地反映x與y之間的關(guān)系，這條直線過樣本中心點(diǎn)．6.在△ABC中，，b＝2，其面積為，則等于()A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】先由面積公式得到c=4,再由余弦定理得到a邊長度，最終由正弦定理得到結(jié)果.【詳解】△ABC中，，b＝2，其面積為由余弦定理得到，代入數(shù)據(jù)得到故答案為：B.【點(diǎn)睛】這個(gè)題目考查了正余弦定理解三角形的應(yīng)用，在解與三角形有關(guān)的問題時(shí)，正弦定理、余弦定理是兩個(gè)主要依據(jù).解三角形時(shí)，有時(shí)可用正弦定理，有時(shí)也可用余弦定理，應(yīng)注意用哪一個(gè)定理更方便、簡捷一般來說,當(dāng)條件中同時(shí)出現(xiàn)及、時(shí)，往往用余弦定理，而題設(shè)中如果邊和正弦、余弦函數(shù)交叉出現(xiàn)時(shí)，往往運(yùn)用正弦定理將邊化為正弦函數(shù)再結(jié)合和、差、倍角的正余弦公式進(jìn)行解答.7.若拋物線的準(zhǔn)線經(jīng)過雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)，則實(shí)數(shù)m的值是()A.1B.2C.3D.4【答案】A【解析】【分析】根據(jù)題干得到雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)為，再由雙曲線中a,b,c的隱含關(guān)系得到參數(shù)值.【詳解】拋物線的準(zhǔn)線為，雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)為根據(jù)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程得到故答案為：A.【點(diǎn)睛】這個(gè)題目考查了拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程的應(yīng)用，以及雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程的求法，題目基礎(chǔ).8.已知三棱錐的四個(gè)頂點(diǎn)均在同一個(gè)球面上，底面滿足，，若該三棱錐體積的最大值為3，則其外接球的體積為（）A.B.C.D.【答案】D【解析】因?yàn)椋酝饨訄A的半徑是，設(shè)外接球的半徑是，球心到該底面的距離，如圖，則，由題設(shè)最大體積對應(yīng)的高為，故，即，解之得，所以外接球的體積是，應(yīng)選答案D。9.下面框圖的功能是求滿足1×3×5×…×n＞111111的最小正整數(shù)n，則空白處應(yīng)填入的是()A.輸出i＋2B.輸出iC.輸出i－1D.輸出i－2【答案】D【解析】【分析】根據(jù)框圖，寫出每一次循環(huán)的結(jié)果，進(jìn)而做出判斷.【詳解】根據(jù)程序框圖得到循環(huán)是：M=……之后進(jìn)入判斷，不符合題意時(shí)，輸出，輸出的是i-2.故答案為：D.【點(diǎn)睛】這個(gè)題目考查了循環(huán)結(jié)構(gòu)的程序框圖，這種題目一般是依次寫出每一次循環(huán)的結(jié)果，直到不滿足或者滿足判斷框的條件為止.10.設(shè)a＞1，若僅有一個(gè)常數(shù)c使得對于任意的x∈[a，a3]，都有y∈[1＋loga2－a3，2－a]滿足方程axay＝c，則a的取值集合為()A.{4}B.{，2}C.{2}D.{}【答案】C【解析】【分析】首先將函數(shù)變形為是減函數(shù)，x∈[a，a3]時(shí)，問題轉(zhuǎn)化為再由c的唯一性得到c值，進(jìn)而得到參數(shù)a的值.【詳解】方程axay＝c,變形為是減函數(shù)，當(dāng)x∈[a，a3]時(shí)，因?yàn)閷τ谌我獾膞∈[a，a3]，都有y∈[1＋loga2－a3，2－a]滿足axay＝c，故得到因?yàn)閏的唯一性故得到進(jìn)而得到a=2.故答案為：C.【點(diǎn)睛】這個(gè)題目考查了指對運(yùn)算，考查了函數(shù)的值域的求法，以及方程的思想，綜合性比較強(qiáng).11.已知正方形ABCD內(nèi)接于⊙O，在正方形ABCD中，點(diǎn)E是AB邊的中點(diǎn)，AC與DE交于點(diǎn)F，若區(qū)域M表示⊙O及其內(nèi)部，區(qū)域N表示△AFE及△CDF的內(nèi)部，如圖所示的陰影部分，若向區(qū)域M中隨機(jī)投一點(diǎn)，則所投的點(diǎn)落入?yún)^(qū)域N中的概率是()A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】設(shè)出正方形的邊長，表示出圓的面積，進(jìn)而得到陰影部分的面積，根據(jù)幾何概型的概率公式求解即可.【詳解】設(shè)正方形的邊長為2，則圓的半徑為根據(jù)△AFE及△CDF的相似性得到△AFE的高為△CDF高為，面積之和為所投的點(diǎn)落入?yún)^(qū)域N中的概率是：.故答案為：B.【點(diǎn)睛】本題考查了幾何概型概率的求法；在利用幾何概型的概率公式來求其概率時(shí)，幾何“測度”可以是長度、面積、體積、角度等，其中對于幾何度量為長度，面積、體積時(shí)的等可能性主要體現(xiàn)在點(diǎn)落在區(qū)域Ω上任意位置都是等可能的，而對于角度而言，則是過角的頂點(diǎn)的一條射線落在Ω的區(qū)域（事實(shí)也是角）任意位置是等可能的．12.設(shè)函數(shù)f（x）是定義在區(qū)間（1，＋∞）上的函數(shù)，f'（x）是函數(shù)f（x）的導(dǎo)函數(shù)，且xf'（x）lnx＞f（x）（x＞1），f（e2）＝2，則不等式f（ex）＜x的解集是()A.（－∞，2）B.（2，＋∞）C.（1，2）D.（0，2）【答案】D【解析】【分析】構(gòu)造函數(shù)，對函數(shù)求導(dǎo)，得到函數(shù)的單調(diào)性，進(jìn)而得到解集.【詳解】構(gòu)造函數(shù)，定義在區(qū)間（，＋∞）上,對函數(shù)求導(dǎo)得到：xf'（x）lnx＞f（x）（），即xf'（x）lnx-f（x）>0,故得到，函數(shù)單調(diào)遞增，不等f（ex）＜x即，，根據(jù)函數(shù)的定義域以及函數(shù)單調(diào)性得到.故答案為：D.【點(diǎn)睛】這個(gè)題目考查了導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)的單調(diào)性中的應(yīng)用，對于解不等式的問題，比較簡單的題目，可以直接解不等式；直接解比較困難的問題，可以研究函數(shù)的單調(diào)性，奇偶性等，直接比較自變量的大小即可.二、填空題13.向量＝（1，1）在＝（2，3）上的投影為________．【答案】【解析】【分析】根據(jù)投影的定義得到向量＝（1，1）在＝（2，3）上的投影為計(jì)算得到結(jié)果即可.【詳解】設(shè)兩個(gè)向量的夾角為，向量＝（1，1）在＝（2，3）上的投影為根據(jù)向量的點(diǎn)積的坐標(biāo)公式得到，代入得到結(jié)果為.故答案為：.【點(diǎn)睛】這個(gè)題目考查了向量的點(diǎn)積公式的應(yīng)用，以及模長的計(jì)算，投影的定義，題目基礎(chǔ).14.為了解世界各國的早餐飲食習(xí)慣，現(xiàn)從由中國人、美國人、英國人組成的總體中用分層抽樣的方法抽取一個(gè)容量為m的樣本進(jìn)行分析．若總體中的中國人有400人、美國人有300人、英國人有300人，且所抽取的樣本中，中國人比美國人多10人，則樣本容量m＝________．【答案】100【解析】【分析】根據(jù)分層抽樣的定義，根據(jù)條件建立比例關(guān)系即可得到結(jié)論．【詳解】根據(jù)分層抽樣的概念得到三國的人抽得的比例為4：3：3，設(shè)中國人抽取x人，則美國人抽取x-10,英國人抽取x-10人，根據(jù)比例得到.美國人：30人，英國人30人，共100人.故答案為：100.【點(diǎn)睛】本題主要考查分層抽樣的應(yīng)用，根據(jù)條件建立比例關(guān)系是解決此類問題的基本方法，比較基礎(chǔ)．15.當(dāng)時(shí)，函數(shù)y＝x2（2－3x2）的最大值為________．【答案】【解析】【分析】通過換元得到，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)得到結(jié)果.【詳解】當(dāng),,結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)得到函數(shù)的最值在軸處取得，代入得到故答案為：.【點(diǎn)睛】這個(gè)題目考查了二次函數(shù)的性質(zhì)的應(yīng)用，考查了二次函數(shù)在給定區(qū)間上的最值的求法.一般要考慮二次函數(shù)的對稱軸是否在區(qū)間內(nèi).16.已知四棱柱ABCD－A1B1C1D1的側(cè)棱垂直于底面，且底面是平行四邊形，各頂點(diǎn)都在同一球面上，若該棱柱的體積為16，AD＝2，DC＝4，則此球的表面積為________．【答案】24π【解析】【分析】通過分析題干得到四棱柱是長方體，外接球的球心是體對角線的中點(diǎn)，體對角線長為：，進(jìn)而得到球的面積.【詳解】已知四棱柱ABCD－A1B1C1D1的側(cè)棱垂直于底面，且底面是平行四邊形,因?yàn)樗睦庵牡酌鏁?huì)位于一個(gè)圓面上，故四邊形應(yīng)該滿足四點(diǎn)共圓，對角互補(bǔ)，結(jié)合這些性質(zhì)得到上下底面是長方形，故該四棱柱是長方體，體積為：外接球的球心是體對角線的中點(diǎn)，體對角線長為：故球的表面積為：故答案為：24π【點(diǎn)睛】與球有關(guān)的組合體問題，一種是內(nèi)切，一種是外接．解題時(shí)要認(rèn)真分析圖形，明確切點(diǎn)和接點(diǎn)的位置，確定有關(guān)元素間的數(shù)量關(guān)系，并作出合適的截面圖，如球內(nèi)切于正方體，切點(diǎn)為正方體各個(gè)面的中心，正方體的棱長等于球的直徑；球外接于正方體，正方體的頂點(diǎn)均在球面上，正方體的體對角線長等于球的直徑.三、解答題17.已知在等比數(shù)列{an}中，＝2，，＝128，數(shù)列{bn}滿足b1＝1，b2＝2，且{}為等差數(shù)列．（1）求數(shù)列{an}和{bn}的通項(xiàng)公式；（2）求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和．【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】(1)根據(jù)等比數(shù)列的性質(zhì)得到＝64，＝2，進(jìn)而求出公比，得到數(shù)列{an}的通項(xiàng)，再由等差數(shù)列的公式得到結(jié)果；（2）根據(jù)第一問得到通項(xiàng)，分組求和即可.【詳解】（1）設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q．由等比數(shù)列的性質(zhì)得a4a5＝＝128，又＝2，所以＝64．所以公比．所以數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an＝a2qn－2＝2×2n－2＝2n－1．設(shè)等差數(shù)列{}的公差為d．由題意得，公差，所以等差數(shù)列{}的通項(xiàng)公式為．所以數(shù)列{bn}的通項(xiàng)公式為（n＝1，2，…）．（2）設(shè)數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和為Tn．由（1）知，（n＝1，2，…）．記數(shù)列{}的前n項(xiàng)和為A，數(shù)列{2n－2}的前n項(xiàng)和為B，則，．所以數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和為．【點(diǎn)睛】這個(gè)題目考查了數(shù)列的通項(xiàng)公式的求法，以及數(shù)列求和的應(yīng)用，常見的數(shù)列求和的方法有：分組求和，錯(cuò)位相減求和，倒序相加等.18.2023年雙11當(dāng)天，某購物平臺(tái)的銷售業(yè)績高達(dá)2135億人民幣．與此同時(shí)，相關(guān)管理部門推出了針對電商的商品和服務(wù)的評(píng)價(jià)體系，現(xiàn)從評(píng)價(jià)系統(tǒng)中選出200次成功交易，并對其評(píng)價(jià)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，對商品的好評(píng)率為0.9，對服務(wù)的好評(píng)率為0.75，其中對商品和服務(wù)都做出好評(píng)的交易為140次．（1）請完成下表，并判斷是否可以在犯錯(cuò)誤概率不超過0.5％的前提下，認(rèn)為商品好評(píng)與服務(wù)好評(píng)有關(guān)？對服務(wù)好評(píng)對服務(wù)不滿意合計(jì)對商品好評(píng)140對商品不滿意10合計(jì)200（2）若針對服務(wù)的好評(píng)率，采用分層抽樣的方式從這200次交易中取出4次交易，并從中選擇兩次交易進(jìn)行客戶回訪，求只有一次好評(píng)的概率．附：，其中n＝a＋b＋c＋d．P（K2≥k）0.150.100.050.0250.0100.0050.001k2.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828【答案】（1）詳見解析（2）0.5【解析】【分析】(1)根據(jù)題干條件得到列聯(lián)表，由公式得到的觀測值k，進(jìn)行判斷即可；（2）采用分層抽樣的方式從這200次交易中取出4次交易，則好評(píng)的交易次數(shù)為3次，不滿意的次數(shù)為1次，從4次交易中，取出2次的所有取法為6種，其中只有一次好評(píng)的情況是3種，由古典概率的公式得到結(jié)果.【詳解】（1）由題意可得關(guān)于商品和服務(wù)評(píng)價(jià)的2×2列聯(lián)表：對服務(wù)好評(píng)對服務(wù)不滿意合計(jì)對商品好評(píng)14040180對商品不滿意101020合計(jì)15050200則．由于7.407＜7.879，則不可以在犯錯(cuò)誤概率不超過0.5％的前提下，認(rèn)為商品好評(píng)與服務(wù)好評(píng)有關(guān)．（2）若針對商品的好評(píng)率，采用分層抽樣的方式從這200次交易中取出4次交易，則好評(píng)的交易次數(shù)為3次，不滿意的次數(shù)為1次．記好評(píng)的交易為A，B，C，不滿意的交易為a，從4次交易中，取出2次的所有取法為（A，B），（A，C），（A，a），（B，C），（B，a），（C，a），共6種情況，其中只有一次好評(píng)的情況是（A，a）、（B，a）、（C，a），共3種，因此只有一次好評(píng)的概率為．【點(diǎn)睛】這個(gè)題目考查了分層抽樣的概念，古典概型的公式，對于古典概型，要求事件總數(shù)是可數(shù)的，滿足條件的事件個(gè)數(shù)可數(shù)，使得滿足條件的事件個(gè)數(shù)除以總的事件個(gè)數(shù)即可.19.如圖，在三棱柱ABC－A1B1C1中，側(cè)棱垂直于底面，∠BAC＝120°，AC＝AB＝2，AA1＝3．（1）求三棱柱ABC－A1B1C1的體積；（2）若M是棱BC的一個(gè)靠近點(diǎn)C的三等分點(diǎn)，求證：AM⊥平面ABB1A1．【答案】（1）（2）詳見解析【解析】【分析】(1)根據(jù)體積公式底面積乘以高，代入數(shù)據(jù)即可；（2）根據(jù)余弦定理得到AM=CM,結(jié)合等腰三角形底角相等得到AM⊥AB，再由側(cè)楞垂直于底面得到AA1⊥AM，進(jìn)而得證.【詳解】（1）因?yàn)椤螧AC＝120°，AC＝AB＝2，所以．所以．（2）證明：在△ABC中，由余弦定理，得BC2＝AC2＋AB2－2×AC×AB×cos∠BAC，所以．因?yàn)镸是棱BC的一個(gè)靠近點(diǎn)C的三等分點(diǎn)，所以．因?yàn)椤螧AC＝120°，AC＝AB＝2，所以∠ACB＝∠ABC＝30°．由余弦定理，得AM2＝AC2＋CM2－2×AC×CM×cos∠ACB，所以．所以CM＝AM．所以∠ACM＝∠CAM＝30°．所以∠MAB＝∠CAB－∠CAM＝120°－30°＝90°．即AM⊥AB．易知AA1⊥平面ABC，AM平面ABC，所以AA1⊥AM．又因?yàn)锳B∩AA1＝A，所以AM⊥平面ABB1A1．【點(diǎn)睛】這個(gè)題目考查了棱柱體積的求法，以及線面垂直的證明，證明線面垂直一般先證線線垂直；或者可以由面面垂直的性質(zhì)得到線面垂直.20.已知點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，橢圓C：（a＞b＞0）的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，離心率為，點(diǎn)I，J分別是橢圓C的右頂點(diǎn)、上頂點(diǎn)，△IOJ的邊IJ上的中線長為．（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）過點(diǎn)H（－2，0）的直線交橢圓C于A，B兩點(diǎn)，若AF1⊥BF1，求直線AB的方程．【答案】（1）（2）x－2y＋2＝0或x＋2y＋2＝0【解析】【分析】(1)由直角三角形中線性質(zhì)得到，再根據(jù)條件得到求解即可；（2）設(shè)出直線AB，聯(lián)立直線和橢圓得到二次方程，由AF1⊥BF1，得到，整理得（1＋2k2）（x1＋x2）＋（1＋k2）x1x2＋1＋4k2＝0，代入韋達(dá)定理即可.【詳解】（1）由題意得△IOJ為直角三角形，且其斜邊上的中線長為，所以．設(shè)橢圓C的半焦距為c，則解得所以橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為．（2）由題知，點(diǎn)F1的坐標(biāo)為（－1，0），顯然直線AB的斜率存在，設(shè)直線AB的方程為y＝k（x＋2）（k≠0），點(diǎn)A（x1，y1），B（x2，y2）．聯(lián)立消去y，得（1＋2k2）x2＋8k2x＋8k2－2＝0，所以Δ＝（8k2）2－4（1＋2k2）（8k2－2）＝8（1－2k2）＞0，所以．（*）且，．因?yàn)锳F1⊥BF1，所以，則（－1－x1，－y1）·（－1－x2，－y2）＝0，1＋x1＋x2＋x1x2＋y1y2＝0，1＋x1＋x2＋x1x2＋k（x1＋2）·k（x2＋2）＝0，整理，得（1＋2k2）（x1＋x2）＋（1＋k2）x1x2＋1＋4k2＝0．即．化簡得4k2－1＝0，解得．因?yàn)槎紳M足（*）式，所以直線AB的方程為或．即直線AB的方程為x－2y＋2＝0或x＋2y＋2＝0．【點(diǎn)睛】本題主要考查直線與圓錐曲線位置關(guān)系，所使用方法為韋達(dá)定理法：因直線的方程是一次的，圓錐曲線的方程是二次的，故直線與圓錐曲線的問題常轉(zhuǎn)化為方程組關(guān)系問題，最終轉(zhuǎn)化為一元二次方程問題，故用韋達(dá)定理及判別式是解決圓錐曲線問題的重點(diǎn)方法之一，尤其是弦中點(diǎn)問題，弦長問題，可用韋達(dá)定理直接解決，但應(yīng)注意不要忽視判別式的作用．21.已知函數(shù)（a＞0）．（1）討論函數(shù)f（x）的單調(diào)性；（2）證明：對任意x∈[1，＋∞），有f（x）≤2x－a2．【答案】（1）詳見解析（2）詳見解析【解析】【分析】(1)對函數(shù)求導(dǎo)，分情況討論導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)，進(jìn)而得到單調(diào)區(qū)間；（2）構(gòu)造函數(shù)，對函數(shù)求導(dǎo)，研究函數(shù)的單調(diào)性，得到函數(shù)的最值，證明函數(shù)的最大值小于0即可.【詳解】（1）解：．①當(dāng)0＜a≤1時(shí)，由f'（x）＜0，得[（1＋a）x－1][（1－a）x＋1]＜0，解得；由f'（x）＞0，得[（1＋a）x－1][（1－a）x＋1]＞0，解得．故函數(shù)f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間為（0，），單調(diào)遞增區(qū)間為（，＋∞）．②當(dāng)a＞1時(shí)，由f'（x）＜0，得或；由f'（x）＞0，得．故函數(shù)f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間為（0，），（，＋∞），單調(diào)遞增區(qū)間為．（2）證明：構(gòu)造函數(shù)，則．因?yàn)棣ぃ剑?a）2－4（1＋a2）＜0，所以（1＋a2）x2－2ax＋1＞0，即g'（x）＜0．故g（x）在區(qū)間[1，＋∞）上是減函數(shù)．又x≥1，所以g（x）≤g（1）＝－（1＋a2）＋1＋a2＝0．故對任意x∈[1，＋∞），有f（x）≤2x－a2．【點(diǎn)睛】利用導(dǎo)數(shù)證明不等式常見類型及解題策略(1)構(gòu)造差函數(shù).根據(jù)差函數(shù)導(dǎo)函數(shù)符號(hào)，確定差函數(shù)單調(diào)性，利用單調(diào)性得不等量關(guān)系，進(jìn)而證明不等式.（2）根據(jù)條件，尋找目標(biāo)函數(shù).一般思路為利用條件將求和問題轉(zhuǎn)化為對應(yīng)項(xiàng)之間大小關(guān)系，或利用放縮、等量代換將多元函數(shù)轉(zhuǎn)化為一元函數(shù).22.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線l的參數(shù)方程為（t為參數(shù)），以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸的非負(fù)半軸為極軸且取相同的單位長度建立極坐標(biāo)系，已知曲線C的極坐標(biāo)方程為，且直線l經(jīng)過曲線C的左焦點(diǎn)F．（1）求直線l的普通方程；（2）設(shè)曲線C的內(nèi)接矩形的周長為L，求L的最大值．【答案】（1）x＋2y＋1＝0（2）【解析】【分析】(1)由極坐標(biāo)化直角坐標(biāo)的公式可得到曲線C的普通方程，消去參數(shù)t可得到直線普通方程，再代入F點(diǎn)坐標(biāo)可得到直線方程；（2）橢圓C的內(nèi)接矩形在第一象限的頂點(diǎn)為（，sinθ）內(nèi)接矩形的周長為，化一求最值即可.【詳解】（1）因?yàn)榍€C的極坐標(biāo)方程為，即ρ2＋ρ2sin2θ＝2．將ρ2＝x2＋y2，ρsinθ＝y(tǒng)，代入上式，得x2＋2y2＝2，即．所以曲線C的直角坐標(biāo)方程為．于是c2＝a2－b2＝1，所以F（－1，0）．由消去參數(shù)t，得直線l的普通方程為．將F（－1，0）代入直線方程得．所以直線l的普通方程為x＋2